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2023届奉贤区高三一模考试
数学试卷
一、填空题(1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)
1 设,则__________.
2. 已知,(为虚数单位),则__________.
3. 方程的两个实数根为,若,则实数__________.
4. 已知等差数列中,,则值等于__________.
5. 己知双曲线的中心在原点,焦点在轴上,它的渐近线方程为,则它的离心率等于__________.
6. 若两个正数的几何平均值是1,则与的算术平均值的最小值是__________.
7. 在二项式的展开式中,系数最大的项的系数为__________(结果用数值表示).
8. 下表是岁未成年人的身高的主要百分位数(单位:).小明今年岁,他的身高为,他所在城市男性同龄人约有万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.
岁未成年人的身高的主要百分位数
岁
男
女
岁
男
女
数据来源:《中国未成年人人体尺寸)(标准号:).
9. 从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率是__________.(结果用最简分数表示).
10. 长方体的底面是边长为1的正方形,若在侧棱上至少存在一点,使得,则侧棱的长的最小值为__________.
11. 设且满足,则__________.
12. 已知某商品的成本和产量满足关系,该商品的销售单价和产量满足关系式,则当产量等于__________时,利润最大.
二、选择题(13-14每题4分,每题5分,共18分)
13. 下列四组函数中,同组的两个函数是相同函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
14. 紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壸的壸型众多,经典的有西施壸、掇球壸、石飘壸、潘壸等.其中,石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台.如图给出了一个石瓢壸的相关数据(单位:),那么该壸的容积约接近于( )
A. B. C. D.
15. 下列结论不正确的是( )
A. 若事件与互斥,则
B. 若事件与相互独立,则
C. 如果分别是两个独立的随机变量,那么
D. 若随机变量的方差,则
16. 已知,,,,满足,,,有以下个结论:
①存在常数,对任意的实数,使得的值是一个常数;
②存在常数,对任意的实数,使得的值是一个常数.
下列说法正确的是( )
A. 结论①、②都成立
B. 结论①不成立、②成立
C. 结论①成立、②不成立
D. 结论①、②都不成立
三、解答题(17-19每题14分,20-21每题18分,共78分)
17. 已知为奇函数,其中.
(1)求函数的最小正周期和的表达式;
(2)若,求的值.
18. 如图,在四面体中,已知.点是中点.
(1)求证:平面;
(2)已知,作出二面角的平面角,并求它的正弦值.
19. 某地区1997年底沙漠面积为(注:是面积单位,表示公顷).地质工作者为了解这个地区沙漠面积变化情况,从1998年开始进行了连续5年的观测,并在每年底将观测结果记录如下表:
观测年份
该地区沙漠面积比原有(1997年底)面积增加数
1998
2000
1999
4000
2000
6001
2001
7999
2002
10001
请根据上表所给的信息进行估计.
(1)如果不采取任何措施,到2020年底,这个地区的沙漠面积大约变成多少?
(2)如果从2003年初开始,采取植树造林等措施,每年改造面积沙漠,但沙漠面积仍按原有速度增加,那么到哪一年年底,这个地区的沙漠面积将首次小于
20. 已知椭圆的中心在原点,且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左、右顶点,点为椭圆的上顶点,的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若把直线斜率分别记作,若,求点的坐标;
(3)设直线与轴交于点,直线与轴交于点.令,求实数的取值范围.
21. 已知函数,其中.
(1)求函数在点的切线方程;
(2)函数否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;
(3)若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.
2023届奉贤区高三一模考试数学试卷
一、填空题(1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)
1. 设,则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】依题意,集合的元素是整数,所以.
故答案为:
2. 已知,(为虚数单位),则__________.
【答案】
【解析】
【分析】两个复数相等,则实部和虚部分别相等.
【详解】因为,又,
所以,即.
故答案为:.
3. 方程的两个实数根为,若,则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据韦达定理求解即可.
【详解】,,.
,解得.
故答案为:
4. 已知等差数列中,,则的值等于__________.
【答案】14
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式求出,,便可求得.
【详解】解:由题意得:
等差数列,所以设等差数列的首项为: ,公差为:
又,
故答案为:
5. 己知双曲线的中心在原点,焦点在轴上,它的渐近线方程为,则它的离心率等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用双曲线的性质和之间的关系即可求得离心率.
【详解】由已知双曲线的渐近线方程为
所以,故
所以,故
所以离心率
故答案为:
6. 若两个正数的几何平均值是1,则与的算术平均值的最小值是__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据基本不等式和几何平均数、算数平均数的概念判断即可.
【详解】根据基本不等式可得,所以与算数平均数的最小值为1.
故答案为:1.
7. 在二项式的展开式中,系数最大的项的系数为__________(结果用数值表示).
【答案】462
【解析】
【分析】先求出二项式展开式的通项公式,然后利用二项式系数的性质可求得结果.
【详解】二项式的展开式的通项公式为,
所以当或时,其系数最大,
则最大系数为,
故答案为:462.
8. 下表是岁未成年人的身高的主要百分位数(单位:).小明今年岁,他的身高为,他所在城市男性同龄人约有万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.
岁未成年人的身高的主要百分位数
岁
男
女
岁
男
女
数据来源:《中国未成年人人体尺寸)(标准号:).
【答案】
【解析】
【分析】由百分位数估算出身高低于小明的男性同龄人所占比例,再乘男性同龄人总人数即可.
【详解】小明今年岁,从表中可以得出,岁男性身高的主要百分位数中,,,小明的身高为,介于和之间,说明至少有的男性同龄人身高低于小明,
∵小明所城市男性同龄人约有万人,
∴小明的身高至少高于(万人).
故答案为:.
9. 从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率是__________.(结果用最简分数表示).
【答案】
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出.
【详解】从正方体个顶点中任取个,有个结果,
这个点在同一个平面有个,
故所求概率.
故答案为:.
10. 长方体的底面是边长为1的正方形,若在侧棱上至少存在一点,使得,则侧棱的长的最小值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据,利用勾股定理建立方程,则方程有解即可求解.
【详解】设
又因为,所以
即化简得,
即关于的方程有解,
当时,不符合题意,
当时,所以,
当且仅当,即时取得等号,
所以侧棱的长的最小值为2,
故答案为:2.
11. 设且满足,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】令,则,根据即可求解.
【详解】令,则
所以,整理得
解得,所以
故答案为:
12. 已知某商品的成本和产量满足关系,该商品的销售单价和产量满足关系式,则当产量等于__________时,利润最大.
【答案】200
【解析】
【分析】首先求出关于利润的表达式,再利用导数求出函数的单调性,即可求解.
【详解】由题意可知,设利润为,则,而,当时,,时,,即在单调递增,单调递减,所以时,利润最大.
故答案为:
二、选择题(13-14每题4分,每题5分,共18分)
13. 下列四组函数中,同组的两个函数是相同函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析,从而确定正确答案.
【详解】A选项,函数的定义域为;函数的定义域为,不是相同函数.
B选项,函数的定义域为;函数的定义域为,不是相同函数.
C选项,函数的定义域为;函数的定义域为,不是相同函数.
D选项,由于,所以与的定义域、值域都为,对应关系也相同,
所以与是相同函数.
故选:D
14. 紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壸的壸型众多,经典的有西施壸、掇球壸、石飘壸、潘壸等.其中,石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台.如图给出了一个石瓢壸的相关数据(单位:),那么该壸的容积约接近于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆台的体积公式计算即可.
【详解】解:设R为圆台下底面圆半径,r为上底面圆半径,高为,
则,,,
,
故选:B.
15. 下列结论不正确的是( )
A. 若事件与互斥,则
B. 若事件与相互独立,则
C. 如果分别是两个独立的随机变量,那么
D. 若随机变量的方差,则
【答案】A
【解析】
【分析】由已知,选项A,根据事件与互斥,可知;选项B,根据事件与相互独立,可知;选项C,根据分别是两个独立的随机变量,可得;选项D,由,可得,即可作出判断.
【详解】由已知,
选项A,若事件与互斥,则,故该选项错误;
选项B,若事件与相互独立,则,故该选项正确;
选项C,若分别是两个独立的随机变量,那么,故该选项正确;
选项D,若随机变量的方差,则,故该选项正确;
故选:A.
16. 已知,,,,满足,,,有以下个结论:
①存在常数,对任意的实数,使得的值是一个常数;
②存在常数,对任意的实数,使得的值是一个常数.
下列说法正确的是( )
A. 结论①、②都成立
B. 结论①不成立、②成立
C. 结论①成立、②不成立
D. 结论①、②都不成立
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角恒等变换的知识,分别将和用,表示即可.
【详解】对于结论①,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∴当为常数,时,不是一个常数,故结论①不成立;
对于结论②,
方法一:
∵
又∵
∴
化简得,
∴存在常数,对任意的实数,使得,故结论②成立.
方法二:(特值法)
当时,,
∴,∴.
∴存在常数,对任意的实数,使得,故结论②成立.
故选:B.
【点睛】本题中结论②的判断,使用常规三角恒等变换的方法运算量较大,对于存在性结论,使用特值
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