资源描述
高三理科数学试卷
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本试卷主要命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则等于（）
A． B． C． D．
2．若复数满足（是虚数单位），则等于（）
A． B． C． D．
3．《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步．问为田几何？答曰：一亩．”其意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步．问这块田的面积是多少？答：一亩．”如果百亩为一顷，今有田宽480步，长600步，则该田有（）
A．12顷 B．13顷 C．14顷 D．16顷
4．函数的图象在点处的切线方程是（）
A． B． C． D．
5．若点是抛物线：的焦点，点，分别是抛物线上位于第一、四象限的点，且轴，，则点的坐标为（）
A． B． C． D．
6．函数是定义在上的减函数的一个充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
7．已知函数（）的图象关于直线对称，则函数的最大值为（）
A．1 B． C．2 D．
8．已知平面向量，满足，，的夹角为，若，则的最小值为（）
A． B． C． D．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥中最长的棱长为（）
A．4 B． C． D．6
10．从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，则这些三位数的和为（）
A．1332 B．2544 C．3560 D．3864
11．已知双曲线：（，）的渐近线方程为，且焦距为10，过双曲线中心的直线与双曲线交于，两点，在双曲线上取一点（异于，），直线，的斜率分别为，，则等于（）
A． B． C． D．
12．已知函数，若对于任意的时，恒成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若实数，满足约束条件则的最小值为______．
14．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则______．
15．已知边长为3的正的三个顶点都在球（为球心）的表面上，且与平面所成的角为30°，则球的体积为______．
16．如图，在中，，，分别是，上的点，满足，．若，则的长为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知等比数列的各项均为正数，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求．
18．（12分）
甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班选出3人组成甲、乙两支代表队，每队初始分均为4分，首轮比赛每人回答一道必答题，答对则为本队得2分，答错或不答扣1分．已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示首轮甲队总分．
（1）求随机变量的分布列及其数学期望；
（2）求在甲队和乙队总分之和为14的条件下，甲队与乙队得分相同的概率．
19．（12分）
如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点，为上靠近的三等分点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（12分）
已知椭圆：（）的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于，两点，且椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值．
21．（12分）
已知函数，为正实数．
（1）若在上为单调函数，求的取值范围；
（2）若对任意的，，且，都有，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）求曲线与曲线的交点的极坐标．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，若存在，使得成立，求的取值范围．
高三理科数学参考答案、提示及评分细则
1．B，又，所以．
2．C由，得，所以．
3．A依题可得该田有顷．
4．D，则切线的斜率是，，切线方程是，
即．
5．A由题知，故，，所以，所以．
6．B由题知．
7．C由，可得，所以，
所以的最大值为2．
8．C由题意，不妨设，，，，又，在以为圆心，1为半径的圆上，所以的最小值为．
9．D该四棱锥如图所示，观察可知，最长的棱是，长为．
10．D分三种情况：（1）所有不含0的三位数的和为；
（2）含0且0在十位上的三位数的和为；
（3）含0且0在个位上的三位数的和为．
那么可得符合条件的这些三位数之和为．
11．B双曲线的两条渐近线方程为，所以，因为焦距为10，所以，又，所以，，故双曲线的方程为．设点，则根据对称性可知，点，，，所以，且，，两式相减可得，．
12．A的定义域为，且，所以为奇函数，且当时，单调递增，所以在上单调递增．，即，所以，可得，所以，设，，因为，所以，单调递增，，所以，所以．
13．约束条件所表示的平面区域如图阴影部分所示，则当，时，取得最小值为．
14．5直线的斜率为，则．则．
15．设正的外接圆圆心为，易知，在中，，即球的半径，故球的体积为．
16．设，则，又由已知可得，在中，由正弦定理可得①；在中，由正弦定理可得②．①÷②得，又，，所以，，所以，，，所以．
17．解：（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，
解得或（舍去），所以．
（2）因为，
所以．
18．解：（1）的可能取值为1，4，7，10，
；；
；．
所以的分布列为
1
4
7
10
．
（2）设“甲队和乙队得分之和为14”为事件，“甲队与乙队得分相同”为事件，则
，
，所以．
19．（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为，所以，
因为，为中点，所以．
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）解：由（1）及题意知，，，两两互相垂直，故以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，则
所以令，所以，，，
设平面的一个法向量为，则
所以令，则，所以．
设二面角的平面角为，易知为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为．
20．解：（1）由椭圆的离心率为，且过点得
椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，，则；
当直线斜率存在且不等于零时，设直线：，联立
可得，
设，，则，，，
显然，在轴两侧，，异号，
所以
，
当且仅当，时，取等号．
所以的最大值为．
21．解：（1）时，，，
因为函数在上为单调函数，当时，，所以，
所以，即的取值范围为．
（2）因为，所以，
所以在区间上是减函数．
①当时，．
由在上恒成立．
设，所以（），
所以在上为增函数，所以．
②当时，．
由在上恒成立．
令，所以在上为增函数，
所以，
综上：的取值范围为．
22．解：（1）（为参数）化为普通方程为，
即，把代入，
可得，即的极坐标方程为．
（2）曲线的直角坐标方程为，由得或
则与的交点的极坐标为和．（也可直接用极坐标计算得到）
23．解：（1）当时，
则由，得；由，得无解；由，得．
所以不等式的解集为或．
（2）当时，
若存在，使成立，则，，
所以的取值范围为．
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