山东省菏泽市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）

2021级高二上学期期末考试 数学试题 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可. 【详解】因为点关于Oxy平面对称的点的坐标是， 所以点关于平面对称的点的坐标是， 故选：C 2. 已知直线与直线平行，则m的值为（） A. 3 B. C. 3或 D. 3或4 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行的判定得即可求m值，注意验证两直线是否平行，而非重合. 【详解】由题设，，可得或， 当时，、平行，符合题设； 当时，、重合，不合题设； ∴. 故选：B. 3. 已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案. 【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得， 设的倾斜角为，，所以. 故选：D 4. 在等比数列中，，，则公比q的值为（） A. 1 B. C. 1或2 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论、，由已知结合等比数列前n项和公式求公比q. 【详解】由题设，当时，符合题设； 当时，， ∴，则，可得或（舍）， 综上，或. 故选：D. 5. 已知等差数列满足，若数列的前项和为，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出等差数列的通项公式，然后由裂项相消法求和即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得 则 所以 则 故选：A 6. 已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离即可判断. 【详解】由得， 则圆的圆心为，半径， 由， 则圆心到直线的距离， ∵，∴在圆上到直线距离为1的点有两个. 故选：B. 7. 等轴双曲线的焦距为（） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，然后求得. 【详解】由解得或， 所以，则， ，所以焦距. 故选：C 8. 已知点与不重合的点A，B共线，若以A，B为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得两点的坐标满足圆，然后由圆的性质可得当时，弦长最小，当过点时，弦长最长，再根据向量数量积的运算律求解即可 【详解】设点，则以A，B为圆心，2为半径的两圆方程分别为 和， 因为两圆过， 所以和， 所以两点的坐标满足圆， 因为点与不重合的点A，B共线，所以为圆的一条弦， 所以当弦长最小时，， 因为，半径为2，所以弦长的最小值为， 当过点时，弦长最长为4， 因为， 所以当弦长最小时，的最大值为， 当弦长最大时，的最小值为， 所以的取值范围为， 故选：D 二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（） A. 最小 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列性质及前项和公式可得，即可得出数列单调性，进而判断选项BCD的正确性，再由数列各项的符号即可得前1011项的和最小，得出正确结果. 【详解】根据等差数列前项和公式可得 可得，即选项BC正确； 因此等差数列的公差，所以数列为递增数列； ，即选项D正确； 由可知，该数列前1011项全部为负，所以前1011项的和最小，即最小，所以A错误； 故选：BCD 10. 下列说法正确的是（） A. 若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则 B. 在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面 C. 已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线的长为 D. 若向量，则称（m，n，k）为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为（1，2，3），则在基底下的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A令，，，，由G是底面三角形ABC的重心，利用向量的坐标表示即可判断；B根据空间向量共面的结论即可判断；C由，应用向量的运算律求的模即可；D用基底及对应坐标表示出向量即可判断. 【详解】A：令，，，，又G是底面三角形ABC的重心， ∴，，，，， ∴成立，正确； B：由，而，故A，B，C，G四点不共面，错误； C：如下图，， ∴，又且棱长为1， ∴，则，正确； D：在基底下坐标为，则，故在基底下坐标为（1，2，3），正确. 故选：ACD. 11. 已知曲线，分别为C的左、右焦点，点P在C上，且是直角三角形，下列判断正确的是（） A. 曲线C的焦距为 B. 若满足条件的点P有且只有4个，则m的取值范围是且 C. 若满足条件的点P有且只有6个，则 D. 若满足条件的点P有且只有8个，则m的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】依次对所给选项利用数形结合思想进行判断即可. 【详解】A.当C表示椭圆时，因为，所以C的焦点在x轴上，且， 所以，即，所以焦距为； 当C表示双曲线时，因为，即，所以C的焦点在x轴上， 所以，即，所以焦距为；故A正确； B.若满足条件的点P有且只有4个，则C表示椭圆，如图1，以为直径的圆O与C没有公共点， 所以，即，所以m的取值范围是，故B错误； C.若满足条件的点P有且只有6个，则C表示椭圆，如图2，以为直径的圆O与C有2个公共点， 所以，即，所以m的取值范围是，故C正确； D.若满足条件点P有且只有8个，则当C表示椭圆时，如图3，以为直径的圆O与C有4个公共点， 所以，即，所以m的取值范围是； 当C表示双曲线时，如图4，以为直径的圆O与C恒有8个公共点， 所以，综上m的取值范围是或；故D错误. 故选：AC 12. 两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）．已知圆锥轴截面的顶角为2θ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α．当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当时，截口曲线为双曲线．在长方体中，，，点P在平面ABCD内，下列说法正确的是（） A. 若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等，则点P的轨迹为抛物线 B. 若点P到直线的距离与点P到的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆 C. 若，则点P的轨迹为抛物线 D. 若，则点P的轨迹为双曲线 【答案】BD 【解析】 【分析】A、B将距离转化到平面ABCD内P到定点、定直线的距离，结合圆锥曲线的定义判断正误；C、D确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角，并比较被截圆锥轴截面顶角一半的大小关系，结合题设判断P的轨迹. 【详解】A：如下图，P到直线的距离与P到平面的距离相等，又P在平面ABCD内， ∴在平面内，P到的距离与P到直线的距离相等，又， ∴在直线上，故P的轨迹为直线，错误； B：P到直线的距离与P到的距离之和等于4， 同A知：平面内，P到直线的距离与P到的距离之和等于4，而， ∴P的轨迹为椭圆，正确； C：如下示意图，根据正方体的性质知：与面所成角的平面角为， ∴时，相当于以为轴，轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线， 而，则，即，故P的轨迹为椭圆，错误； D：同C分析：时，相当于以为轴，轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线， 而，即，故P的轨迹为双曲线，正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：将空间点线、点面距离转化为平面点点、点线距离判断轨迹，由题设及给定的条件确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角、被截圆锥轴截面顶角大小，进而确定轨迹形状. 三､填空题：本大题共4小题，律小题5分，共20分. 13. 已知△的三个顶点分别是点A（4，0），，，则△的外接圆的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】令外接圆圆心，而中点为、中点为，由求x、y，进而求半径，即可写出△的外接圆的方程. 【详解】令△的外接圆圆心，又A（4，0），， ∴中点为，则，则， 中点为，则，则， ∴圆心，又外接圆的半径， ∴△的外接圆的方程为. 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，求解，当当时，求出然后求解. 【详解】当时，， 当时，① ② 减②得： 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以 故答案为： 15. 如图，已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时：（1）当点A在圆内且不与点重合时，点的轨迹是__________（从圆､椭圆､抛物线中选择一个填写）；（2）当__________（从>，=，<中选择一个填写）时，点的轨迹是双曲线的一支． 【答案】 ①. 椭圆 ②. > 【解析】 【分析】根据圆锥曲线定义判断求解． 【详解】当点A在圆内且不与点重合时，，因此点轨迹是以为焦点，长轴长为半径的椭圆， 当点A在圆上时，点到圆心重合， 当点A在圆外时，，此时点轨迹是以为焦点，实轴长为半径的双曲线的一支． 故答案为：椭圆；． 16. 双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，不妨令，过作，则，结合勾股定理、等腰直角三角形求，再由双曲线定义求参数间的数量关系，进而求离心率. 【详解】如下图，垂直一条渐近线，则， 过作，故，又， ∴，，又在△中，故，， 由双曲线定义知：，则， ∴. 故答案为：. 四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知抛物线的焦点为F，点在C上． （1）求p的值及F的坐标； （2）过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），求． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】（1）将M坐标代入方程即可； （2）联立直线l与抛物线方程得到A、B的横坐标，再利用焦半径公式求出即可. 【小问1详解】 将代入，得，解得， 所以 【小问2详解】 由（1）得抛物线方程为， 直线l的方程为， 联立消y得， 解得或， 因为A在第一象限，所以， 所以，， 所以 18. 已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相交于点M（2，0）和N（4，0）． （1）求圆C的标准方程； （2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，试问符合要求的直线有几条？并求出相应直线l的方程． 【答案】（1）; （2）有2条，分别为、。 【解析】 【分析】（1）由题设易知圆心在直线上，联立求圆心坐标，进而求半径，即可得圆的方程. （2）判断的位置，讨论直线l斜率，结合圆的方程，应用韦达定理、弦长公式求参数，即可判断直线的条数及对应方程. 【小问1详解】 由题设，中点为，则圆心在直线上，联立，可得圆心为， ∴圆的半径为， 综上，圆C的标准方程：. 【小问2详解】 ∵， ∴在圆外， 当直线l斜率不存在时，直线方程为，则，，显然符合题设； 当直线l斜率存在时，设为，联立圆C可得：， 若，，则，， ∴，可得：. ∴此时，直线l：，即. 综上，符合条件的直线有2条，分别为、. 19. 在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，．