湖南省邵阳市2023届高三上学期一模数学试题（原卷版）

2023年邵阳市高三第一次联考试题卷 数学试题 本试卷共4页，22个小题.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则（） A. B. C. D. 2已知复数满足，则（） A. B. C. D. 3. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（） A. B. C. D. 4. 设向量，满足，，则（） A. 2 B. C. 3 D. 5. 某铅笔工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%.现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍.现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为（） A. 0.92 B. 0.08 C. 0.54 D. 0.38 6. 已知A,B,C分别是的内角，，，则C的值是（） A. B. C. D. 7. 设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 8. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法错误的是（） A. 二面角余弦值为 B. 该截角四面体的体积为 C. 该截角四面体的外接球表面积为 D. 该截角四面体的表面积为 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数图象关于点对称 C. 函数为周期函数，且最小正周期为 D. 函数的导函数的最大值为4 10. 已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（） A. B. 函数的图象关于点对称 C. D. 若，则 11. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔•蒙日最先发现，已知长方形R的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的蒙日圆方程为 C. 椭圆C的蒙日圆方程为 D. 长方形R的面积的最大值为 12. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C. 若有两个零点，则 D. 若，且，则的最大值为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 的展开式中不含的各项系数之和______. 14. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________. 15. 已知圆与圆相交于两点，则公共弦所在的直线方程为______，______. 16. 在正方体中，点满足，且，直线与平面所成角为，若二面角大小为，则的最大值是______. 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数列满足，，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 18. 如图，为内的一点，记为，记为，且，在中的对边分别记为m，n，，，. （1）求； （2）若，，，记，求线段的长和面积的最大值. 19. 如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱BE的中点. （1）若上有一点N满足平面，确定点N的位置并证明； （2）若，，求平面与平面所成二面角的正弦值. 20. 新冠疫情暴发以来，各级人民政府采取有效防控措施，时常采用10人一组做核酸检测（俗称混检），某地在核酸检测中发现某一组中有1人核酸检测呈阳性，为了能找出这1例阳性感染者，且确认感染何种病毒，需要通过做血清检测，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测： 方案甲：将这10人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止. 方案乙：将这10人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.把采用方案甲，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为X. （1）求X的数学期望； （2）如果每次检测费用相同，以检测费用的期望作为决策依据，应选择方案甲与方案乙哪一种？ 21. 已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为5. （1）求抛物线C的方程； （2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值. 22. 设函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，记，是否存在整数t，使得关于x的不等式有解?若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由. 第7页/共7页 学科网（北京）股份有限公司