2021年湖南省高考数学冲刺试卷（三）
1. 已知p：∃x0∈R，使得2x0
x02
C. ∀x∈R，2x≥x2 D. ∃x0∈R，2x0≥x02
2. 棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667−1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cosπ5+isinπ5)6在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知奇函数y=f(x)为R上的增函数，且在区间[−2,3]上的最大值为9，最小值为−6，则f(−3)+f(2)的值为( )
A. 3 B. 1 C. −1 D. −3
4. 魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术.他在《九章算术》之方田章之圆田术中指出：“割圆之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程.数学中这类问题多着呢!比如：在正数121+121+....中的“…”代表无限重复，设x=121+121+....，则可列方程x=121+x，求得x=3(x=−4不合题意，舍去).类似地，可得到正数555......等于( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
5. 某商场经营的某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布N(10,σ2)，根据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为( )
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
6. 已知三棱锥P−ABC的底面是边长为3的正三角形，且PA=3，PB=4，PC=5，则三棱锥P−ABC的体积为( )
A. 3 B. 10 C. 11 D. 23
7. 已知a>0，b<0，则x=2a，y=2b，z=log12(a+1)的大小关系为( )
A. x>z>y B. y>x>z C. z>y>x D. x>y>z
8. 已知函数f(x)=ex+e−x+2cosx，其中e为自然对数的底数，则对任意a∈R，下列不等式一定成立的是( )
A. f(a2+1)≥f(2a) B. f(a2+1)≤f(2a)
C. f(a2+1)≥f(a+1) D. f(a2+1)≤f(a)
9. 一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同.
赵说：“我选的是A.”
钱说：“我选的是B，C，D之一.”
孙说：“我选的是C.”
李说：“我选的是D.”
已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是( )
A. 赵 B. 钱 C. 孙 D. 李
10. 已知数列{an}满足a1=a，an+1=an2+1an(n∈N∗)，则下列关于{an}的判断中，错误的是( )
A. ∀a>0，∃n≥2，使得an<2
B. ∃a>0，∃n≥2，使得an0，∃m∈N∗，总有am0，∃m∈N∗，总有am+n=an
11. 已知焦点在x轴上的椭圆过点(3,0)且离心率为63，则( )
A. 椭圆的标准方程为x29+y23=1
B. 椭圆经过点(0,23)
C. 椭圆与双曲线x2−y2=3的焦点相同
D. 直线y−1=k(x−1)与椭圆恒有交点
12. 某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”.他决定按如下两种方案打车.方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车，就乘此车，否则直接乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为p1，p2，则下列判断不正确的是( )
A. p1=p2=12 B. p1=p2=13
C. p1=12，p2=13 D. p1=13，p2=12
13. 已知函数g(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)=3cos2x+sinxcosx−3的图象，则g(π3)=______ .
14. 设a，b是正数，若两直线l1：(m−1)x+(3−2m)y+1=0(m∈R)和l2：ax+by+2=0恒过同一定点，则1a+2b的最小值为______ .
15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A+sin2B−sin2Cc=sinAsinBacosB+bcosA，若a+b=4，则c的取值范围是______ .
16. 若关于x的方程2|x−1|+acos(1−x)=0只有一个实数解，则实数a的取值的集合是______ .
17. 如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60∘，经过对角线AC1的平面和侧棱BB1相交于点F，且B1F=2BF.
(1)求证：平面AC1F⊥平面BCC1B1；
(2)求二面角F−AC1−C的余弦值.
18. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，b=1，且(sinA+sinB+C2)(sinA−sinB+C2)=0.
(1)求∠A的大小和边a的长；
(2)若点P在△ABC的内部或边上运动记点P到边BC，CA的距离分别为x，y，点P到△ABC三边的距离之和为d，试用x，y表示d，并求d的最大值和最小值.
19. 数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分.数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动.已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图.
(1)为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上(含60分)的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平，决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记ξ为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求ξ的分布列和数学期望；
(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ可用样本平均数近似代替，σ2可用样本方差近似代替(用一组数据的中点值作代表)，若成绩在46分以上的学生均能得到奖励.本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数.(结果根据四舍五入保留到整数位)
解题中可参考使用下列数据：
P(μ−σb>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且满足BF1⋅BF2=0.
(1)求椭圆C的离心率e；
(2)设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过点F1，试问是否存在过点F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，请说明理由.
22. 函数f(x)=lnex−1x，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an).
(1)试求f(x)的单调区间；
(2)求证：数列{an}为递减数列，且an>0恒成立．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，2x≥x2，
故选：C.
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2.【答案】C
【解析】解：由(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx，
得(cosπ5+isinπ5)6=cos6π5+isin6π5=−cosπ5−isinπ5，
∴复数(cosπ5+isinπ5)6在复平面内所对应的点的坐标为(−cosπ5,−sinπ5)，位于第三象限．
故选：C.
由题意可得(cosπ5+isinπ5)6=cos6π5+isin6π5=−cosπ5−isinπ5，再由三角函数的符号得答案．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为函数y=f(x)为R上的增函数，
则f(x)在[−2,3]上是增函数且最大值为f(3)=9，最小值为f(−2)=−6，
又∵f(x)是奇函数，
∴f(−3)=−f(3)=−9，f(2)=−f(−2)=6，
∴f(−3)+f(2)=−9+6=−3.
故选：D.
根据函数的奇偶性与单调性求解即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：依题意，得5x=x
，解得x=5，
经过验证满足题意，
∴x=5.
故选：B.
依题意，得5x=x，x，即可得出．
本题考查了极限的思想、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N(10,σ2).
∴考试的成绩ξ关于ξ=10对称，
∵P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96，
∴P(ξ<9.9)=1−0.962=0.02，
∴公司有2000名职工，则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为0.02×21000=20.
故选：B.
根据考试的成绩ξ服从正态分布N(10,σ2).得到考试的成绩ξ关于ξ=10对称，根据P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96，得到P(ξ<9.9)=0.02，根据频率乘以样本容量得到分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数．
本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=10对称．属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵三棱锥P−ABC的底面是边长为3的正三角形，PA=3，PB=4，PC=5，
∴PB2+BC2=PC2，∴PB⊥BC，∴△PBC是直角三角形，
如图，由斜线长相等，则射影长相等，可得A在平面PBC内的射影H为直角三角形PBC的外心，
故H为△PBC斜边PC的中点，
∵AP=AC=3，H为PC中点，且PC=5，则AH=32−(52)2=9−254=112，
∴该三棱锥P−ABC的体积为：VP−ABC=VA−PBC=13×12×3×4×112=11.
故选：C.
由题意画出图形，由已知可得△PBC为直角三角形，再由射影长相等可得A在平面PBC内的射影H为直角三角形PBC的外心，故H为△PBC斜边PC的中点，求出A到底面的距离，再由棱锥体积公式求解．
本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】D
【解析】解：∵a>0，b<0，
∴2a>2b>0，a+1>1，log12(a+1)y>z.
故选：D.
根据指数函数的单调性及值域即可得出2a>2b>0，而根据对数函数的单调性即可得出log12(a+1)<0，这样即可得出x，y，z的大小关系．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性以及不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由f(−x)=f(x)，可得f(x)在R上是偶函数，函数f(x)=ex+e−x+2cosx，利用导数研究函数的单调性即可得出．
【解答】
解：∵f(−x)=f(x)，
∴f(x)在R上是偶函数．
函数f(x)=ex+e−x+2cosx，
f'(x)=ex−e−x−2si