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2022学年第一学期高三年级质量调研
数学试卷
一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.
1. 已知集合，是整数集，则________.
2. 已知复数，是虚数单位，则的虚部为________.
3. 直线与直线的夹角大小为________.
4. 已知，若关于的方程解集为，则的值为_________.
5. 已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为________.
6. 某果园种植了棵苹果树，随机抽取的棵果树的产量（单位：千克）分别为：
24 25 36 27 28 32 20 26 29 30 26 33
据此预计，该果园总产量为_______千克以及第百分位数为_______千克.
7. 已知常数，在的二项展开式中，项的系数等于，则_______.
8. 若函数值域是，则此函数的定义域为___________．
9. 如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有______条.
10. 关于的方程的解集为_________.
11. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为_________.
12. 已知抛物线，动点A自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为.过A作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于点.当A运动至时，点的瞬时速度的大小为___________.
二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.
13. 已知，那么“”是“为钝角三角形”的（ ）
A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件
C. 充要条件 D. 以上皆非
14. 已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（ ）
①的开口最为开阔；
②开口比的更为开阔；
③和的开口的开阔程度相同.
A 只有一个正确 B. 只有两个正确 C. 均正确 D. 均不正确
15. 甲、乙两人弈棋，根据以往总共次对弈记录，甲取胜次，乙取胜次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
16. 中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（ ）
A. B. C. D.
三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点A到平面的距离.
18. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.
（1）求和的调和中项；
（2）已知调和数列，，，求的通项公式.
19. 李先生属于一年工作天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为公里.考虑从两款车型中选择其一， 款车是燃油车，款车是电动车，售价均为万元.现提供关于两种车型的相关信息：
款车的油耗为升/百公里，油价为每升至元.车险费用元/年.购置税为售价的.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里；
款车的电耗为度/百公里，电费为每度至元.车险费用元/年.国务院年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为年，更换费用为万元.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里.
（1）除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少个，不超过个）；
（2）为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.
20. 如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点.若点分别为曲线的圆心.
（1）求的方程；
（2）若点分别在上运动，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）若点在曲线上运动，点，求的取值范围.
21. 已知，
（1）求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）；
（2）根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
（3）已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值.
2022学年第一学期高三年级质量调研
数学试卷
一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.
1. 已知集合，是整数集，则________.
【答案】
【解析】
【分析】先用公式法解绝对值不等式确定集合，再取交集即可.
【详解】，
故答案为：.
2. 已知复数，是虚数单位，则的虚部为________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用复数的除法法则计算得到，从而求出的虚部.
【详解】，故虚部为-1.
故答案为：-1
3. 直线与直线的夹角大小为________.
【答案】##
【解析】
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【详解】因为直线的斜率不存在，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为，
故直线与直线的夹角为，
故答案为：．
4. 已知，若关于的方程解集为，则的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】结合题意，先令方程等号左右两边的常数项相等，求出，验证后得到答案.
【详解】解集为R，
先令等号左右两边的常数项相等，即，解得：，
将代入方程可得：，解集为R，满足要求.
故答案为：2
5. 已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理求出圆锥的高，得到圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得：，
则圆锥底面周长为，设圆锥的母线长为，
则，解得：，
由勾股定理得：，
故圆锥的体积为.
故答案为：.
6. 某果园种植了棵苹果树，随机抽取的棵果树的产量（单位：千克）分别为：
24 25 36 27 28 32 20 26 29 30 26 33
据此预计，该果园的总产量为_______千克以及第百分位数为_______千克.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先计算样本的平均数，然后再估计整体总产量，找出样本的第八与第九的均值表示第百分位数.
【详解】（千克），
所以总产量：千克；
样本总共有12个数，所以，只需找出第9个数字和第10个数字取平均数即可，从小到大排列后第九个数字为30，第十个数字为32，所以第75百分位数为：31
故答案为：2800；31.
7. 已知常数，在的二项展开式中，项的系数等于，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据展开式中存在一项可知，然后根据二项式展开式的通式结合已知条件列出关于的方程，解方程即可求出参数的值.
【详解】根据已知条件是二项式展开式的某一项，故得.
由，令，得.
得，根据已知可得，解得，即.
故答案为：.
8. 若函数的值域是，则此函数的定义域为___________．
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论分两种情况解不等式即可.
【详解】当时，
当时，
故答案为：
9. 如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有______条.
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，得到四点共面，不是异面直线，同理得到与共面，再由，与相交，得到与不是异面直线的面对角线，从而得到与异面的面对角线，求出答案.
【详解】连接，
因为六边形为正六边形，所以，
故，所以四点共面，不是异面直线，
同理可得：与共面，不是异面直线，
而，
又与相交，
故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为，
其余面对角线均与异面，分别为，共5条.
故答案为：5
10. 关于的方程的解集为_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用绝对值三角不等式，转化原方程，解不等式得到方程的解集.
【详解】由绝对值三角不等式可得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故的解集为.
故答案为：.
11. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出和的坐标，再根据投影向量的定义可得答案.
【详解】依题意：
所以在方向上的投影向量为：
故答案为：
12. 已知抛物线，动点A自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为.过A作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于点.当A运动至时，点的瞬时速度的大小为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据进行求解.
【详解】不妨取点B为第一象限的点，则点C位于x轴正半轴，
由可得：，
，
当当A运动至时，B点的纵坐标为100，将其代入上式，
，即点的瞬时速度的大小为.
故答案为：
二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.
13. 已知，那么“”是“为钝角三角形”的（ ）
A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件
C. 充要条件 D. 以上皆非
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.
【详解】，即，
由余弦定理得：，
因为，所以，故为钝角三角形，充分性成立，
为钝角三角形，若为钝角，则为锐角，则，必要性不成立，
综上：“”是“为钝角三角形”的充分条件但非必要条件.
故选：A
14. 已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（ ）
①开口最为开阔；
②的开口比的更为开阔；
③和的开口的开阔程度相同.
A. 只有一个正确 B. 只有两个正确 C. 均正确 D. 均不正确
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较.
【详解】依题意，依次计算出各自的离心率可得：
，比较大小知：
可知：三个结论均为错误；
故选：D
15. 甲、乙两人弈棋，根据以往总共次的对弈记录，甲取胜次，乙取胜次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（ ）
A 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】我们需要计算出继续比赛甲获胜的概率按照比例给甲分得奖金.
【详解】依题意知：甲乙胜负的概率都是假设比赛继续，甲只需三场中赢得一场即获得全额奖金，
甲获胜的概率（元）
故选：C
16. 中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出圆内接正边形的周长，与直径之比与3.14进行比较即可.
【详解】
如图，圆内接边形，为中点，半径为，
圆周率，由计算器可得：
故选：C
三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点A到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）证明出平面，从而得到面
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