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2022学年第一学期高三年级质量调研
数学试卷
一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.
1. 已知集合，是整数集，则________.
2. 已知复数，是虚数单位，则的虚部为________.
3. 直线与直线的夹角大小为________.
4. 已知，若关于的方程解集为，则的值为_________.
5. 已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为________.
6. 某果园种植了棵苹果树，随机抽取的棵果树的产量（单位：千克）分别为：
24 25 36 27 28 32 20 26 29 30 26 33
据此预计，该果园总产量为_______千克以及第百分位数为_______千克.
7. 已知常数，在的二项展开式中，项的系数等于，则_______.
8. 若函数值域是，则此函数的定义域为___________．
9. 如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有______条.
10. 关于的方程的解集为_________.
11. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为_________.
12. 已知抛物线，动点A自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为.过A作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于点.当A运动至时，点的瞬时速度的大小为___________.
二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.
13. 已知，那么“”是“为钝角三角形”的（ ）
A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件
C. 充要条件 D. 以上皆非
14. 已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（ ）
①的开口最为开阔；
②开口比的更为开阔；
③和的开口的开阔程度相同.
A 只有一个正确 B. 只有两个正确 C. 均正确 D. 均不正确
15. 甲、乙两人弈棋，根据以往总共次对弈记录，甲取胜次，乙取胜次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
16. 中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（ ）
A. B. C. D.
三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点A到平面的距离.
18. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.
（1）求和的调和中项；
（2）已知调和数列，，，求的通项公式.
19. 李先生属于一年工作天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为公里.考虑从两款车型中选择其一， 款车是燃油车，款车是电动车，售价均为万元.现提供关于两种车型的相关信息：
款车的油耗为升/百公里，油价为每升至元.车险费用元/年.购置税为售价的.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里；
款车的电耗为度/百公里，电费为每度至元.车险费用元/年.国务院年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为年，更换费用为万元.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里.
（1）除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少个，不超过个）；
（2）为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.
20. 如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点.若点分别为曲线的圆心.
（1）求的方程；
（2）若点分别在上运动，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）若点在曲线上运动，点，求的取值范围.
21. 已知，
（1）求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）；
（2）根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
（3）已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值.
2022学年第一学期高三年级质量调研
数学试卷
一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】##
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】 ①. ②.
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.
13.【答案】A
14.【答案】D
15.【答案】C
16.【答案】C
三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点A到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）证明出平面，从而得到面面垂直；
（2）等体积法求解点到平面的距离.
【小问1详解】
因为四棱柱为正四棱柱，
所以⊥平面ABCD，且AC⊥BD，
因为平面ABCD，所以⊥BD，
因为，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
设点A到平面的距离为，AC与BD相交于点O，连接，
因为正方形的边长为，，
所以，，
由三线合一可得：⊥BD，且，
由勾股定理得：，
所以，
故，
又，平面
故，
由，
故点A到平面的距离为.
18. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.
（1）求和的调和中项；
（2）已知调和数列，，，求的通项公式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案；
（2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式.
【小问1详解】
设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列，
所以，解得：，
故和的调和中项为；
【小问2详解】
依题意，是等差数列，设其公差为，
则，
所以，
故.
19. 李先生属于一年工作天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为公里.考虑从两款车型中选择其一， 款车是燃油车，款车是电动车，售价均为万元.现提供关于两种车型的相关信息：
款车的油耗为升/百公里，油价为每升至元.车险费用元/年.购置税为售价的.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里；
款车的电耗为度/百公里，电费为每度至元.车险费用元/年.国务院年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为年，更换费用为万元.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里.
（1）除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少个，不超过个）；
（2）为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）李先生要考虑生活中得各类费用以及车身本身的因素，列出几条即可
（2）通过数据的分析，得出相关的结论对买款或买款车进行分析.
【小问1详解】
李先生可能还需要考虑的因素有：
1、考虑非通勤时段的车辆使用情况；
2、油价和电价的变化；
3、工作单位能否提供免费充电；
4、电动车的国家减免政策的变化；
5、车辆的外观、内饰与品牌效应.
6、车牌费用
【小问2详解】
假设仅考虑通勤时车辆费用，油价和电价保持相对稳定，
电动车的免购置税政策保持不变.
计算时取价格区间的中位数即电价元/度、油价元/升.
车辆费用为车价、能源费用、税费、车险费用、保养费用，并扣除车辆残余价值.
使用年数
够车费
里程数
油耗
油费
车险费用
购置税
保养费
车辆残值
总费用
1
10000
600
5100
4000
30000
2000
77100
2
20000
1200
10200
8000
30000
4000
3
30000
1800
15300
12000
30000
6000
4
40000
2400
20400
16000
30000
8000
5
50000
3000
25500
20000
30000
10000
6
60000
3600
30600
24000
30000
12000
7
70000
4200
35700
28000
30000
14000
8
80000
4800
40800
32000
30000
16000
9
90000
5400
45900
36000
30000
18000
94944
10
6000
51000
40000
30000
20000
83550
使用
年数
够车
费
里程数
电耗
电费
车险
费用
购置税
保养费
车辆
残值
电池更换费
总费用
1
10000
2000
1300
6000
0
1000
0
53300
2
20000
4000
2600
12000
0
2000
0
99850
3
30000
6000
3900
18000
0
3000
0
4
40000
8000
5200
24000
0
4000
0
5
50000
10000
6500
30000
0
5000
0
6
60000
12000
7800
36000
0
6000
7
70000
14000
9100
42000
0
7000
96173
8
80000
16000
10400
48000
0
8000
81747
9
90000
18000
11700
54000
0
9000
69485
10
20000
13000
60000
0
10000
59062
写出至年任意一年中的一组对比数据，
例如：
款车使用年的总费用为：
款车使用年的总费用为：
所以，如果李先生打算开年就按二手车卖掉，可以选款车.
再写出至年任意一年中的一组对比数据，
结论：
使用年数不超过年，建议买款车；
使用年数超过年，建议买款车.
20. 如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点.若点分别为曲线的圆心.
（1）求的方程；
（2）若点分别在上运动，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）若点在曲线上运动，点，求的取值范围.
【答案】（1）
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