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高考数学冲刺专题卷 集合
一、命题陷阱设置
1.元素与集合,集合与集合关系混淆陷阱;
2.造成集合中元素重复陷阱;
3.隐含条件陷阱;
4.代表元变化陷阱;
5.分类讨论陷阱;
6.子集中忽视空集陷阱;
7.新定义问题;
8.任意、存在问题中的最值陷阱.
二、典例分析及训练.
(一)元素与集合,集合与集合关系混淆陷阱
例1. 已知,则
【答案】A
陷阱预防:表面看是集合与集合之间的关系,实质上是元素与集合之间的关系,这类题目防范办法是把集合用列举法表示来.
练习1.集合之间的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵,∴, , ,故,故选C.
练习2. 对于集合,若,则,那么的值是________.
【答案】或
【解析】,则则,则舍去,因此的值是或
(二)集合中元素重复陷阱
例2. 是实数,集合 ,,若,求.
【答案】
【解析】 .
,得 时, 不满足互异性,
舍去; 时,满足题意.
.
陷阱预防:对于两个集合相等或子集问题,涉及元素问题,必须要保证集合元素的互异性.
练习1.已知集合,则 ____.
【答案】0或2或-1
【解析】由得,所以或,所以或或或,又由集合中元素的互异性知.所以或2或-1.
故答案为0或2或-1
练习2. 已知集合,集合,集合请写出集合A,B,C之间的关系______________.
【答案】
【解析】集合表示直线 上的所有点;
集合表示直线 上满足 的点;
集合表示直线 上满足 的点
故
(三)隐含条件陷阱
例3.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
陷阱预防:注意两个集合代表元的条件,容易忽视集合中元素属于整数的条件.
练习1. 集合,则集合与集合之间的关系( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设,则,说明集合A的元素一定是集合B的元素,则,选A.
练习2. 已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合 ,
故
故答案为C。
(四)代表元的变化陷阱
例4. 已知,则三个集合的关系.
【答案】见解析
【解析】因为
所以,;又因为的代表元是有序实数对,所以它表示的是点集,因此,集合与集合没有关系.
陷阱预防:解这类问题需要注意集合代表元是什么,是数集还是点集.
练习1. 设集合,则 ( )
【答案】C
【解析】.
,
∴,故选C
练习2. 已知集合, ,则A∩B=( )
A. B. C. (0,1] D. (0,3]
【答案】D
(五)参数取值不完整造成漏解
例5.已知集合,若中只有一个元素,则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】当时, ,满足题意.
当时,要使集合中只有一个元素,即方程有两个相等的实数根,则,解得.
综上可得或.选C.
陷阱预防:对参数必须全面考虑,注意二次项系数为0时,它不是一元二次方程.
练习1. 已知函数,若集合中有且只有一个元素,则实数的取值范围为 _____________.
【答案】
又,若则,此时
则集合中有两个元素0,1,不符题意;故
此时集合中有且只有一个元素,需满足
即解得
即答案
练习2. 关于的不等式的解集为.
(1)求的值;
(2)若关于的不等式解集是集合,不等式的解集是集合,若,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)根据题意关于的不等式的解集为,又由题意可知不等式对应方程的两个实数根为和,
,解得.
(2),原等式可转化为,
即,
对应方程的根为
①当时, 不等式的解集是.
②当时, .
.
③当时, ∅,满足.
综合上述, .
练习3.已知集合,集合.
(1)若;求;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1)或;(2)
【解析】(1)若,则,
故或
(2),不等式解集分三种情况讨论:
①,则不成立;
②,则,由得得;
③,则,由得得.
综上所述: 的取值范围为.
(六)子集中的空集陷阱
例6.已知.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
(2) 当时,即 ∴.
当时,即
∵, .
∴或 即.
∴.
综上所述:实数的取值范围是.
陷阱预防:对于含参数的子集问题,一定要做到看到子集要想到空集.
练习1. 已知, .
(1)当时,求和;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1), ;(2).
【解析】试题分析:(1)时,写出集合B,利用数轴即可求出;
(2)分时与时两种情况分类讨论即可求出结论.
试题解析:
(1)时, ,
故, .
(1)求;
(2)若集合,且,求的取值范围.
【答案】(1);;(2).
【解析】(1)由得,
解得,
∴。
。
又
∴
(七)新定义
例5.若,则,就称是伙伴关系集合,集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是
A. 31 B. 7 C. 3 D. 1
【答案】B
【解析】集合
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为:
故选B.
陷阱预防:对于集合的新定义问题首先读懂题意,把问题转化为已经高中的基础知识后解答.
练习1. 给定全集,非空集合满足, ,且集合中的最大元素小于集合中的最小元素,则称为的一个有序子集对,若,则的有序子集对的个数为( )
A. 48 B. 49 C. 50 D. 51
【答案】B
【解析】 时, 的个数是
时, 的个数是
时, 的个数是 ,
时, 的个数是1
时, 的个数是,
时, 的个数是
时, 的个数是1,
时, 的个数是
时, 的个数是1
时, 的个数是1
时, 的个数是
时, 的个数是1、
时, 的个数是1
时, 的个数是1
时, 的个数是1
的有序子集对的个数为49个,
练习2. 对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.
(1) 判断函数是否为 “()型函数”,并说明理由;
(2) 若函数是“()型函数”,求出满足条件的一组实数对;
(3)已知函数是“()型函数”,对应的实数对为(1,4).当 时, ,若当时,都有,试求的取值范围.
【答案】(1) 不是“()型函数”;(2) ;(3) .
【解析】(1) 不是“()型函数”,因为不存在实数对使得,
即对定义域中的每一个都成立;
(2) 由,得,所以存在实数对,
如,使得对任意的都成立;
当,即时, 的值域为,即,则在上的值域为,则由题意,得
且,解得;当,即时, 的值域为,即,则在上的值域为,即,则,
解得
综上所述,所求的取值范围是
练习3.对于集合,如果,则称集合具有性质,给出下列结论:
①集合具有性质;
②若, ,且具有性质,则;
③若, ,则不可能具有性质;
④当时,若,则具有性质的集合有且仅有一个.
其中正确的结论是__________.
【答案】①③④
【解析】①,故①正确;
②不妨设,则由韦达定理可知:
, 是方程的两个根,
由,可得: 或,故②错误;
③不妨设中,
由,得:
,
当时, ,
∵,
∴,于是有, 无解,
即不存在满足条件的集合,故③正确;
④由③可知:当时, ,故只能, ,解得,
于是具有性质的集合只有一个,为,故④正确.
综上所述,正确的结论是:①③④.
(八)任意、存在问题中的最值陷阱
例7.若函数,对于,使,
则的取值范围是__________.
【答案】
陷阱预防:把问题转化为求函数的最大值、最小值问题,一定要分清是最大值还是最小值.
练习1.已知命题:“,都有不等式成立”是真命题.
(1)求实数的取值集合;
(2)设不等式的解集为,若“是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
【答案】
【解析】(1)命题:“,都有不等式成立”是真命题,得在时恒成立,∴,得,即.
(2)不等式,①当,即时,
解集,若是的充分不必要条件,则,∴,此时;②当,即时,解集,若是的充分不必要条件,则成立;③当,即时,解集,若是的充分不必要条件,则成立,∴,此时,综上①②③可得的取值范围是.
练习2. 已知命题:函数的定义域为;命题,使不等式成立;命题 “”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围.
【答案】
【解析】若命题为真命题,则在恒成立,
当时显然不成立,
当时,则有,解得;
若命题为真命题,则,
令,
所以.
练习3.命题,命题.
(1)若“或”为假命题,求实数的取值范围;
(2)若“非”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)关于命题,
时,显然不成立, 时成立,
时,只需即可,解得: ,
故为真时: ;
关于命题,解得: ,
命题“或”为假命题,即均为假命题,
则;.
(2)非,
所以
三.高考真题体验
1.已知集合,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由可得,则,即,所以
,,故选A.
2.设集合,.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得,即是方程的根,所以,,故选C.
3.已知集合A=,B=,则AB中元素的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
4.设集合 ,,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】因为所以故选D.
5.设集合 ,则( )
(A) [2,3] (B)(- ,2] [3,+) (C) [3,+) (D)(0,2] [3,+)
【答案】D
【解析】由解得或,所以,
所以,故选D.
6.已知集合,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】
试题分析:集合,而,所以,故选C.
7.设集合 则=( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】
试题分析:,,则,选C.
8.设集合,Z为整数集,则中元素的个数是( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
【答案】C
【解析】由题意,,故其中的元素个数为5,选C.
考点:集合中交集的运算.
9.已知全集 ,集合 ,集合 ,则集合( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】,所以,故选A.
10.已知集合,,若则实数的值为 ▲ .
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