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高三数学（理科）试卷
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到轴的距离是，则（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. 函数的部分图象大致为（）
A. B.
C D.
5. 若是第二象限角，且，则（）
A. B. C. D. ，
6. 某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用矿泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶500ml的矿泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用情况主要有四种：A．全部喝完；B．喝剩约；C．喝剩约一半；D．其他情况．该数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完人数是（）
A. 40 B. 30 C. 22 D. 14
7. 在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）
A. B. C. D.
8. 当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质．光线透过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率为90%（即光线强度减弱10%）．若光线强度要减弱到原来的以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是（）（参考数据：，）
A. 30块 B. 31块 C. 32块 D. 33块
9. 已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，．若，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则（）
A. 的最小正周期是 B. 的图象关于直线对称
C. 在上有4个极值点 D. 在上单调递减
11. 已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作圆的切线交双曲线的右支于点，切点为，若，则双曲线的离心率为（）
A. B. 2 C. 3 D.
12. 数学中有许多形状优美，寓意独特几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 已知向量，，，若，，三点共线，则______．
14. 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则______．
15. 某班派甲、乙等五人参加跳高、跳远、米短跑这三个项目，要求每人只参加一个项目，且每个项目都要有人参加，则甲、乙参加同一个项目的概率是______．
16. 已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，且，则______．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚．题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 公差不为的等差数列的前项和为，且满足，、、成等比数列．
（1）求的前项和；
（2）记，求数列的前项和．
18. 某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽奖，得到的30组数据如下：
1 3 1 1 6 3 3 4 1 2
4 1 2 5 3 1 2 6 3 1
6 1 2 1 2 2 5 3 4 5
（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖一次，积分为3分和2分的概率；
（2）某顾客从上述30个样本数据中随机抽取2个，若该顾客总积分是几分，商场就让利几折（如该顾客积分为，商场就给该顾客的所有购物打折），记该顾客最后购物打X折，求X的分布列和数学期望．
19. 如图，在正三棱柱中，，，分别是棱，的中点．
（1）证明：平面平面．
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20. 已知椭圆的离心率是，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）已知，直线与椭圆交于、两点，若直线、的斜率之和为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
21. 已知函数图象在处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）若关于的不等式对于任意恒成立，求整数的最大值．（参考数据：）
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）已知，设直线和曲线交于，两点，线段中点为，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求的取值范围．
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