山东省菏泽市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版)

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2021级高二上学期期末考试 数学试题 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可. 【详解】因为点关于Oxy平面对称的点的坐标是, 所以点关于平面对称的点的坐标是, 故选:C 2. 已知直线与直线平行,则m的值为() A. 3 B. C. 3或 D. 3或4 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行的判定得即可求m值,注意验证两直线是否平行,而非重合. 【详解】由题设,,可得或, 当时,、平行,符合题设; 当时,、重合,不合题设; ∴. 故选:B. 3. 已知直线,若直线与垂直,则的倾斜角为() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与垂直得到的斜率,再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案. 【详解】因为直线与垂直,且,所以,解得, 设的倾斜角为,,所以. 故选:D 4. 在等比数列中,,,则公比q的值为() A. 1 B. C. 1或2 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论、,由已知结合等比数列前n项和公式求公比q. 【详解】由题设,当时,符合题设; 当时,, ∴,则,可得或(舍), 综上,或. 故选:D. 5. 已知等差数列满足,若数列的前项和为,则() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出等差数列的通项公式,然后由裂项相消法求和即可. 【详解】设等差数列的公差为,则,解得 则 所以 则 故选:A 6. 已知圆与直线,则圆上到直线的距离为1的点的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离即可判断. 【详解】由得, 则圆的圆心为,半径, 由, 则圆心到直线的距离, ∵,∴在圆上到直线距离为1的点有两个. 故选:B. 7. 等轴双曲线的焦距为() A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得,然后求得. 【详解】由解得或, 所以,则, ,所以焦距. 故选:C 8. 已知点与不重合的点A,B共线,若以A,B为圆心,2为半径的两圆均过点,则的取值范围为() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得两点的坐标满足圆,然后由圆的性质可得当时,弦长最小,当过点时,弦长最长,再根据向量数量积的运算律求解即可 【详解】设点,则以A,B为圆心,2为半径的两圆方程分别为 和, 因为两圆过, 所以和, 所以两点的坐标满足圆, 因为点与不重合的点A,B共线,所以为圆的一条弦, 所以当弦长最小时,, 因为,半径为2,所以弦长的最小值为, 当过点时,弦长最长为4, 因为, 所以当弦长最小时,的最大值为, 当弦长最大时,的最小值为, 所以的取值范围为, 故选:D 二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为,且,则下列结论正确的是() A. 最小 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列性质及前项和公式可得,即可得出数列单调性,进而判断选项BCD的正确性,再由数列各项的符号即可得前1011项的和最小,得出正确结果. 【详解】根据等差数列前项和公式可得 可得,即选项BC正确; 因此等差数列的公差,所以数列为递增数列; ,即选项D正确; 由可知,该数列前1011项全部为负,所以前1011项的和最小,即最小,所以A错误; 故选:BCD 10. 下列说法正确的是() A. 若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心,则 B. 在四面体OABC中,若,则A,B,C,G四点共面 C. 已知平行六面体的棱长均为1,且,则对角线的长为 D. 若向量,则称(m,n,k)为在基底下的坐标.已知向量在单位正交基底下的坐标为(1,2,3),则在基底下的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A令,,,,由G是底面三角形ABC的重心,利用向量的坐标表示即可判断;B根据空间向量共面的结论即可判断;C由,应用向量的运算律求的模即可;D用基底及对应坐标表示出向量即可判断. 【详解】A:令,,,,又G是底面三角形ABC的重心, ∴,,,,, ∴成立,正确; B:由,而,故A,B,C,G四点不共面,错误; C:如下图,, ∴,又且棱长为1, ∴,则,正确; D:在基底下坐标为,则,故在基底下坐标为(1,2,3),正确. 故选:ACD. 11. 已知曲线,分别为C的左、右焦点,点P在C上,且是直角三角形,下列判断正确的是() A. 曲线C的焦距为 B. 若满足条件的点P有且只有4个,则m的取值范围是且 C. 若满足条件的点P有且只有6个,则 D. 若满足条件的点P有且只有8个,则m的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】依次对所给选项利用数形结合思想进行判断即可. 【详解】A.当C表示椭圆时,因为,所以C的焦点在x轴上,且, 所以,即,所以焦距为; 当C表示双曲线时,因为,即,所以C的焦点在x轴上, 所以,即,所以焦距为;故A正确; B.若满足条件的点P有且只有4个,则C表示椭圆,如图1,以为直径的圆O与C没有公共点, 所以,即,所以m的取值范围是,故B错误; C.若满足条件的点P有且只有6个,则C表示椭圆,如图2,以为直径的圆O与C有2个公共点, 所以,即,所以m的取值范围是,故C正确; D.若满足条件点P有且只有8个,则当C表示椭圆时,如图3,以为直径的圆O与C有4个公共点, 所以,即,所以m的取值范围是; 当C表示双曲线时,如图4,以为直径的圆O与C恒有8个公共点, 所以,综上m的取值范围是或;故D错误. 故选:AC 12. 两千多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现,用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,其截口曲线是圆锥曲线(如图).已知圆锥轴截面的顶角为2θ,一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α.当时,截口曲线为椭圆;当时,截口曲线为抛物线;当时,截口曲线为双曲线.在长方体中,,,点P在平面ABCD内,下列说法正确的是() A. 若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等,则点P的轨迹为抛物线 B. 若点P到直线的距离与点P到的距离之和等于4,则点P的轨迹为椭圆 C. 若,则点P的轨迹为抛物线 D. 若,则点P的轨迹为双曲线 【答案】BD 【解析】 【分析】A、B将距离转化到平面ABCD内P到定点、定直线的距离,结合圆锥曲线的定义判断正误;C、D确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角,并比较被截圆锥轴截面顶角一半的大小关系,结合题设判断P的轨迹. 【详解】A:如下图,P到直线的距离与P到平面的距离相等,又P在平面ABCD内, ∴在平面内,P到的距离与P到直线的距离相等,又, ∴在直线上,故P的轨迹为直线,错误; B:P到直线的距离与P到的距离之和等于4, 同A知:平面内,P到直线的距离与P到的距离之和等于4,而, ∴P的轨迹为椭圆,正确; C:如下示意图,根据正方体的性质知:与面所成角的平面角为, ∴时,相当于以为轴,轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线, 而,则,即,故P的轨迹为椭圆,错误; D:同C分析:时,相当于以为轴,轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线, 而,即,故P的轨迹为双曲线,正确. 故选:BD. 【点睛】关键点点睛:将空间点线、点面距离转化为平面点点、点线距离判断轨迹,由题设及给定的条件确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角、被截圆锥轴截面顶角大小,进而确定轨迹形状. 三、填空题:本大题共4小题,律小题5分,共20分. 13. 已知△的三个顶点分别是点A(4,0),,,则△的外接圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】令外接圆圆心,而中点为、中点为,由求x、y,进而求半径,即可写出△的外接圆的方程. 【详解】令△的外接圆圆心,又A(4,0),, ∴中点为,则,则, 中点为,则,则, ∴圆心,又外接圆的半径, ∴△的外接圆的方程为. 故答案为:. 14. 已知数列的前项和为,且,则__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时,求解,当当时,求出然后求解. 【详解】当时,, 当时,① ② 减②得: 所以是以为首项,为公比的等比数列. 所以 故答案为: 15. 如图,已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时:(1)当点A在圆内且不与点重合时,点的轨迹是__________(从圆、椭圆、抛物线中选择一个填写);(2)当__________(从>,=,<中选择一个填写)时,点的轨迹是双曲线的一支. 【答案】 ①. 椭圆 ②. > 【解析】 【分析】根据圆锥曲线定义判断求解. 【详解】当点A在圆内且不与点重合时,,因此点轨迹是以为焦点,长轴长为半径的椭圆, 当点A在圆上时,点到圆心重合, 当点A在圆外时,,此时点轨迹是以为焦点,实轴长为半径的双曲线的一支. 故答案为:椭圆;. 16. 双曲线的左、右焦点分别为,.过作其中一条渐近线的垂线,交双曲线的右支于点P,若,则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设,不妨令,过作,则,结合勾股定理、等腰直角三角形求,再由双曲线定义求参数间的数量关系,进而求离心率. 【详解】如下图,垂直一条渐近线,则, 过作,故,又, ∴,,又在△中,故,, 由双曲线定义知:,则, ∴. 故答案为:. 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知抛物线的焦点为F,点在C上. (1)求p的值及F的坐标; (2)过F且斜率为的直线l与C交于A,B两点(A在第一象限),求. 【答案】(1), (2)4 【解析】 【分析】(1)将M坐标代入方程即可; (2)联立直线l与抛物线方程得到A、B的横坐标,再利用焦半径公式求出即可. 【小问1详解】 将代入,得,解得, 所以 【小问2详解】 由(1)得抛物线方程为, 直线l的方程为, 联立消y得, 解得或, 因为A在第一象限,所以, 所以,, 所以 18. 已知圆C的圆心在直线上,且与x轴相交于点M(2,0)和N(4,0). (1)求圆C的标准方程; (2)若过点的直线l与圆C交于A,B两点,且,试问符合要求的直线有几条?并求出相应直线l的方程. 【答案】(1); (2)有2条,分别为、。 【解析】 【分析】(1)由题设易知圆心在直线上,联立求圆心坐标,进而求半径,即可得圆的方程. (2)判断的位置,讨论直线l斜率,结合圆的方程,应用韦达定理、弦长公式求参数,即可判断直线的条数及对应方程. 【小问1详解】 由题设,中点为,则圆心在直线上,联立,可得圆心为, ∴圆的半径为, 综上,圆C的标准方程:. 【小问2详解】 ∵, ∴在圆外, 当直线l斜率不存在时,直线方程为,则,,显然符合题设; 当直线l斜率存在时,设为,联立圆C可得:, 若,,则,, ∴,可得:. ∴此时,直线l:,即. 综上,符合条件的直线有2条,分别为、. 19. 在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为直角梯形,,,侧面底面ABCD,,.
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