2021年湖南省高考数学冲刺试卷(三)
1. 已知p:∃x0∈R,使得2x0
x02
C. ∀x∈R,2x≥x2 D. ∃x0∈R,2x0≥x02
2. 棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667−1754)发现的,根据棣莫弗公式可知,复数(cosπ5+isinπ5)6在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知奇函数y=f(x)为R上的增函数,且在区间[−2,3]上的最大值为9,最小值为−6,则f(−3)+f(2)的值为( )
A. 3 B. 1 C. −1 D. −3
4. 魏晋时期,数学家刘徽首创割圆术.他在《九章算术》之方田章之圆田术中指出:“割圆之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程.数学中这类问题多着呢!比如:在正数121+121+....中的“…”代表无限重复,设x=121+121+....,则可列方程x=121+x,求得x=3(x=−4不合题意,舍去).类似地,可得到正数555......等于( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
5. 某商场经营的某种包装的大米质量ξ(单位:kg)服从正态分布N(10,σ2),根据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利,若该公司有1000名职工,则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为( )
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
6. 已知三棱锥P−ABC的底面是边长为3的正三角形,且PA=3,PB=4,PC=5,则三棱锥P−ABC的体积为( )
A. 3 B. 10 C. 11 D. 23
7. 已知a>0,b<0,则x=2a,y=2b,z=log12(a+1)的大小关系为( )
A. x>z>y B. y>x>z C. z>y>x D. x>y>z
8. 已知函数f(x)=ex+e−x+2cosx,其中e为自然对数的底数,则对任意a∈R,下列不等式一定成立的是( )
A. f(a2+1)≥f(2a) B. f(a2+1)≤f(2a)
C. f(a2+1)≥f(a+1) D. f(a2+1)≤f(a)
9. 一道四个选项的选择题,赵、钱、孙、李各选了一个选项,且选的恰好各不相同.
赵说:“我选的是A.”
钱说:“我选的是B,C,D之一.”
孙说:“我选的是C.”
李说:“我选的是D.”
已知四人中只有一人说了假话,则说假话的人可能是( )
A. 赵 B. 钱 C. 孙 D. 李
10. 已知数列{an}满足a1=a,an+1=an2+1an(n∈N∗),则下列关于{an}的判断中,错误的是( )
A. ∀a>0,∃n≥2,使得an<2
B. ∃a>0,∃n≥2,使得an0,∃m∈N∗,总有am0,∃m∈N∗,总有am+n=an
11. 已知焦点在x轴上的椭圆过点(3,0)且离心率为63,则( )
A. 椭圆的标准方程为x29+y23=1
B. 椭圆经过点(0,23)
C. 椭圆与双曲线x2−y2=3的焦点相同
D. 直线y−1=k(x−1)与椭圆恒有交点
12. 某人决定就近打车前往目的地,前方开来三辆车,且车况分别为“好”“中”“差”.他决定按如下两种方案打车.方案一:不乘第一辆车,若第二辆车好于第一辆车,就乘此车,否则直接乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.若三辆车开过来的先后次序等可能,记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为p1,p2,则下列判断不正确的是( )
A. p1=p2=12 B. p1=p2=13
C. p1=12,p2=13 D. p1=13,p2=12
13. 已知函数g(x)的图象向左平移π6个单位长度,得到函数f(x)=3cos2x+sinxcosx−3的图象,则g(π3)=______ .
14. 设a,b是正数,若两直线l1:(m−1)x+(3−2m)y+1=0(m∈R)和l2:ax+by+2=0恒过同一定点,则1a+2b的最小值为______ .
15. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2A+sin2B−sin2Cc=sinAsinBacosB+bcosA,若a+b=4,则c的取值范围是______ .
16. 若关于x的方程2|x−1|+acos(1−x)=0只有一个实数解,则实数a的取值的集合是______ .
17. 如图,直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形,侧面是正方形,∠DAB=60∘,经过对角线AC1的平面和侧棱BB1相交于点F,且B1F=2BF.
(1)求证:平面AC1F⊥平面BCC1B1;
(2)求二面角F−AC1−C的余弦值.
18. 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2,b=1,且(sinA+sinB+C2)(sinA−sinB+C2)=0.
(1)求∠A的大小和边a的长;
(2)若点P在△ABC的内部或边上运动记点P到边BC,CA的距离分别为x,y,点P到△ABC三边的距离之和为d,试用x,y表示d,并求d的最大值和最小值.
19. 数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分.数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展,某学校举行了一次数学建模竞赛活动.已知该竞赛共有60名学生参加,他们成绩的频率分布直方图如图.
(1)为了对数据进行分析,将60分以下的成绩定为不合格,60分以上(含60分)的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平,决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人,然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记ξ为抽取的4人中,成绩不合格的人数,求ξ的分布列和数学期望;
(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可用样本平均数近似代替,σ2可用样本方差近似代替(用一组数据的中点值作代表),若成绩在46分以上的学生均能得到奖励.本次数学建模竞赛满分为100分,试估计此次竞赛受到奖励的人数.(结果根据四舍五入保留到整数位)
解题中可参考使用下列数据:
P(μ−σb>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,且满足BF1⋅BF2=0.
(1)求椭圆C的离心率e;
(2)设P为椭圆上异于顶点的点,以线段PB为直径的圆经过点F1,试问是否存在过点F2的直线与该圆相切?若存在,求出其斜率;若不存在,请说明理由.
22. 函数f(x)=lnex−1x,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an).
(1)试求f(x)的单调区间;
(2)求证:数列{an}为递减数列,且an>0恒成立.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:命题为特称命题,则命题的否定为∀x∈R,2x≥x2,
故选:C.
根据含有量词的命题的否定即可得到结论.
本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
2.【答案】C
【解析】解:由(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx,
得(cosπ5+isinπ5)6=cos6π5+isin6π5=−cosπ5−isinπ5,
∴复数(cosπ5+isinπ5)6在复平面内所对应的点的坐标为(−cosπ5,−sinπ5),位于第三象限.
故选:C.
由题意可得(cosπ5+isinπ5)6=cos6π5+isin6π5=−cosπ5−isinπ5,再由三角函数的符号得答案.
本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查三角函数值的符号,是基础题.
3.【答案】D
【解析】解:因为函数y=f(x)为R上的增函数,
则f(x)在[−2,3]上是增函数且最大值为f(3)=9,最小值为f(−2)=−6,
又∵f(x)是奇函数,
∴f(−3)=−f(3)=−9,f(2)=−f(−2)=6,
∴f(−3)+f(2)=−9+6=−3.
故选:D.
根据函数的奇偶性与单调性求解即可.
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合,考查转化思想与运算求解能力,属于基础题.
4.【答案】B
【解析】解:依题意,得5x=x
,解得x=5,
经过验证满足题意,
∴x=5.
故选:B.
依题意,得5x=x,x,即可得出.
本题考查了极限的思想、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
5.【答案】B
【解析】解:∵考试的成绩ξ服从正态分布N(10,σ2).
∴考试的成绩ξ关于ξ=10对称,
∵P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96,
∴P(ξ<9.9)=1−0.962=0.02,
∴公司有2000名职工,则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为0.02×21000=20.
故选:B.
根据考试的成绩ξ服从正态分布N(10,σ2).得到考试的成绩ξ关于ξ=10对称,根据P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96,得到P(ξ<9.9)=0.02,根据频率乘以样本容量得到分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数.
本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义,解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=10对称.属于基础题.
6.【答案】C
【解析】解:∵三棱锥P−ABC的底面是边长为3的正三角形,PA=3,PB=4,PC=5,
∴PB2+BC2=PC2,∴PB⊥BC,∴△PBC是直角三角形,
如图,由斜线长相等,则射影长相等,可得A在平面PBC内的射影H为直角三角形PBC的外心,
故H为△PBC斜边PC的中点,
∵AP=AC=3,H为PC中点,且PC=5,则AH=32−(52)2=9−254=112,
∴该三棱锥P−ABC的体积为:VP−ABC=VA−PBC=13×12×3×4×112=11.
故选:C.
由题意画出图形,由已知可得△PBC为直角三角形,再由射影长相等可得A在平面PBC内的射影H为直角三角形PBC的外心,故H为△PBC斜边PC的中点,求出A到底面的距离,再由棱锥体积公式求解.
本题考查多面体体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,考查运算求解能力,是中档题.
7.【答案】D
【解析】解:∵a>0,b<0,
∴2a>2b>0,a+1>1,log12(a+1)y>z.
故选:D.
根据指数函数的单调性及值域即可得出2a>2b>0,而根据对数函数的单调性即可得出log12(a+1)<0,这样即可得出x,y,z的大小关系.
本题考查了指数函数和对数函数的单调性,指数函数的值域,考查了计算能力,属于基础题.
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数的奇偶性以及不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
由f(−x)=f(x),可得f(x)在R上是偶函数,函数f(x)=ex+e−x+2cosx,利用导数研究函数的单调性即可得出.
【解答】
解:∵f(−x)=f(x),
∴f(x)在R上是偶函数.
函数f(x)=ex+e−x+2cosx,
f'(x)=ex−e−x−2si