2023届上海市比乐中学高三年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2023届上海市比乐中学高三上学期12月月考数学试题 一、填空题 1．设全集，，，则___________. 【答案】## 【分析】根据补集贺交集的定义即可得解. 【详解】解：因为， 所以或， 所以. 故答案为：. 2．已知角的终边过点，则__________. 【答案】 【分析】根据三角函数的定义，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】因为角的终边过点，故可得. 故答案为：. 3．若复数满足，其中为虚数单位，则_________． 【答案】 【详解】设，则 【解析】复数相等，共轭复数 4．设向量，若，则______________. 【答案】5 【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由可得， 又因为， 所以， 即， 故答案为：5. 【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 5．已知集合，，则____________． 【答案】 【分析】分别求出集合,再求交集即可. 【详解】由题意得，，所以． 故答案为： 6．如果，为第三象限角，则________． 【答案】 【分析】由条件，为第三象限角，可求出，再由诱导公式可得，从而可得答案. 【详解】由，为第三象限角,有. 由诱导公式可得 所以 故答案为： 【点睛】本题考查同角三角函数的关系和诱导公式，注意角的范围，属于基础题. 7．已知向量，若，则________． 【答案】4 【分析】根据已知条件，由，可得，即，从而即可求解. 【详解】解：因为，所以，即， 所以， 又，所以， 所以， 故答案为：4. 8．设正数满足，则的最小值是_____________. 【答案】6 【分析】由题设知，再由，得到，所以，设，由此可求出的取值范围得答案． 【详解】解：正数，满足，，， 又，所以左右加上得到，所以， 由得到， 设，即， 解得或，即或． 根据定义域，均大于零，所以取值范围是．所以的最小值是6， 故答案为：． 9．等比数列的首项，前项和为，若，则______． 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，由可求出，从而可求出，进而可求出 【详解】设等比数列的公比为，由题意可知， 因为， 所以，化简得， ，得， 所以， 所以， 故答案为： 10．如图，函数图像与轴交于点，与轴交于点，则______. 【答案】 【分析】由题意得或，且，，结合图象有求范围，即可确定参数值. 【详解】由题设且， 所以或，且，， 当时，，，故，， 当时，，，故，， 由图知：，可得， 综上，时，此时，故. 故答案为： 11．设函数若不等式的解集为则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案． 【详解】，且，设函数，若不等式的解集是，， 当时，，可得，解得； 当，即时，，不等式恒成立可得． 综上可得． 实数的取值范围为：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 12．如图，已知是半径为圆心角为的一段圆弧上的一点，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】建立如图平面直角坐标系，运用坐标法可得，即可讨论值域 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则，，， ， 由，则，即有， ∵，∴. 故答案为： 二、单选题 13．给定空间中的直线与平面，则“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解． 【详解】由题意，若“直线与平面垂直”则“直线垂直于平面内无数条直线”成立的，所以充分性是成立的； 若“直线垂直于平面内无数条直线”则直线“直线不一定平面垂直”，所以必要性不成立， 所以“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线”成立的充分不必要条件． 故选A． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 14．已知为非零向量，则在方向上的投影为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积的定义及几何意义即可求得在方向上的投影. 【详解】解：设向量的夹角为，则在方向上的投影为 又由向量数量积的定义知，所以，即则在方向上的投影为. 故选：A. 15．已知均为复数，则下列命题不正确的是（    ） A．若则为实数 B．若，则为纯虚数 C．若，则为纯虚数 D．若，则 【答案】C 【分析】设复数，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，设复数， 对于A中，由，即，解得，所以复数为实数，所以A正确； 对于B中，复数，因为，可得，所以复数为纯虚数，所以是正确的； 对于C中，当时，满足，所以复数不一定为纯虚数，所以不正确； 对于D中，由，可得，即，解得或， 所以，所以是正确的. 故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念和复数方程的应用，其中解答中熟练利用复数的代数形式的四则运算，以及熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．关于三个不同平面与直线，下列命题中的假命题是（       ） A．若，则内一定存在直线平行于 B．若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于 C．若，，，则 D．若，则内所有直线垂直于 【答案】D 【分析】对四个选项，利用正方体中的线和面的关系，逐一验证，由此得出是假命题的选项. 【详解】画出一个正方体如下图所示.平面平面，而，即平行于这两个垂直平面的交线，有平面，故选项命题是真命题，且选项命题是假命题.根据面面垂直的判定定理可知，B选项命题是真命题.由下图可知，平面和平面同时垂直于平面，它们的交线也垂直平面，故选项C命题是真命题.综上所述，本题选D. 【点睛】本小题主要考查空点点线面的位置关系，考查面面垂直的判定与性质，属于基础题. 三、解答题 17．如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为侧棱的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用锥体的体积公式即得； （2）利用坐标法，根据线面角的向量求法即得. 【详解】（1）在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为2，，为侧棱的中， 所以，点到平面为高， 又因为， 所以，四棱锥的体积； （2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量，则， 取，得， 因为直线与平面所成角为， ， ， 因此，直线与平面所成角为. 18．已知,,为△ABC的三个内角，向量，，且． （1）求的大小； （2）若，求△ABC的面积． 【答案】(1)；(2)． 【分析】(1)由题意结合向量垂直的充分必要条件得到三角方程，结合三角形的特征和三角方程可得∠A的大小； (2)由题意结合余弦定理得到的值，然后结合面积公式即可求得△ABC的面积. 【详解】（1）由，可得·=0， 即·，又，， 所以， 即，又， ∴，故． （2）在△ABC中，由， 可得， 即， 故， ∴． 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 19．某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元（包括4万元和8万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%.设企业纳税额为（单位：万元），补助款为（单位：万元），其中为常数. (1)分别判断，时，是否符合发放方案规定，并说明理由； (2)若函数符合发放方案规定，求的取值范围. 【答案】(1)b=0时，符合发放方案规定，b=1时，不符合发放方案规定； (2). 【分析】（1）根据题意，需要判断函数在上是否单调递增，在上是否恒大于等于零，进而得到答案； （2）根据题意，在上单调递增，且在上恒大于等于零，进而求出b的取值范围. 【详解】（1）若，则，函数在上单调递增，令，显然在上恒大于0，满足题意. 若，则，函数在上单调递增，令，易知，不合题意. 所以时，符合发放方案规定，时，不符合发放方案规定. （2）①由题意，在上单调递增，则. ②令，由题意，在上恒成立， 若，在上单调递增，则，于是； 若，在上单调递减，则，舍去； 若，则，舍去. 所以. 综合①②得：. 20．已知函数，其中. (1)求的单调区间； (2)当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为、，减区间为 (2) 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）分、两种情况讨论，结合（1）中的结论求出、的表达式，结合导数法与函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】（1）解：函数的定义域为，， 当时，由可得，由可得或， 所以，函数的单调递增区间为、，减区间为. （2）解：因为，则，则函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，， 因为，，则， 所以，，令. ①若，则， ，故函数在上单调递减，此时； ②若，则. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法： （1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值； （2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值； （3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 21．已知数列和有，，而数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)证明数列为等比数列，其中； (3)如果，试证明数列的单调性． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)根据数列的前项和与通项的关系求解即可. (2)根据给定的递推关系，结合等比数列定义计算判断作答. (3)由(1)求出数列的通项，再求出，并利用作差法比较大小作答. 【详解】（1）因为，所以， 又当时，，所以； （2） ，而， 所以数列为以为首项，以为公比的等比数列； （3），， ， 所以当时，，数列为递减数列．