河南省濮阳市2022-2023学年高三下学期第一次摸底考试文科数学试题（解析版）

2023届高三年级摸底考试 文科数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，那么（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合并集的定义即可得到结果. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2. 已知复数，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得复数z，可得其共轭复数，根据模的计算可得答案. 【详解】复数，故， 所以， 故选：C 3. 某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决定增加生产线．经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数与月产量（件）之间的统计数据如下表： 4 6 8 10 30 40 60 70 由数据可知，线性相关，且满足回归直线方程，则当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为（） A. 73件 B. 79件 C. 85件 D. 90件 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数据求出样本中心点，再代入回归直线方程，即可求出参数的值，从而得到回归直线方程，最后将代入计算可得. 详解】解：依题意可得，， 因为回归直线方程必过样本中心点，即，解得，所以， 当时， 故当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为85件. 故选：C 4. 若实数x，y满足约束条件则的最大值为（） A. 1 B. 2 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式组作出可行域，结合直线纵截距的几何意义求解. 【详解】作出可行域如下， 由可得，结合的几何意义可知， 当直线经过点时，纵截距有最大值， 最大值为， 故选:D. 5. 函数的大致图象为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再利用特殊值判断即可. 【详解】解：对于函数，则，解得，即函数的定义域为， 又，即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A； 当时，，所以，故排除B； 且，， 即，故排除D. 故选：C 6. 设，且，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系得到，再根据两角和的余弦公式及诱导公式得到，再根据、的范围判断即可. 【详解】解：因为，所以，即， 即， 即， 因为，所以， 所以，即. 故选：D 7. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆上任意—点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出底面内接正三角形外接圆的半径及的面积，设圆柱的母线长为，根据圆锥的体积公式求出，则圆柱外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】解：如图，因为是边长为的正三角形，则其外接圆的半径，解得， 又， 设圆柱母线长为，则，解得， 所以圆柱的外接球的半径， 所以外接球的表面积为. 故选：B 8. 在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量求法求出的值，再求异面直线所成角即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，解得， 所以直线与侧面所成的角的正弦值， 解得， 所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成的角的正弦值为. 故选：D 9. 已知函数在上单调，则a的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】的开口向下，对称轴是直线， 所以函数在上单调递增， 依题意可知，在上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 10. 以抛物线的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A，B两点，过B且平行于x轴的直线交C于点P，过A且平行于x轴的直线交l于点Q，且，则△PBF的周长为（） A. 16 B. 12 C. 10 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】因，则，准线为.由，可得坐标，直线AF方程，进而可得B，P坐标，后由两点间距离公式及抛物线定义可得答案. 【详解】因，则，准线为. 由，如图，设，则，得，则. 得直线AF方程：， 代入，得， 将代入，可得. 则周长， 则.故. 故选：B 11. 已知双曲线的左、右焦点分为，，左、右顶点分别为，，点M，N在y轴上，且满足（O为坐标原点）．直线，与C的左、右支分别交于另外两点P，Q，若四边形为矩形，且P，N，三点共线，则C的离心率为（） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形为矩形，可得，，设，则，由P，N，三点共线，可得，由P，M，三点共线，可得，即可得，从而得答案. 【详解】解：如图所示： ， 由，则有， 设，则， 由，可得， 取， 同理可得， 又因为，P，N，三点共线， 所以，， 所以， 所以， P，M，三点共线， 所以，， 所以， 所以， 又因为， 所以， 即有， 所以， 所以 故选：A. 12已知实数a，b，c满足，且，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，，构造函数，再利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以， 又当时，，当，， 由此作出函数的大致图象如图所示， 因为且， 则由图可知， 所以. 故选：A. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的几何性质，求出向量的模长以及夹角，利用平面向量的定义式，可得答案. 【详解】由题意，作图如下： 在正六边形中，易知，，，， 则与的夹角为，即， 在中，， . 故答案为：. 14. 已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意求出圆心的横坐标与半径，即可得解. 【详解】解：依题意可知圆心的横坐标为，半径为， 故圆的标准方程为. 故答案为：. 15. 已知为奇函数，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求得，再根据题意推得的关系式，结合的范围，即可求得答案. 【详解】因为为奇函数， 故， 即，由于,故，则， 由于，故，所以， 由，可得， 即 或， 对任意，存在，满足， 故，则,，，k取负值， 则只能，此时， 或，则，则, 综合可得或， 即实数的取值范围是， 故答案为： 16. 如图，已知AB为圆O的直径，，，则六边形AECBDF的周长的最大值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】连接，，，设，，，先证明，再求得，，则六边形AECBDF的周长为关于的函数，进而求得最值即可． 【详解】连接，，， 由，则， 设，，， 则，， 又，得，， 在直角中，由，则，， 在中，由正弦定理有，即，得， 所以六边形AECBDF的周长为 ， 故当，即时，取得最大值，且最大值为12． 所以六边形AECBDF的周长的最大值为12． 故答案为：12． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将六边形AECBDF的周长和边的关系转化为周长和角的关系． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 在数列中，，． （1）设，求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为．若，求正整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用累加法求出数列的通项公式； （2）由（1）可得，即可得到，利用裂项相消法求出，即可得到方程，解得即可. 【小问1详解】 解：因为，，且， 所以， 当时， 当时 ， 又时也符合上式， 所以. 【小问2详解】 解：由（1）可知，所以， 所以， 所以， 则，解得. 18. 某出租车公司为推动驾驶员服务意识和服务水平大提升，对出租车驾驶员从驾驶技术和服务水平两个方面进行了考核，并从中随机抽取了100名驾驶员，这100名驾驶员的驾驶技术与性别的2×2列联表和服务水平评分的频率分布直方图如下，已知所有驾驶员的服务水平评分均在区间内． 驾驶技术 优秀 非优秀 男 25 45 女 5 25 （1）判断能否有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关； （2）从服务水平评分在，内的驾驶员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有2人的评分在内的概率． 附：，其中． 0.10 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）没有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，与3.841比较后得到相应结论； （2）先根据频率之和为1得到，从而得到评分在，内的驾驶员人数比例，及两个区间各抽取的人数，利用列举法求出概率. 【小问1详解】 ， 没有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关； 小问2详解】 ， 解得：， 故服务水平评分在，内的驾驶员人数比例为， 故用分层抽样的方法抽取5人中，内有4人，设为，内有1人，设为， 再从这5人中随机抽取3人，共有以下情况： ，共10种情况， 其中这3人中恰有2人的评分在的有，6种情况， 故这3人中恰有2人的评分在内的概率为． 19. 在如图所示的六面体中，平面平面，，，． （1）求证：平面； （2）若AC，BC，两两互相垂直，，，求点A到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，的中点，连，，，利用面面平行的性质定理推出，再利用线面平行的判定定理可证结论成立； （2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据点到面的距离的向量公式可求出结果. 【小问1详解】 取的中点，的中点，连，，， 在六面体中，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以， 同理可得， 因为分别是，的中点，且，， 所以，，，， 所以四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 所以，，又已知，所以，则共面， 因为平面平面，平面平面，平面平面，所以， 又分别是，的中点，， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为AC，BC，两两互相垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系： 则，，设，则，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，则，取，则，， 所以点A到平面的距离为. 20. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）