2023届上海市奉贤区高三年级上册学期一模数学试题

2023届奉贤区高三一模考试 数学试卷 一､填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1 设，则__________. 2. 已知，（为虚数单位），则__________. 3. 方程的两个实数根为，若，则实数__________. 4. 已知等差数列中，，则值等于__________. 5. 己知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，它的渐近线方程为，则它的离心率等于__________. 6. 若两个正数的几何平均值是1，则与的算术平均值的最小值是__________. 7. 在二项式的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）. 8. 下表是岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：）.小明今年岁，他的身高为，他所在城市男性同龄人约有万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人. 岁未成年人的身高的主要百分位数 岁 男 女 岁 男 女 数据来源：《中国未成年人人体尺寸）（标准号：）. 9. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）. 10. 长方体的底面是边长为1的正方形，若在侧棱上至少存在一点，使得，则侧棱的长的最小值为__________. 11. 设且满足，则__________. 12. 已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于__________时，利润最大. 二､选择题（13-14每题4分，每题5分，共18分） 13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 14. 紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：），那么该壸的容积约接近于（ ） A. B. C. D. 15. 下列结论不正确的是（ ） A. 若事件与互斥，则 B. 若事件与相互独立，则 C. 如果分别是两个独立的随机变量，那么 D. 若随机变量的方差，则 16. 已知，，，，满足，，，有以下个结论： ①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数； ②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数. 下列说法正确的是（ ） A. 结论①、②都成立 B. 结论①不成立、②成立 C. 结论①成立、②不成立 D. 结论①、②都不成立 三､解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17. 已知为奇函数，其中. （1）求函数的最小正周期和的表达式； （2）若，求的值. 18. 如图，在四面体中，已知.点是中点. （1）求证：平面； （2）已知，作出二面角的平面角，并求它的正弦值. 19. 某地区1997年底沙漠面积为（注：是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表： 观测年份 该地区沙漠面积比原有（1997年底）面积增加数 1998 2000 1999 4000 2000 6001 2001 7999 2002 10001 请根据上表所给的信息进行估计. （1）如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少？ （2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于 20. 已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若把直线斜率分别记作，若，求点的坐标； （3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围. 21. 已知函数,其中. （1）求函数在点的切线方程; （2）函数否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由; （3）若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围. 2023届奉贤区高三一模考试 数学试卷 一､填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.【答案】## 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】14 5.【答案】 6.【答案】1 7.【答案】462 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】2 11.【答案】 12.【答案】200 二､选择题（13-14每题4分，每题5分，共18分） 13.【答案】D 14.【答案】B 15.【答案】A 16.【答案】B 三､解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17. 已知为奇函数，其中. （1）求函数的最小正周期和的表达式； （2）若，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据列关于的等式，即可求出解析式，得到周期； （2）根据，求出，与然后再求解. 【小问1详解】 因为为奇函数， 所以， 化简得到求出 ，所以 ，最小正周期是； 【小问2详解】 若 所以 18. 如图，在四面体中，已知.点是中点. （1）求证：平面； （2）已知，作出二面角的平面角，并求它的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）作图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据三线合一，线面垂直判定定理解决即可； （2）取的中点，由，得，得是二面角的平面角，再由勾股定理，余弦定理，直角三角形特点解决即可. 【小问1详解】 是中点， 又是中点， 面 所以面 小问2详解】 由题知，，， 取的中点，连接， , 根据三角形全等证明方法,可以证明, , 所以是二面角的平面角， 利用勾股定理计算出, 由余弦定理得，解得， 所以，， 所以， 所以中，. 19. 某地区1997年底沙漠面积为（注：是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表： 观测年份 该地区沙漠面积比原有（1997年底）面积增加数 1998 2000 1999 4000 2000 6001 2001 7999 2002 10001 请根据上表所给的信息进行估计. （1）如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少？ （2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于 【答案】（1） （2）到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于 【解析】 【分析】(1) 从增加数看, 数字稳定在 2000 附近, 所以可认为沙漠面积的增加值构成一个等差数列. 求2010年底的沙漠面积可利用数列的通项公式, 首项可以选2002年的增加数. 列出经过n年后的沙漠面积, 再根据已知列出不等式. （2）设在2002年的基础上, 再经过n年, 该地区的沙漠面积将小于 , 列出不等式能求出结果. 【小问1详解】 从表中数据看，每年沙漠面积增长量可以假设是一个等差数列，公差约， 假设表示年底新增沙漠面积，那么到2020年底新增沙漠面积约 ， 到2020年底，这个地区的沙漠面积将大约变成. 【小问2详解】 以2003年年底为第一年，设年年底后这个地区的沙漠面积小于, , 化简得, 所以到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于. 20. 已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若把直线的斜率分别记作，若，求点的坐标； （3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标、三角形面积、就是可得答案； （2）设，利用点在椭圆上和可求出点坐标； （3）求出直线、直线的方程可得点坐标及，利用得到，再由可得，即，利用的范围可得答案. 【小问1详解】 ，所以椭圆标准方程为； 【小问2详解】 设，， 得到，所以； 【小问3详解】 因为点是椭圆上在第一象限内的点，所以， 直线的方程为， 直线的方程为， 所以， ，， ， ， ， ，则， . 21. 已知函数,其中. （1）求函数在点的切线方程; （2）函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由; （3）若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）,不存在极值点;,存在一个极小值点,无极大值点 （3） 【解析】 【分析】(1)对求导,求出切点斜率,再根据切点求出切线方程即可; (2)令,对进行求导,再讨论及时导函数的正负及极值点即可; (3)将代入,先讨论时的取值范围,再全分离,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出的取值范围. 【小问1详解】 解:由题知, , 所以在点的切线方程为, 即; 【小问2详解】 设,定义域, , 当时,恒成立, 所以在单调递增, 所以不存在极值点, 当时,令， 当时,， 当时,， 所以在单调递减,在单调递增, 所以函数存在一个极小值点,无极大值点, 综上:时,不存在极值点, 时,存在一个极小值点,无极大值点; 【小问3详解】 由题知原不等式, 可化为, 当时,恒成立, 当时, 即, 由(2)知在有最小值, 所以, , , , , 即, ,, 综上: . 【点睛】方法点睛:该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下: (1)若，恒成立，则只需; (2) 若，恒成立，则只需; (3) 若，恒成立，则只需; (4) 若，恒成立，则只需; (5) 若，恒成立，则只需; (6) 若，恒成立，则只需; (7) 若，恒成立，则只需; (8) 若，恒成立，则只需.