2023届吉林省四平市第一高三年级上册学期第三次月考数学试题【含答案】

2023届吉林省四平市第一高级中学高三上学期第三次月考数学试题 一、单选题 1．已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出定点P的坐标，再求出圆C的圆心C及线段CP长即可求解作答. 【详解】直线，即， 由解得，即，圆C：的圆心，， 所以所求圆的标准方程为. 故选：B 2．已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可. 【详解】令，可得；令，可得. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，. 因为，所以椭圆的焦点在轴上. 设椭圆的方程为，则，， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 3．已知定点P1(－1，0)，P2(1，0)，动点M满足，则构成△MP1P2面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件，求出动点M的轨迹方程，由，可确定最大值. 【详解】设M(x，y)，由， 可得， 化简得，即M在以(3，0)为圆心，为半径的圆上运动， 又，即面积的最大值是. 故选：B. 4．在抛物线上，横坐标为的点到焦点的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程可求得准线方程，进而根据其定义得知，求得． 【详解】解：抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义知， 解得． 故选：D． 5．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原方程可变形为，根据已知有，解出即可. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线， 可变形为. 所以有，即，解得. 故选：A. 6．双曲线与椭圆的焦点相同，则a等于（    ） A．1 B．—2 C．1或—2 D．2 【答案】A 【分析】依题意，可知双曲线是焦点在轴上的曲线，且，又双曲线与椭圆的焦点相同，可得，且，求解即可. 【详解】解：依题意，双曲线的焦点在轴上， ，即， 又双曲线与椭圆的焦点相同， ，且， 解得：. 故选：A. 7．人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源对于测听者的方向偏角，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为，声源的声波传及甲的左、右两耳的时间差为，声速为，则声源对于甲的方向偏角的正弦值约为（    ） A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05 【答案】D 【解析】由已知求出、焦距，利用可得可得答案. 【详解】设两耳所在双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为， 则，，由题意， 所以，所以． 故选：D． 8．已知的上、下焦点分别是，，若椭圆C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数量积公式和余弦定理得的式子，代入题中的不等式即可得结果. 【详解】∵ ， ① ，  ② 由①②得：， ∵ ， ∴，又∵ ， ∴ ， 又∵ ∴ . 故选：D. 二、多选题 9．下列结论判断正确的是（    ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 B．方程（，，）表示的曲线是椭圆 C．平面内到点，距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．双曲线与（，）的离心率分别是，，则 【答案】BD 【分析】对于A，由抛物线定义判断即可； 对于B，将方程化为椭圆的标准方程判断即可； 对于C，由双曲线定义判断即可； 对于D，分别求出两个双曲线的离心率，再代入通过计算判断即可. 【详解】对于A，由抛物线定义，直线不经过点（当时，与定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是过点且与直线的垂直的直线，不是抛物线），故选项A错误； 对于B，方程（，，）可化为，且由，，有或，即是焦点在轴或焦点在轴的椭圆的标准方程，故方程（，，）表示的曲线是椭圆，选项B正确； 对于C，由双曲线的定义，平面内与两定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线，所以平面内到点，距离之差等于（）的点的轨迹是双曲线一支，故选项C错误； 对于D，双曲线（，）的离心率，双曲线（，）的离心率，故，故选项D正确. 故选：BD. 10．已知F，A分别为椭圆C的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是8，（O是坐标原点），则C的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由椭圆的性质列式求解， 【详解】由题意得，得，，则为短轴顶点， 在直角三角形中，，故，则， 当椭圆的焦点在轴时，椭圆方程为， 当椭圆的焦点在轴时，椭圆方程为， 故选：AB 11．已知圆，直线过点，且交圆于两点，点为线段的中点，则下列结论正确的是（       ） A．点的轨迹是圆 B．的最小值为6 C．若圆上仅有三个点到直线的距离为5，则的方程是 D．使为整数的直线共有16条 【答案】ABD 【分析】根据直线与圆的关系，结合题目给的条件逐一判断选项对错即可. 【详解】因为直线恒过点，所以，点在以为直径的圆上，则点的轨迹是圆，故A正确； 易知圆心到直线的距离最大值，故的最小值为，最大值为，故B正确； 由题知圆，直线过点，圆上仅有三个点到直线的距离为5， 因为圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为2， 当斜率存在时，设直线为，即， 又因为圆心到直线的距离为，解得， 所以的方程是 ， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，满足题意，故C错误； 由最短弦与最长弦有唯一性，而长度介于两者之间的弦有对称性可知，使为整数的直线有（条），故D正确. 故选：ABD. 12．已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可． 【详解】设点．因为双曲线，所以． 又，所以，故A错误． 将代入得，得． 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，故B正确． 在中，，且， 则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确． 由余弦定理得，所以，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 13．求过点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】x＝4或3x+4y＝0 【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0， 由题意得， 解得k＝，此时直线方程为3x+4y＝0， 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4 此时圆心 到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意. 故答案为：x＝4或3x+4y＝0. 14．已知椭圆的左､右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】根据顶点坐标求出以线段为直径的圆的方程，根据直线与圆相切求出，再根据以及离心率公式可求出结果. 【详解】因为、， 所以以线段为直径的圆的方程为：， 因为直线与圆相切， 所以，化简得， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 15．已知双曲线（，）的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为____________. 【答案】 【分析】结合已知条件，写出双曲线的渐近线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求出 之间的关系即可求解. 【详解】不妨取双曲线（，）的一条渐近线方程为 ，即， 化圆的方程为标准方程，得， 则圆心坐标为，半径为. 由题意可得，即， 即，即， 又 所以双曲线的离心率为， 故答案为：. 16．已知抛物线，圆，若点，分别在，上运动，且设点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先判断在曲线里面，然后的最小值为 过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得，所以点在曲线里面. 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点 过点作抛物线准线的垂线垂足为，则根据抛物线的定义得 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为 故的最小值为 故答案为：5 四、解答题 17．已知圆过三点，，． (1)求圆的方程； (2)设直线经过点，且与圆G相切，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用三点坐标可确定圆方程;(2)利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式即可求解. 【详解】（1）设圆G的方程为， 因为圆过三点，，， 所以 ，解得, 圆G的方程为. （2）由(1)知圆是以为圆心，以为半径的圆， （i）若直线的斜率不存在， 则此时的方程为到圆心的距离为，满足与圆相切; （ii）若直线的斜率存在， 则设直线方程为 即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为， 解得,所以切线方程为. 综上，切线方程为或. 18．已知椭圆C的焦点在x轴上，且短轴长为4，离心率． (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C的右焦点且斜率为2的直线交椭圆C于A、B两点，求弦AB的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再结合可求出，从而可求得椭圆方程； （2）先求出直线的方程，然后与椭圆方程联立可求出A、B两点的坐标，从而可求出弦AB的长． 【详解】（1）由题意设椭圆方程为， 由短轴长为4，得，得， 因为，， 所以解得，， 所以椭圆方程为； （2）椭圆的右焦点，故直线的方程为 由解得：或， 故、 所以 19．已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由渐近线为可得，根据焦点到渐近线的距离是，求出c，利用双曲线中即可求得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算． 【详解】（1）解：由题知，， 设右焦点，取一条渐近线， 则焦点到渐近线的距离， ，从而， 所以双曲线的方程为. （2）解：设，， 由，得， 则，， 所以， 则中点坐标为， 代入圆，得， 所以． 20．已知抛物线上的点到焦点F的距离为6． (1)求抛物线C的方程； (2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段的中点，求直线l方程． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程. （2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程． 【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为， ∴抛物线定义知：，可得， ∴. （2）由题设，直线l的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程， 有，整理得，则，又P是线段的中点， ∴，即，故. 21．已知双曲线的渐近线方程为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)，或或. 【分析】（1）根据题意得，进而解方程即可得答案； （2）由题知，进而先讨论直线的斜率不存在不满足条件，再讨论的斜率存在，设方程为，设，进而与双曲线方