安徽省安庆市示范高中2022届高三下学期4月联考理科数学试题（解析版）

2022年安庆市示范高中高三联考试题 数学（理）试卷 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的定义域为 ，集合，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，可知，由此即可求出集合，进而求出，再根据交集运算即可求出结果. 【详解】由题意可知，，所以或， 所以，故， 所以. 故选：D. 2. 已知，若复数为纯虚数，则实数（） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数为纯虚数，可设，代入原式，然后计算即可得结果 【详解】设，，故，解得， 故选：C 3. “，”是“数列为等比数列”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的定义和性质进行判断即可. 【详解】解：若，则满足，但数列不是等比数列，即充分性不成立， 反之若数列为等比数列，则，，成立，即必要性成立， 即“，”是“数列为等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键. 4. 2021年，我国通信业积极推进网络强国和数字中国建设，5G和千兆光网等新型信息基础设施建设覆盖和应用普及全面加速，移动电话用户规模小幅增长.截止2021年，全国电话用户净增4755万户，总数达到18.24亿户，其中移动电话用户总数16.43亿户，全年净增4875万户，其中，4G移动电话用户为10.69亿户，5G移动电话用户达到3.55亿户，周定电话用户总数1.81亿户，全年净减121万户.自2011年以来固定电话与移动电话普及率（单位：部/百人）如图所示，则以下说法错误的是（） A. 近十年以米移动电话普及率逐年递增 B. 近十年以来固定电话普及率逐年递减 C. 2021年移动电话普及率为116.3部/百人，比上年末提高3.4部/百人 D. 2021年固定电话普及率为12.8部/百人，比上年末降低0.1个百分点 【答案】A 【解析】 【分析】观察折线图，得到选项A错误，选项BCD正确. 【详解】解：A. 由于2015年移动电话普及率比2014年的普及率低，所以近十年以来移动电话普及率逐年递增是错误的，所以该选项错误； B. 近十年以来固定电话普及率逐年递减，所以该选项正确； C. 2021年移动电话普及率为116.3部/百人，2020年移动电话普及率为112.9部/百人，所以2021比上年末提高3.4部/百人，所以该选项正确； D. 2021年固定电话普及率为12.8部/百人，2020年固定电话普及率为12.9部/百人,2021比上年末降低0.1个百分点，所以该选项正确. 故选：A 5. 已知函数的定义域为，其图象关于原点及对称.当时，，则下列叙述错误的是（） A. 是周期函数 B. 为奇函数 C. 在单调递增 D. 的值域为 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的对称性，结合对数型函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】因为函数的图象关于原点对称，所以该函数是奇函数，即， 当时，单调递增，故， 当函数时，， 函数单调递增，即值域， 而，所以函数当时，函数单调递增，且， 因为函数的图象关于对称，所以有， 所以有，所以该函数又关于点对称，因为点和在该函数的图象上，所以由函数的对称性可知：该函数在单调递增且值域为，该函数不可能是周期函数， 故选：A 6. 已知命题p：点在圆内，则直线与C相离；命题q：直线直线m，//平面，则.下列命题正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析真假性后判断选项 【详解】对于命题p，点在圆内，则，故圆心到直线距离，直线与圆相离，为真命题， 对于命题q， 与位置关系不确定，为假命题， 选项中只有为真命题． 故选：B 7. 已知函数在上的图象如图所示，则函数的解析式可能为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数的图象，利用导数法判断. 【详解】当时，，则，故排除AB. 当时，则， 令，得或， 当或时，，当时，， 所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故C错误； 当时，则， 令，得或， 当或时，，当时，， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，故D正确 故选：D. 8. 已知圆锥的底面半径为1，母线.过点A的平面将圆锥分成两部分，则截面椭圆周长的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆锥侧面展开图的圆心角，再利用数形结合求解. 【详解】解：由已知圆锥展开图圆心角. 由余弦定理得 所以截面椭圆周长的最小值为. 故选：A. 9. 已知，设是的导函数，下列结论错误的是（） A. 将图象向左平移可得的图象 B. 将图象向右平移可得的图象 C. 与的图象关于对称 D. 与的图象关于轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】先求，根据性质依次判断即可. 【详解】由已知，所以， 故将图像向左平移或右移可得的图象，故A 、B 正确； ，所以与的图象关于y轴对称，故D 正确； ，所以与的图像关于对称错误，故C不正确. 故选：C. 10. 已知，都是正整数，且，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，构造函数求解即可. 【详解】因为，所以，令， 所以，故在上单调递增，由已知得， 故，因为，都是正整数，即. 故选：A. 11. 已知抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的切线与y轴交于点T，则不能为（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设抛物线设，求出切线方程和点坐标得到，即得解. 【详解】解：不妨设抛物线.设， 所以所以切线的斜率为， 所以切线方程为，令得. 所以，所以，故等腰三角形. 又可以为锐角､直角及钝角，所以不可能为不等边三角形. 故选：D 12. 在自然界中，树木的分叉､花瓣的数量､植物种子的排列等都遵循了某种数学规律，直到13世纪意大利数学家莱昂纳多·裴波那契从免子繁殖问题发现了一组神奇的数字1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，它揭示了植物生长的规律，我们将其称为裴波那契数列，该数列也可以表示为，，下面结论：①，②，③，④，则以上正确结论的个数是（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用累加法求解计算并判断. 【详解】由己知， 累加得， 由， 累加得； 由， 累加整理得； 因为 ， 故选：A 【点睛】求解本题的关键是利用递推关系，由累加法求解. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量满足，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求出，再利用模长公式得解. 【详解】解：由得 . 故答案为： 14. 已知双曲线的顶点分别为M､N､P为C上一点且直线的斜率之积为3，则双曲线C的离心率为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】设点，可得，结合的斜率之积为3， 可得，利用离心率公式求得答案. 【详解】不妨设 , 设为C上一点，所以，, 由已知得，即, 故，所以, 故答案为：2 15. 2022年北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛在首钢滑雪大跳台进行，在资格赛中每位选手滑跳三次，假设某运动员滑跳一次成绩超过70分的概率为，则在资格赛中该运动员超过70分的次数X的数学期望为___________，其中至少有两次成绩超过70分的概率为___________. 【答案】 ①. ##2.25 ②. 【解析】 【分析】由可得超过70分的次数X的数学期望为； 分别求出有两次超过70分和有三次超过70分的概率，相加即可得至少有两次成绩超过70分的概率. 【详解】假设该运动员在3次滑跳中有X次成绩超过70分，则，则，该运动员至少有两次成绩超过70分的概率为. 故答案为：##2.25；. 16. 已知四棱锥的底面为矩形，，则其外接球的表面积为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据球的性质，结合勾股定理、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】如图取中点E，底面中心为，外接球的球心为O，则底面. 由已知得，又，所以平面PAD， 平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD 又PE⊥AD，平面ABCD平面PAD=AD，平面PAD,所以PE⊥平面ABCD， .设球的半径为R，. 在直角梯形中，. 在直角中，，联立得，即，故球表面积为， 故答案为： 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求证：； （2）若为，等差中项，且，求的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再根据三角形性质求解即可； （2）设，得，求解即可. 【小问1详解】 由已知及正弦定理得， 又 代入上式得，即 又，显然，所以，故 【小问2详解】 由（1）知，因为为，的等差中项， 不妨设 由余弦定理得， 整理得：① 由已知得，② 由①②联立，整理得：，所以. 所以，所以的面积为 18. 2022年北京冬奥会防寒服中的“神奇内芯”—仿鹅绒高保暖絮片，是国家运动员教练员比赛服装的保暖材料.该“内芯”具有超轻超薄､湿态保暖､高蓬松度等特点，其研发是国家重点研发计划“科技冬奥”重点专项之一，填补了国内空白.为了保证其质量，厂方技术员从生产的一批保暖絮片中随机抽取了100处，分别测量了其纤维长度(单位：)的均值，并制成如下频率分布直方图： （1）估计该批保暖絮片纤维长度的平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表)； （2）该批保暖絮片进人成品库之前需进行二次检验，从中随机抽取15处测量其纤维长度均值，数据如下：31.8，32.7，28.2，34.3，29.1，34.8，37.2，30.8，30.6，25.2，32.9，28.9，33.9，29.5，34.5.请问该批保暖絮片是否合格？(若二次抽检纤维长度均值满足，则认为保暖絮片合格，否则认为不合格). 【答案】（1）31，12.28； （2）合格﹒ 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图，求出每一组的频率和频数，根据方差计算公式即可计算方差； (2)求出,比较的大小关系即可判断. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，纤维长度区间是､､､､､､､的频率分别为：0.04､0.09､0.16､0.24､0.18､0.14､0.10､0.05， 对应的频数分别为：4､9､16､24､18､14､10､5， 故样本均值为： ； 样本方差为： ﹒ ∴估计该保暖絮片的纤维长度的平均数为，方差为； 【小问2详解】 二次抽检纤维长度均值： ， ∵， ∴该批保暖絮片合格﹒ 19. 如图，为平行四边形，，将沿翻折到位置且. （1）求P、C两点之间的距离； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)延长到E，使，连接.证明CE⊥平面PDE，根据勾股定理可求PC长度； (2)取中点O，连接，以分别为x，z轴建立空间直角坐标系，求出平面DPB和平面CPB的法向量，利用向量法即可