2023届云南省昆明市高三二轮复习第五次检测数学试题【含答案】

云南省昆明市第一中学2023届高三第五次二轮复习检测 数学试题 一、单选题 1．已知复数z满足，则 （    ） A．1 B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为35岁，方差为6，女职工平均年龄为30岁，方差是1，则该单位全体职工的平均年龄和方差分别是（    ） A．32.5，3.5 B．33，7 C．33，10 D．32.5，4 4．函数的图像大致为 A． B． C． D． 5．已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，求这个四棱台的表面积为（    ） A．24 B．44 C． D． 6．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（    ） A．12 B．24 C．48 D．84 8．已知直线l是圆C：的切线，且l与椭圆E：交于A，B两点，则|AB|的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．函数的图像可由的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到 B．函数的一个对称中心为 C．函数的最小值为 D．函数在区间单调递减 10．函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 11．已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时， C． D． 12．已知函数，则（    ） A．函数在处取得最大值 B．函数在区间上单调递减 C．函数有两个不同的零点 D．恒成立 三、填空题 13．已知平面向量满足，则的最小值为___________. 14．直线l过抛物线的焦点且与该抛物线交于两点，若，则的值为___________. 15．已知等差数列满足，且，则___________. 16．在三棱锥中，AB=BC=AC=，AP=PB=PC=1，则以点P为球心，以为半径的球被平面ABC截得的图像的面积为___________. 四、解答题 17．为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1. (1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数 (2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望. 18．已知的内角所对边分别为，且 (1)证明：； (2)求的最大值. 19．已知函数，其中 (1)当时，求； (2)设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小整数. 20．已知直四棱柱中，底面ABCD为菱形，E为线段上一点. (1)证明：平面； (2)若，则当点E在何处时，CE与所成角的正弦值为？ 21．已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由. 22．已知函数 (1)证明： (2)若，求实数a的取值范围. 参考答案： 1．C 【分析】根据复数模的计算以及复数的除法，即可求得答案. 【详解】由题意知复数z满足， 即， 故选：C 2．A 【分析】由函数值域和定义域的求法可求得集合，由交集定义可得结果. 【详解】，，即； 由对数函数定义域知：；. 故选：A. 3．C 【分析】结合平均数与方差的概念推导即可求解. 【详解】设男职工年龄分别为：，男职工年龄平均数为，方差为，女职工年龄分别为，女职工年龄平均数为，方差为，则，， 即，，， 同理，， 即， ， 该单位全体职工的平均年龄： ， 方差为： 故该单位全体职工的平均年龄和方差分别是33，10. 故选：C 4．A 【详解】函数y=e|x|⋅sinx，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B. C， 当x∈(0,π),函数y=e|x|⋅sinx>0，函数的图象在第一象限，排除D， 本题选择A选项. 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 5．B 【分析】结合图形，利用四棱台的体积公式求得该四棱台的高，进而在等腰梯形与等腰梯形中依次求得与，从而求得该四棱台的侧面积，进而求得其表面积. 【详解】过作于，作于，则是正四棱台的高， 因为正四棱台中，，即， 所以，， 因为该四棱台的体积为， 所以，即，得， 因为在等腰梯形中，，， 所以， 所以在等腰梯形中，， 所以， 又因为其他三个侧面与侧面的面积相等， 所以该四棱台的侧面积为， 所以该四棱台的表面积为. 故选：B. . 6．B 【分析】引入中间变量1，再利用作差法比较的大小，即可得答案； 【详解】，， 最大， ，， ， 故选：B 7．D 【分析】根据四个区域所种植鲜花的种类进行分类：种植两种鲜花，种植三种鲜花，种植四种鲜花，然后相加即可求解. 【详解】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类： 当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法； 当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法； 当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法， 综上：则不同的种植方法的种数为种， 故选：. 8．B 【分析】由直线与圆相切分析得圆心到直线距离为1，再分类讨论直线斜率是否存在的情况，存在时假设直线方程，进一步联立椭圆方程结合韦达定理得出弦长表达式，最后化简用基本不等式得出结果. 【详解】∵直线l是圆C：的切线， ∴圆心O到直线l的距离为1， 设， ①当AB⊥x轴时， ②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m. 由已知 得 ． 把y=kx+m代人椭圆方程，整理得， ∴ 令 原式 当且仅当 即 时等号成立. 综上所述. 故选：B. 9．CD 【分析】化简得，逐项验证即可解决. 【详解】由题知， ， 对于A，的图像向左平移个单位长度，得， 再向下平移个单位长度得到，故A错误； 对于B，， 所以函数的一个对称中心为，故B错误； 对于C，， 当时，函数取最小值为，故C正确； 对于D，， 所以单调减区间应满足，解得， 所以单调减区间为， 因为， 所以函数在区间单调递减，故D正确. 故选：CD 10．AC 【分析】根据奇函数和偶函数定义可构造方程组求得，由此依次判断各个选项即可. 【详解】由得：， 又分别是定义在上的奇函数和偶函数，； 由得：，； 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于CD，，C正确，D错误. 故选：AC. 11．BCD 【分析】由作差法可判断AC，根据基本不等式可判断BD. 【详解】对于A，，由于，所以，故，因此，故A错误， 对于B, 当时，由于，所以，因此，故B正确， 对于C，由于，所以 ，所以，故C正确， 对于D, 由于 ，，故D正确， 故选：BCD 12．AD 【分析】确定函数的定义域，求导数，判断函数的单调性，即可判断函数的极值点,由此可判断;求得函数的最值，数形结合，判断函数的零点情况，判断C;将化为，从而构造函数，利用导数求函数最值，解决不等式恒成立问题，判断D. 【详解】由题意知函数的定义域为， ，当时，递增， 当时，递减，故函数在处取得极大值，也即最大值，A正确； 由上分析可知当时，递增，故B错误； 函数 ，且当时，， 当时，，作出函数图象如图示： 由此可知函数在上无零点，C错误； 不等式恒成立即恒成立， 即恒成立， 令，则 ， 令， ， ∴在上单调递增， ， 故在上存在唯一零点，且， 由，可得 ， 当， ，函数单调递减， 当时， ，单调递增， 故函数的极小值为 ， 而， 即函数在上恒成立， 所以当时，恒成立，D正确， 故选： 【点睛】难点点睛：本题难点在于证明恒成立，解答时将不等式等价转化为恒成立，从而便于构造函数，利用导数求该函数的最小值，说明其大于0即可证明结论.再求极值或最值时，还要注意零点存在定理的应用. 13．0 【分析】根据数量积的定义确定的范围，在根据向量模与数量积的关系 可得的范围，即可得的最小值. 【详解】解：因为平面向量满足，又， 所以， 则，由，则，故， 则的最小值为0. 故答案为：0. 14． 【分析】设直线：，代入，得到，，求出，，根据，结合焦半径公式可求出结果. 【详解】依题意可得，准线方程为：， 设直线：， 联立，消去并整理得， ， 设、， 则，， 所以， ， 所以 ， 又已知，所以，所以. 故答案为：. 15． 【分析】利用等差数列的通项公式结合条件即可求得，从而得到，由此即可求得的值. 【详解】因为是等差数列，，所以公差， 因为， 所以当时，，即， 整理得，又，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 16．## 【分析】求出点到平面的距离，由勾股定理可得截面圆半径，从而得面积． 【详解】由题意三棱锥是正三棱锥，设是底面的中心，如图，则平面，平面，则， ，， 平面截球得截面圆，设其半径为，则， 圆面积为． 故答案为：． 17．(1)， (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图求出数学成绩落在区间内的频率，再根据数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1可求出数学成绩落在区间[110，120）的频率；根据中位数公式可求出中位数； （2）先求出数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，再根据二项分布可求出分布列和数学期望. 【详解】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为, 所以数学成绩落在区间内的频率为， 因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1， 所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为， 数学成绩落在区间[70，100）的频率为， 所以中位数落在区间内， 设中位数为，则，解得， 所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为. （2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为， 由题意可知，，的所有可能取值为， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望. 18．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）将正切化成正弦，化简整理，再利用正弦定理即可得证； （2）结合（1）及余弦定理化简，再利用基本不等式可求得的最大值，进而得解. 【详解】（1），， ， 由正弦定理可得 （2）由