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浦东一模高三数学
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.
1. 设集合，，则______.
2. 若幂函数的图象经过点，则实数______.
3. 函数定义域为______.
4. 的二项展开式中的系数为______.
5. 若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形．则圆锥的侧面积是_________．
6. 已知为锐角，若，则______.
7. 已知某射击爱好者的打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的方差为______.（精确到0.01）
8. 已知抛物线的焦点为，在C上有一点满足，则点到轴的距离为______.
9. 某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是______.
10. 如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为______.
11. 已知定义在上的函数为偶函数，则的严格递减区间为______.
12. 已知项数为m的有限数列是1，2，3，…，m的一个排列.若，且，则所有可能的m值之和为______.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.
13. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
14. 虚数的平方是（ ）
A. 正实数 B. 虚数 C. 负实数 D. 虚数或负实数
15. 已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确个数为（ ）
①平面内的所有直线均与直线l异面；
②平面内存在与直线l垂直的直线；
③平面内不存在直线与直线l平行；
④平面内所有直线均与直线l相交.
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
16. 已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中、.则、公共点的个数不可能为（ ）
A. 0个 B. 4个 C. 8个 D. 12个
三.解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求当n为何值时，数列前n项和取得最大值.
18. 如图，三棱锥中，侧面PAB垂直于底面ABC，，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且，记O为AB的中点，E为OC的中点.
（1）求证：；
（2）若，直线PC与底面ABC所成角的大小为60°，求四面体PAOC的体积.
19. 在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.
（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？
（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
20. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于A、B两点.
（1）求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值；
（2）若直线过点且与圆相切，求弦长的值；
（3）若双曲线与椭圆共焦点，离心率为，满足，过点作斜率为的直线交的渐近线于C、D两点，过C、D的中点M分别作两条渐近线的平行线交于P、Q两点，证明：直线PQ平行于.
21. 已知定义域为R的函数.当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”.
（1）分别判断函数、是否为函数；
（2）是否存在实数b，使得函数，是函数？若存在，求实数b取值范围；否则，证明你的结论；
（3）已知，其中.证明：若是R上的严格增函数，则对任意，都是函数.
浦东一模高三数学
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.
1. 设集合，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据交集的定义计算即可.
【详解】因为，，
所以，
故答案为：.
2. 若幂函数的图象经过点，则实数______.
【答案】4
【解析】
【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求即可.
【详解】因为幂函数的图象经过点，所以，
所以，所以，
故答案为：4.
3. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】由真数大于0求出定义域.
【详解】由题意得：，解得：，
故定义域为.
故答案为：.
4. 的二项展开式中的系数为______.
【答案】80
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】的二项展开式中含的项为，
所以的系数为.
故答案为：
5. 若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形．则圆锥的侧面积是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式求得结果.
【详解】若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的底面半径，母线，
故圆锥的侧面积.
故答案为：.
6. 已知为锐角，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由条件结合诱导公式可求，再由同角关系求，结合两角和正切公式求.
【详解】因为，所以，又为锐角，所以，，所以.
故答案为：.
7. 已知某射击爱好者的打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的方差为______.（精确到0.01）
【答案】0.36
【解析】
【分析】先求样本数据的平均数，再由方差的定义求方差.
【详解】由已知样本数据的平均数为，
所以样本数据的方差
化简可得，，
所以.
故答案为：0.36.
8. 已知抛物线的焦点为，在C上有一点满足，则点到轴的距离为______.
【答案】12
【解析】
【分析】由条件结合抛物线的定义求出点横坐标，再由抛物线方程求其纵坐标，由此可求点到x轴的距离.
【详解】因为抛物线的方程为，所以其焦点的坐标为，其准线方程为，
设点的坐标为，因为，所以点到准线的距离为12，即，
所以，因为点在抛物线上，
所以，所以，
所以点的坐标为或，故点到轴的距离为12.
故答案为：12.
9. 某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合，再求出选出的3名医生中，恰有1名女医生的组合，古典概型概率公式求概率.
【详解】从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合有种，再求出选出的3名医生中恰有1名女医生的组合有种，所以事件恰有1名女医生的概率.
故答案为：
10. 如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为______.
【答案】8
【解析】
【分析】以向量为基底，表示向量,结合平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】设，，则，，，，所以，
所以，又，
所以，所以，
因为，，所以，，所以，
即，同理可得，若则，，因为，，所以，所以，即，此时三点重合，与已知矛盾，所以，同理
所以，
当且仅当，即，时取等号；
所以的最小值为8．
故答案为：8．
11. 已知定义在上的函数为偶函数，则的严格递减区间为______.
【答案】和
【解析】
【分析】由偶函数的性质求，再由导数与函数的单调性的关系求的严格递减区间.
【详解】因为函数在为偶函数，
所以恒成立，即，
所以，所以，又，故，
所以，其中，
所以，令，或，解得或，所以的严格递减区间为和，
故答案为：和.
12. 已知项数为m的有限数列是1，2，3，…，m的一个排列.若，且，则所有可能的m值之和为______.
【答案】9
【解析】
【分析】首先通过试值法可知，当或3不满足题意，当或时满足题意，然后证明当，不满足题意即可.
【详解】当时，显然不合题意;
当时,因为,
所以,不符合题意;
当时,数列为，此时,
符合题意，
当时,数列为.
此时符合题意;
下证当时,不存在满足题意.
令,
则,且,
所以有以下三种可能: ①；
②； ③
当时,因为,
即.
所以或.
因为数列的各项互不相同,所以.
所以数列是等差数列.
则是公差为1(或的等差数列.
当公差为1时,由得或,
所以或,与已知矛盾.当公差为时,
同理得出与已知矛盾.
所以当时,不存在满足题意.
其它情况同理可得.
综上，的所有取值为4或5，故所有可能的值之和为9.
故答案为：9.
【点睛】关键点睛：本题作为填空题易通过试值知或，但对于不合题意的证明是一个难点，我们通过找到的所有情况，选定一种情况，利用题意得到数列是等差数列，则有或，从而得到与已知条件相矛盾的结论.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.
13. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；
【详解】解：若，则x，y同号，则成立，所以“”是“”的必要条件；但成立时，x，y不异号，即，所以不一定成立，故“”不是“”的充分条件．因此“”是“”的必要而不充分条件．
故选：B．
14. 虚数的平方是（ ）
A. 正实数 B. 虚数 C. 负实数 D. 虚数或负实数
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘方运算以及复数的分类即可判断.
【详解】设，则，
若，则，即负实数；
若，则，即虚数；
故选：D.
15. 已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（ ）
①平面内的所有直线均与直线l异面；
②平面内存在与直线l垂直的直线；
③平面内不存在直线与直线l平行；
④平面内所有直线均与直线l相交.
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用长方体模型举反例判断命题①④，分情况证明命题②，利用反证法证明命题③正确.
【详解】在长方体中，取平面为平面，直线为直线，
则直线l与平面相交，满足条件，
对于命题①，因为直线平面，直线与直线相交，所以命题①错误，
对于命题④，因为直线平面，直线与直线不相交，所以命题④错误，
对于命题②，若直线l与平面垂直，则任取直线，都有，即平面内存在与直线l垂直的直线；若直线l与平面不垂直，如图，，在直线上任取异于点的点，过点作平面，垂足为，连接，在平面过点作直线，因为平面，，所以，又，，平面，所以平面，直线平面，所以直线，故平面内存在与直线l垂直的直线；命题②正确，
对于命题③，如图，假设平面内存在直
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