广东省五校（华附省实深中广雅六中）2022-2023学年高二上学期期末联考数学（解析版）

2022学年高二上学期期末限时训练试卷 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 第一部分选择题（共60分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的性质求出集合,再解一元二次不等式求出集合，即可求解. 【详解】由得解得或， 所以或， 又由解得，所以， 所以， 故选:D. 2. 某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生1~5之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数： 522 553 135 354 313 531 423 521 541 142 125 323 345 131 332 515 324 132 255 325 则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪概率为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 根据条件找出三天中恰有两天下雪的随机数，再按照古典概型求概率. 【详解】20组数据中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪，共有9组随机数，所以. 故选：B 3. 设复数满足，则在复平面上对应的图形是（） A. 两条直线 B. 椭圆 C. 圆 D. 双曲线 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据模长相等列出方程，得到在复平面上对应的图形是两条直线. 【详解】设，则， 可得：， 化简得：， 即或， 则在复平面上对应的图形是两条直线. 故选：A 4. 在中，已知，，，满足此条件的三角形只有一个，则满足（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合正弦定理得，满足条件的三角形只有一个，即有唯一的角与其对应，即可确定B的范围，求得结果. 【详解】由正弦定理得，则有，. ∵满足条件的三角形只有一个，即有唯一的角与其对应，则，故. 故选：D 5. 圆内接四边形中，，是圆的直径，则（） A. 12 B. C. 20 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质及数量积的定义即求. 【详解】 由题知，， ∴ . 故选：B. 6. 已知数列为等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为（） A. 11 B. 12 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，判断出，的符号，再根据等差数列前项和的计算公式，即可求得. 【详解】因为等差数列的前项和有最大值，故可得， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又因为， 故可得，所以数列的前6项和有最大值， 且， 又因为，， 故取得最小正值时n等于. 故选：A. 7. 已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不妨设在第一象限，由椭圆的左焦点，点，是线段的三等分点，易得，代入椭圆方程可得，又，两式相结合即可求解 【详解】 不妨设在第一象限，由椭圆的左焦点，点，是线段的三等分点， 则为的中点，为中点，所以，所以，则 即，所以，， 将点坐标代入椭圆方程得，即， 又，所以，， 所以椭圆标准方程是. 故选：B 8. 定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，讨论单调性，利用单调性解不等式. 【详解】由且，， 则两边同时除以可得， 令，则在单调递增， 由得且， 即解得， 故选：D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线（，）的右焦点为，在线段上存在一点，使得到渐近线的距离为，则双曲线离心率的值可以为（） A. B. 2 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】写出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离列出不等式，得到，判断出AB正确. 【详解】的一条渐近线方程为， 设，， ，整理得：， 因为，所以，即， 解得：， 因为，，，， 所以AB正确，CD错误. 故选：AB 10. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（） A. 的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判断A,B,将代入，化简，利用基本不等式求解可判断C，利用基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A,因为， 即，解得， 又因为正实数，，所以， 则有，当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B，， 即，解得（舍）， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C,由题可得所以，解得， ， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 对于D, ， 当且仅当时取得等号，故D正确， 故选:BCD. 11. 已知正方体的边长为2，为正方体内（包括边界）上的一点，且满足，则下列说正确的有（） A. 若为面内一点，则点的轨迹长度为 B. 过作面使得，若，则的轨迹为椭圆的一部分 C. 若，分别为，的中点，面，则的轨迹为双曲线的一部分 D. 若，分别为，的中点，与面所成角为，则的范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，转化为，得到的轨迹再求解. 对于BC项，根据平面截圆锥所得的曲线的四种情况解决. 对于D项，建立空间直角坐标系解决. 【详解】对于A项，正方体中，平面，若为面内一点，所以. 又因为，所以， 在中，所以 故点的轨迹是以为圆心为半径的个圆弧，所以点的轨迹长度为 故A正确. 对于B项，因为，即为定值，线段也为定值，取的中点，故点的轨迹是以为轴线，为母线的圆锥的侧面上的点.设平面即为下图的圆面，过点作的平行线交圆锥底面于点，交于点，从图形可得，易得，故的轨迹为椭圆的一部分，所以B正确. 对于C项,平面与轴线所成的角即为平面与所成的角，是平面与轴线所成的角，在中，而母线与轴线所成的角为，在中，即母线与轴线所成的角与截面与轴线所成的角，所以点的轨迹应为抛物线，故C不正确. 对于D项,以为原点，分别为轴的非负半轴建立如图所示的坐标系， 连接并延长交上底面于点，设，则 ， 则，设面的法向量为 所以 所以与面所成角的正弦值为 又因为 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】用平面去截圆锥所得的曲线可能为，圆、椭圆、抛物线、双曲线. 截面与圆锥轴线成角等于轴线与母线所成的角，截面曲线为抛物线； 截面与圆锥轴线成角大于轴线与母线所成的角，截面曲线为椭圆； 截面与圆锥轴线成角小于轴线与母线所成的角，截面曲线为双曲线； 截面与轴线垂直得到截面曲线为圆. 12. 已知函数，，则（） A. 函数为偶函数 B. 函数为奇函数 C. 函数为奇函数 D. 为函数函数图像的对称轴 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数的的奇偶性定义可判断A,B,C，根据对称轴的性质判断D. 【详解】对于A，， 定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故A错误； 对于B, 定义域为， 所以函数为非奇非偶函数，故B错误； 对于C, ， 定义域为，设， ，所以函数为奇函数，故C正确； 对于D,设定义域为， ， 所以为函数函数图像的对称轴，故D正确， 故选:CD. 第二部分非选择题（共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】构造，得到是等比数列，求出通项公式，进而得到. 【详解】设，即，故，解得：， 故变形为，， 故是首项为4的等比数列，公比为3， 则， 所以， 故答案为： 14. 已知直线的方向向量为，点在直线上，则点到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出与直线的方向向量的夹角的余弦，转化为正弦后可得点到直线的距离． 【详解】， ， 所以， 点到的距离为． 故答案为：． 15. 函数（，）的部分图象如图所示，直线（）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由图象求得参数，由交点及余弦函数的对称性结合即可求值 【详解】由图可知，，即， 则，解得，，故. 则，最小正周期为. 直线（）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，，，则由图可知，. ∴. 故答案为： 16. 已知实数x、y满足，则的取值范围是________． 【答案】. 【解析】 【分析】讨论得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得的取值范围，进而可得的取值范围. 【详解】因为实数满足， 当时，方程为的图象为双曲线在第一象限的部分； 当时，方程为的图象为椭圆在第四象限的部分； 当时，方程为的图象不存在； 当时，方程为的图象为双曲线在第三象限的部分； 在同一坐标系中作出函数的图象如图所示， 表示点到直线的距离的倍 根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为， 令，即，与双曲线渐近线平行， 观察图象可得，当过点且斜率为的直线与椭圆相切时，点到直线的距离最大， 即当直线与椭圆相切时，最大， 联立方程组，得， ， 解得， 又因为椭圆的图象只有第四象限的部分， 所以， 又直线与的距离为，故曲线上的点到直线的距离大于1， 所以 综上所述，， 所以， 即， 故答案为：. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简，由整体法结合三角函数的单调增区间列不等式求解即可； （2）令，分析得关于对称，根据对称性化简求值. 【小问1详解】 令，则. 故函数的单调增区间为. 【小问2详解】 ，令， 由得，故关于对称， 故当时，关于对称. 故 . 18. 已知等比数列对任意的满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，定义为，中较小的数，，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由递推公式得，结合等比数列性质与条件等式两式相处，即可求得，再令由等式求得，即可根据公式法得通项公式； （2）化简对数式得，分析与的大小，即可根据定义得的分段函数，即可分段求和. 【小问1详解】 设等比数列公比为q，则有，两式相除化简得，解得， 又，可得. ∴数列的通项公式. 【小问