2023届北京市丰台区高三年级上册学期数学期末试题【含答案】

2023届北京市丰台区高三上学期数学期末试题 一、单选题 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集概念求解即可. 【详解】因为，， 所以或. 故选：B 2．已知复数，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先化简复数，求出共轭复数，即可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以对应的点为在第三象限， 故选：C. 3．在的展开式中，常数项为（    ） A． B．24 C． D．48 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项． 【详解】二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为 故选：B 4．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由可求出，再由充分性和必要性的定义即可得出答案. 【详解】若，则，解得：. 所以，而推不出. 故“”是“”的充分而不必要条件 故选：A. 5．下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析. 【详解】选项A由令的定义域为， 且， 由函数为二次函数开口向下，对称轴为轴， 所以在单调递减，故函数在区间上单调递减， 故A错误， 由的定义域为，关于原点对称 且， 所以为奇函数，故选项B错误， 由的定义域为， 且， 所以为奇函数，故C错误， 由的定义域为， 且，所以 为偶函数， ，且， 所以 ， 因为，且， 因为在上单调递增， 所以，， 所以， 故， 所以在区间上单调递增， 故选：D. 6．已知抛物线过点，焦点为F．若点满足，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】C 【分析】由抛物线过点，可求出，即可表示出，再由，即可求出m的值. 【详解】因为抛物线过点， 所以， 所以抛物线，则， 又因为，所以，解得：或. 故选：C. 7．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意，， 由解得或 画出的图象如下图所示， 由图可知，不等式的解集是. 故选：A 8．设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意得到直线，与另一条渐近线联立得到，根据为线段的中点得到，再代入双曲线方程求解即可. 【详解】由题知：，平行的一条渐近线为， 则直线， ，即. 因为为线段的中点，所以. 把代入得：， 化简得，即，则. 故选：C 9．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，点M为底面上的动点，M到的距离记为d，若，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面中求得点的轨迹方程，从而求得轨迹的长度. 【详解】由于平面平面，所以， 所以. 在正方形中，建立平面直角坐标系如下图所示， ，设，则， ，，， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 由令，解得， 则，由于，所以， 所以点的轨迹在底面正方形内的长度是. 故选：B 10．市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重．一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”．有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，30%，30%．经调查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示： 若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（    ） A．45% B．48% C．50% D．52% 【答案】D 【分析】根据市场占有率转移情况求得正确答案. 【详解】最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为： . 故选：D 二、填空题 11．函数的定义域是___________． 【答案】且 【分析】根据题意得到求解即可. 【详解】由题知：且. 故答案为：且. 12．已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】集合表示直线上的点，集合表示圆上的点，根据直线和圆相交计算得到范围. 【详解】集合表示直线上的点， 集合表示圆上的点，圆心为，半径， 为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即， 解得. 故答案为： 13．已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则___________． 【答案】 【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案. 【详解】由于若，且在区间上有最小值无最大值， ，则， 所以， ， 由于，所以的值为. 故答案为： 14．已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论： ①函数有零点；      ②a的取值范围是； ③；              ④． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①④ 【分析】求出函数定义域以及导函数.由可说明①正确；由已知，有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出的范围，判断②；根据求根公式，解出，结合②中解出的的范围，可得到，即③错误；根据导函数得出函数的单调性，结合③的解析，可得，即④正确. 【详解】由已知可得，定义域为，. 对于①，因为，所以1是函数的一个零点，故①正确； 对于②，因为函数存在两个极值点，所以有两个不同的正数解，即方程有两个不同的正数解， 则应满足，解得，故②错误； 对于③，解方程可得，，因为，所以，由②知，所以，所以，故③错误； 对于④，由可得，即，所以，所以在上单调递增；解可得，或，所以在上单调递减，在上单调递减. 由③知，所以，故④正确. 故答案为：①④. 三、双空题 15．在等差数列中，公差d不为0，，且成等比数列，则___________；当___________时，数列的前n项和有最大值． 【答案】          【分析】根据等比数列得到，解得，再计算，，得到答案. 【详解】成等比数列，故，即， 解得或（舍）. ，,，， 故时，有最大值. 故答案为：； 四、解答题 16．如图，已知正方体中，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)若点F是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，连接，证明即可. （2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面的法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：连接交于，连接， 是中点，是的中点，故， 平面且平面，故平面； （2）以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方形边长为，则，，，， 设平面的法向量为，则， 取得到，. 直线与平面所成角的正弦值为. 17．在中，． (1)求A； (2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)或； (2)答案见解析. 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，即可求出结果； （2）若选①：根据已知可得为钝角，则为锐角，，三角形唯一，根据两角和的正弦公式可求出，根据正弦定理求出的值，根据即可求出面积；若选②：根据正弦定理可求出，为直角，三角形唯一确定，可求出，即可求出；若选③：由，可知或，有两解. 【详解】（1）由可得，. 因为，所以，又，所以或. （2）若选①：. 因为，所以为钝角，为锐角， 又， 又，所以，即，所以存在且唯一确定. 则，由可得. . 根据正弦定理可得，， 所以； 若选②：. 因为，所以，由正弦定理可得，， 因为，所以，所以存在且唯一确定. 则，所以，； 若选③：. 因为，所以，此时或， 所以，此时存在但不唯一. 18．非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图： (1)求a的值； (2)从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望； (3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列详见解析， (3) 【分析】（1）根据频率之和为求得. （2）根据二项分布的知识求得分布列以及数学期望. （3）根据平均数、中位数的求法求得，并比较出两者的大小关系. 【详解】（1）， 解得. （2）不超过40岁的人的频率为， 所以，的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. （3）岁. ， 所以. 19．已知椭圆过点，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)设点，直线与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点，B为椭圆E的右顶点．记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据过点和离心率计算得到椭圆方程. （2）计算直线方程，联立方程得到点坐标，再计算，，相乘得到答案. 【详解】（1）椭圆过点，离心率为， 故，，，，椭圆方程为. （2），直线：，联立方程， 得到， 方程的一个解为，故另外一个解为. 当时，，即， ，，，，得证 20．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)证明函数只有一个零点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）对求导，求出，由点斜式方程即可求出答案； （2）令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案. （3）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明. 【详解】（1）的定义域为， 故，， 所以曲线在点处的切线方程为：， 化简得： （2）令，， 当时，， 所以在上单调递减，且， ， 所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使 又当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为 所以函数在区间上的最小值为. （3），， 若，， 所以在区间上单调递增，又，， 结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点， 若，则，则， 若，因为，所以， 综上，函数在有且仅有一个零点. 【点睛】利用导数研究函