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2021级高二上学期期末考试
数学试题
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 点关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可.
【详解】因为点关于Oxy平面对称的点的坐标是,
所以点关于平面对称的点的坐标是,
故选:C
2. 已知直线与直线平行,则m的值为()
A. 3 B. C. 3或 D. 3或4
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行的判定得即可求m值,注意验证两直线是否平行,而非重合.
【详解】由题设,,可得或,
当时,、平行,符合题设;
当时,、重合,不合题设;
∴.
故选:B.
3. 已知直线,若直线与垂直,则的倾斜角为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线与垂直得到的斜率,再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.
【详解】因为直线与垂直,且,所以,解得,
设的倾斜角为,,所以.
故选:D
4. 在等比数列中,,,则公比q的值为()
A. 1 B. C. 1或2 D. 1或
【答案】D
【解析】
【分析】讨论、,由已知结合等比数列前n项和公式求公比q.
【详解】由题设,当时,符合题设;
当时,,
∴,则,可得或(舍),
综上,或.
故选:D.
5. 已知等差数列满足,若数列的前项和为,则()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出等差数列的通项公式,然后由裂项相消法求和即可.
【详解】设等差数列的公差为,则,解得
则
所以
则
故选:A
6. 已知圆与直线,则圆上到直线的距离为1的点的个数是()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆心到直线的距离即可判断.
【详解】由得,
则圆的圆心为,半径,
由,
则圆心到直线的距离,
∵,∴在圆上到直线距离为1的点有两个.
故选:B.
7. 等轴双曲线的焦距为()
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得,然后求得.
【详解】由解得或,
所以,则,
,所以焦距.
故选:C
8. 已知点与不重合的点A,B共线,若以A,B为圆心,2为半径的两圆均过点,则的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得两点的坐标满足圆,然后由圆的性质可得当时,弦长最小,当过点时,弦长最长,再根据向量数量积的运算律求解即可
【详解】设点,则以A,B为圆心,2为半径的两圆方程分别为
和,
因为两圆过,
所以和,
所以两点的坐标满足圆,
因为点与不重合的点A,B共线,所以为圆的一条弦,
所以当弦长最小时,,
因为,半径为2,所以弦长的最小值为,
当过点时,弦长最长为4,
因为,
所以当弦长最小时,的最大值为,
当弦长最大时,的最小值为,
所以的取值范围为,
故选:D
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.
9. 设等差数列的前项和为,且,则下列结论正确的是()
A. 最小 B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据等差数列性质及前项和公式可得,即可得出数列单调性,进而判断选项BCD的正确性,再由数列各项的符号即可得前1011项的和最小,得出正确结果.
【详解】根据等差数列前项和公式可得
可得,即选项BC正确;
因此等差数列的公差,所以数列为递增数列;
,即选项D正确;
由可知,该数列前1011项全部为负,所以前1011项的和最小,即最小,所以A错误;
故选:BCD
10. 下列说法正确的是()
A. 若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心,则
B. 在四面体OABC中,若,则A,B,C,G四点共面
C. 已知平行六面体的棱长均为1,且,则对角线的长为
D. 若向量,则称(m,n,k)为在基底下的坐标.已知向量在单位正交基底下的坐标为(1,2,3),则在基底下的坐标为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A令,,,,由G是底面三角形ABC的重心,利用向量的坐标表示即可判断;B根据空间向量共面的结论即可判断;C由,应用向量的运算律求的模即可;D用基底及对应坐标表示出向量即可判断.
【详解】A:令,,,,又G是底面三角形ABC的重心,
∴,,,,,
∴成立,正确;
B:由,而,故A,B,C,G四点不共面,错误;
C:如下图,,
∴,又且棱长为1,
∴,则,正确;
D:在基底下坐标为,则,故在基底下坐标为(1,2,3),正确.
故选:ACD.
11. 已知曲线,分别为C的左、右焦点,点P在C上,且是直角三角形,下列判断正确的是()
A. 曲线C的焦距为
B. 若满足条件的点P有且只有4个,则m的取值范围是且
C. 若满足条件的点P有且只有6个,则
D. 若满足条件的点P有且只有8个,则m的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】依次对所给选项利用数形结合思想进行判断即可.
【详解】A.当C表示椭圆时,因为,所以C的焦点在x轴上,且,
所以,即,所以焦距为;
当C表示双曲线时,因为,即,所以C的焦点在x轴上,
所以,即,所以焦距为;故A正确;
B.若满足条件的点P有且只有4个,则C表示椭圆,如图1,以为直径的圆O与C没有公共点,
所以,即,所以m的取值范围是,故B错误;
C.若满足条件的点P有且只有6个,则C表示椭圆,如图2,以为直径的圆O与C有2个公共点,
所以,即,所以m的取值范围是,故C正确;
D.若满足条件点P有且只有8个,则当C表示椭圆时,如图3,以为直径的圆O与C有4个公共点,
所以,即,所以m的取值范围是;
当C表示双曲线时,如图4,以为直径的圆O与C恒有8个公共点,
所以,综上m的取值范围是或;故D错误.
故选:AC
12. 两千多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现,用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,其截口曲线是圆锥曲线(如图).已知圆锥轴截面的顶角为2θ,一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α.当时,截口曲线为椭圆;当时,截口曲线为抛物线;当时,截口曲线为双曲线.在长方体中,,,点P在平面ABCD内,下列说法正确的是()
A. 若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等,则点P的轨迹为抛物线
B. 若点P到直线的距离与点P到的距离之和等于4,则点P的轨迹为椭圆
C. 若,则点P的轨迹为抛物线
D. 若,则点P的轨迹为双曲线
【答案】BD
【解析】
【分析】A、B将距离转化到平面ABCD内P到定点、定直线的距离,结合圆锥曲线的定义判断正误;C、D确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角,并比较被截圆锥轴截面顶角一半的大小关系,结合题设判断P的轨迹.
【详解】A:如下图,P到直线的距离与P到平面的距离相等,又P在平面ABCD内,
∴在平面内,P到的距离与P到直线的距离相等,又,
∴在直线上,故P的轨迹为直线,错误;
B:P到直线的距离与P到的距离之和等于4,
同A知:平面内,P到直线的距离与P到的距离之和等于4,而,
∴P的轨迹为椭圆,正确;
C:如下示意图,根据正方体的性质知:与面所成角的平面角为,
∴时,相当于以为轴,轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线,
而,则,即,故P的轨迹为椭圆,错误;
D:同C分析:时,相当于以为轴,轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线,
而,即,故P的轨迹为双曲线,正确.
故选:BD.
【点睛】关键点点睛:将空间点线、点面距离转化为平面点点、点线距离判断轨迹,由题设及给定的条件确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角、被截圆锥轴截面顶角大小,进而确定轨迹形状.
三、填空题:本大题共4小题,律小题5分,共20分.
13. 已知△的三个顶点分别是点A(4,0),,,则△的外接圆的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】令外接圆圆心,而中点为、中点为,由求x、y,进而求半径,即可写出△的外接圆的方程.
【详解】令△的外接圆圆心,又A(4,0),,
∴中点为,则,则,
中点为,则,则,
∴圆心,又外接圆的半径,
∴△的外接圆的方程为.
故答案为:.
14. 已知数列的前项和为,且,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】当时,求解,当当时,求出然后求解.
【详解】当时,,
当时,①
②
减②得:
所以是以为首项,为公比的等比数列.
所以
故答案为:
15. 如图,已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时:(1)当点A在圆内且不与点重合时,点的轨迹是__________(从圆、椭圆、抛物线中选择一个填写);(2)当__________(从>,=,<中选择一个填写)时,点的轨迹是双曲线的一支.
【答案】 ①. 椭圆 ②. >
【解析】
【分析】根据圆锥曲线定义判断求解.
【详解】当点A在圆内且不与点重合时,,因此点轨迹是以为焦点,长轴长为半径的椭圆,
当点A在圆上时,点到圆心重合,
当点A在圆外时,,此时点轨迹是以为焦点,实轴长为半径的双曲线的一支.
故答案为:椭圆;.
16. 双曲线的左、右焦点分别为,.过作其中一条渐近线的垂线,交双曲线的右支于点P,若,则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题设,不妨令,过作,则,结合勾股定理、等腰直角三角形求,再由双曲线定义求参数间的数量关系,进而求离心率.
【详解】如下图,垂直一条渐近线,则,
过作,故,又,
∴,,又在△中,故,,
由双曲线定义知:,则,
∴.
故答案为:.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知抛物线的焦点为F,点在C上.
(1)求p的值及F的坐标;
(2)过F且斜率为的直线l与C交于A,B两点(A在第一象限),求.
【答案】(1),
(2)4
【解析】
【分析】(1)将M坐标代入方程即可;
(2)联立直线l与抛物线方程得到A、B的横坐标,再利用焦半径公式求出即可.
【小问1详解】
将代入,得,解得,
所以
【小问2详解】
由(1)得抛物线方程为,
直线l的方程为,
联立消y得,
解得或,
因为A在第一象限,所以,
所以,,
所以
18. 已知圆C的圆心在直线上,且与x轴相交于点M(2,0)和N(4,0).
(1)求圆C的标准方程;
(2)若过点的直线l与圆C交于A,B两点,且,试问符合要求的直线有几条?并求出相应直线l的方程.
【答案】(1);
(2)有2条,分别为、。
【解析】
【分析】(1)由题设易知圆心在直线上,联立求圆心坐标,进而求半径,即可得圆的方程.
(2)判断的位置,讨论直线l斜率,结合圆的方程,应用韦达定理、弦长公式求参数,即可判断直线的条数及对应方程.
【小问1详解】
由题设,中点为,则圆心在直线上,联立,可得圆心为,
∴圆的半径为,
综上,圆C的标准方程:.
【小问2详解】
∵,
∴在圆外,
当直线l斜率不存在时,直线方程为,则,,显然符合题设;
当直线l斜率存在时,设为,联立圆C可得:,
若,,则,,
∴,可得:.
∴此时,直线l:,即.
综上,符合条件的直线有2条,分别为、.
19. 在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为直角梯形,,,侧面底面ABCD,,.
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