湖南省岳阳市2023届高三上学期教学质量监测(一)数学试题（解析版）

岳阳市2023届高三教学质量监测（一） 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在复平面内，复数z对应的点为，则（） A. i B. －i C. 2i D. －2i 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，再由复数除法法则即可求解. 【详解】因为复数z对应点的坐标为，所以， 所以. 故选：B. 2. 已知集合，，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式，即，再根据并集的运算求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 又， 所以, 故选：C 3. 已知直线l：和圆，则“”是“直线l与圆C相切”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和圆相切求得的值，由此求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相切， 则，解得. 所以“”是“直线l与圆C相切的充要条件. 故选：C 4. 已知函数的一个零点是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象的表达式为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后根据三角函数图象变换、诱导公式等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， ，向左平移个单位长度得到. 故选：D 5. 核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（）（参考数据） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，每年的剩余量可构成等比数列，据此求出800年后剩余量即可得解. 【详解】由题意，设一开始锶90质量为1， 则每年的剩余量构成以为公比的等比数列， 则经过800年锶90剩余质量为， 两边取常用对数可得：， 所以， 故选：B 6. 已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为（） A. 1666 B. 1654 C. 1472 D. 1460 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出两个数列相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可. 【详解】有两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2，14，26，38，50，…，182，194，共有项，是公差为12的等差数列， 故新数列前17项的和为， 即数列的各项之和为1666. 故选：A. 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，进而说明平面，再求得球的半径，根据即可求得答案. 【详解】如图，三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径 O为中点， ∴，， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 设，由球O的体积为，可得， 则 ， ∴三棱锥的体积为9， 故选∶A． 8. 已知正实数x，y满足，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断AC，利用不等式性质及指数函数单调性判断B，根据排除法判断D. 【详解】取，则不成立，故A错误； 由，当时，，所以， 即，故B错误； 取时，，而， 所以，故C错误； 由ABC错误，排除法知，故D正确. 故选：D 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 已知函数，则（） A. 是周期函数 B. 函数在定义域上是单调递增函数 C. 函数是偶函数 D. 函数的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦函数周期判断A，由指数函数、反比例函数的单调性判断B，根据奇偶性定义判断C，由函数中心对称充要条件判断D. 【详解】令，则，所以函数为周期函数，故A正确； 因为， 因为在定义域上单调递减，且， 所以由复合函数的单调性质可得在定义域上是单调递增函数，故B正确； 令，则，所以函数是奇函数，故C错误； 因为，所以函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：ABD 10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同 ”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（） A. 四名同学的报名情况共有种 B. “每个项目都有人报名”的报名情况共有72种 C. “四名同学最终只报了两个项目”的概率是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理可求得四名同学的报名情况的种数，判断A;根据古典概型的概率公式可判断；根据条件概率的概率公式，可判断D. 【详解】由题意甲、乙、丙、丁四名同学每人都要报名且限报一项，每人都有3种选择， 则共有种，A正确； “每个项目都有人报名”，则必有两人报同一个项目， 故此时报名情况有种，B错误； “四名同学最终只报了两个项目”，此时可先选出两个项目， 报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目， 故共有种报名情况， 则“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确； 事件A为“恰有两名同学所报项目相同 ”，有 种报名方法， 则， 事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”， 若同时发生，即恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目， 则有种报名方法，则， 故，D正确， 故选： 11. 正方体的棱长为1，点P在线段BC上运动，则下列结论正确的是（） A. 异面直线与所成的角为60° B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 二面角的正切值为 D. 直线与平面所成的角为45° 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法确定AB，由二面角的平面角的定义法确定C，利用向量法求线面角判断D. 【详解】如图，在正方体中建立空间直角坐标系， 则， 设， 对A，由，，即异面直线与所成的角为90°，故A错误； 对B，，则， 当时，，， 当时，，因为的对称轴为，所以当时，，即，由，知，综上，，故B正确； 对C，取中点，连接，则，所以为二面角的平面角，在中，，故C正确； 对D，在正方体中，,平面， 所以平面，即平面一个法向量为, 又，所以，故D错误. 故选：BC 12. 已知抛物线上的两点，及抛物线上的动点，直线PA，PB的斜率分别为，，坐标轴原点记为O，下列结论正确的是（） A. 抛物线的准线方程为 B. 三角形AOB为正三角形时，它的面积为 C. 当为定值时，为定值 D. 过三点，，的圆的周长大于 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线方程判断A，根据正三角形求出直线斜率，联立抛物线求点A坐标即可判断B，直接计算结合在抛物线方程上化简可判断C，根据题意及圆的性质求出半径，结合点在抛物线上可得出半径范围，即可判断D. 【详解】对A，由抛物线知准线方程为，故A错误； 对B，当三角形AOB为正三角形时，不妨设A在第一象限，则，直线方程为，联立，可得，故， 所以，故B正确； 对C，，当为定值时，为定值，故C正确； 对D，因为圆过三点，，，所以可设圆心为，则，平方后可得， 故，因为，所以，即， 故，所以圆的周长，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.） 13. 已知，，，均为锐角，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式求解. 【详解】因为，，且，均为锐角， 所以，， 所以. 故答案： 14. 已知某车间在上半年的六个月中，每个月的销售额y（万元）与月份（）满足线性回归方程，则该车间上半年的总销售额约为______万元. 【答案】198 【解析】 【分析】根据线性回归方程，分别将x的值代入，结果相加，即可得答案. 【详解】由题意可得该车间上半年的总销售额约为： （万元）， 故答案为：198 15. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为、，圆P：分别交线段、于M、N两点，则______. 【答案】##1.2 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及圆的半径确定，再由数量积坐标运算求解. 详解】由知圆心，半径， 又椭圆方程为， 所以在椭圆上，且椭圆的焦点，， 所以，， 因为, 所以, 又， 所以. 故答案为： 16. 数列的前n项和为，，且对任意的都有，则（1）若，则实数m的取值范围是______；（2）若存在，使得，则实数m为______. 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）由求得的取值范围. （2）求得的规律，对进行分类讨论，由此列方程求得的值. 【详解】依题意，，对任意的都有， 则， ， ， ， ， 以此类推，结合两式相减得， 可知数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列； 偶数项是首项为，公差为的等差数列. （1）若，即. 所以的取值范围是. （2）若存在，使得， . 当为奇数时，为偶数， 由得： ， 解得. 当为偶数时，为奇数， 由得： ， 解得. 综上所述，的值为或. 故答案为：；或 【点睛】根据递推关系求解数列的有关问题，关键是从递推关系中求得数列的通项公式.本题中的递推关系，通过分析后可知奇数项和偶数项是不同的，所以在求解时，要对的奇偶性进行分类讨论. 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列满足，且数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由对数运算及等比数列的定义判断数列为等比数列即可得解； （2）根据裂项相消法求数列的和即可. 【小问1详解】 因为，所以. 所以数列是首项为1公比为3的等比数列， 所以数列的通项为. 【小问2详解】 由(1)知数列的前n项和， 所以 . 所以数列前n项和. 18. 8月5日晚，2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳阳”文旅IP，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如下： 取到食品所需的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.05 0.