2023届上海市徐汇区高三一模数学试题

2022学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学试卷 2022.12 考生注意： 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分. 2.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息. 3.所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知全集，集合，则__________. 2. 在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则_____________. 3. 不等式的解集为____________. 4. 函数在区间上的零点是___________. 5. 已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是_______ 6. 在的二项展开式中，项的系数是___________. 7. 已知圆锥的侧面积为2π，且侧面展开图为半圆，则底面半径为____. 8. 在数列中，，且，则__________. 9. 某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩记为事件，则事件发生的概率___________. 10. 在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为____________. 11. 设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，则的取值范围为___________. 12. 已知正实数满足，则的取最小值___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分.第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置.将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设,则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 15. 已知平面、、两两垂直，直线a、b、c满足：，，，则直线a、b、c位置关系不可能（ ） A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面 16. 设数列为：，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来4项均为，再接下来8项均为，…，以此类推，记，现有如下命题：①存在正整数，使得；②数列是严格减数列.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 18. 已知. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间. 19. 近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设. （1）如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度; （2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元） 20. 已知曲线的方程为，直线：与曲线在第一象限交于点. （1）若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值； （2）若，时，直线与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程； （3）是否存在不全相等，，满足，且使得成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21. 对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，. （1）若（是正整数），求，，，值； （2）若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由； （3）若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列充要条件是. 2022学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学试卷 2022.12 1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】 6.【答案】 7.【答案】1 8.【答案】4 9.【答案】 10.【答案】 11.【答案】 12.【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分.第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置.将代表正确选项的小方格涂黑. 13.【答案】C 14.【答案】C 15.【答案】B 16.【答案】D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解即可 【小问1详解】 因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面， 又平面， 所以. 因为，，，平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 因为，，，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系. 则，，，，， 设，，，， 因为，所以，即，则， 由（1）平面的一个法向量为. 又 设直线与平面所成角的大小为，则 . 因此，直线与平面所成角的大小为. 18. 已知. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解， （2）由导数与单调性的关系求解， 【小问1详解】 当时，，， 所以，. 所以函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为，定义域为， 所以. ①当时，与在上的变化情况如下： 1 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在及内严格增，在内严格减； ②当时， 恒成立，所以函数的单调增区间为. 综上，当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为； 当时，函数单调增区间为. 19. 近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设. （1）如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度; （2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元） 【答案】（1）(米) （2）2022万元 【解析】 【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度; (2)将PQ、PR、RQ三边通过图中的关系用关于的等式表示,再记经济总效益,将进行表示,通过辅助角公式化简求出最值即可. 【小问1详解】 解:由题, ,同理,故, 由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上, 则, , 因为,, 所以为等边三角形, 则, 因此三条街道的总长度为（米）. 小问2详解】 由图可知, , , , 在中由余弦定理可知: , 则, 设三条步行道每年能产生的经济总效益,则 , 当即时取最大值, 最大值为. 答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元. 20. 已知曲线的方程为，直线：与曲线在第一象限交于点. （1）若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值； （2）若，时，直线与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程； （3）是否存在不全相等，，满足，且使得成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率的公式以及椭圆中的关系即可求解, （2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理以及弦长公式求解， （3）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，根据假设，代入即可化简求解. 【小问1详解】 由题得，曲线为：，又离心率为，， 则， 又因为，因此，. 【小问2详解】 设，， 联立方程得， 因为， 则，， 所以，，解得或. 因此，曲线的方程为：或. 【小问3详解】 联立 得， 又，得，解得， 假设存在（，，不全相等），使得成立. 故， 有， 进一步有， 化简得， 由在第一象限，且，得. （i），则，，； （ii），则，得，又因为， 则与已知矛盾. 综上所述：存在（，，不全相等），使得成立，此时 【点睛】圆锥曲线中与直线相交的问题，一般采用联立方程，得韦达定理.常采用设而不求的思想.常用的做题思路为： (1)设直线的方程为 ，设交点坐标为， (2)联立直线与曲线的方程，得韦达定理，或者 (3)根据交点坐标计算相关量（例如斜率，弦长等），利用其满足的性质和题目中的条件求得参数值或者参数的关系. 21. 对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，. （1）若（是正整数），求，，，的值； （2）若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由； （3）若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是. 【答案】（1），，， （2）存在， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由“接近数列”得定义可直接求出，，，的值； （2）分为奇数和偶数讨论，求出，在此基础上，分奇偶令，结合指数函数性质即可求解； （3）先证若时，则为等差数列，且公差也为，由去绝对值得，即，两式作差即可求证；再证若为等差数列，则，结合绝对值三角不等式得，，两式处理得，化简即可求证. 【小问1详解】 因为，所以，又因为为数列的“接近数列”， ，所以，只能是，，，； 【小问2详解】 当为奇数时，，由函数的单调性可知， 即，得，进一步有， 当为偶数时，，由函数的单调性可知， 即，得，进一步有， 综上所述：， 由前项和公式化简得，， 当为偶数时，令无解； 当为奇数时，令， 所以，，即. 因此，存在（是正整数），使得，且； 【小问3详解】 充要条件为：. ①若时，由题意对于任意正整