2023届北京市顺义区高三一模数学试题

顺义区2023届高三第一次统练 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共5页，共两部分，第一部分共10道小题，共40分，第二部分共11道小题，共110分，满分150分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的常数项为　　 A. B. C. 6 D. 24 4. 若等差数列和等比数列满足，则的公差为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 若双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则“存在使得”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数．为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. B. C. D. 9. 在棱长为1的正方体中，动点P在棱上，动点Q在线段上、若，则三棱锥的体积（ ） A. 与无关，与有关 B. 与有关，与无关 C. 与都有关 D. 与都无关 10. 已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______________． 12. 已知圆，点A、B在圆M上，且为中点，则直线的方程为_____________． 13. 若存在使得，则m可取的一个值为_____________． 14. 在中，，，，则___________，_____________． 15. 如果函数满足对任意s，，有，则称为优函数．给出下列四个结论： ①为优函数； ②若为优函数，则； ③若为优函数，则在上单调递增； ④若在上单调递减，则为优函数． 其中，所有正确结论的序号是______________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数的一个零点为． （1）求A和函数的最小正周期； （2）当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 17. 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据： 康复时间 只服用药物A 只服用药物B 7天内康复 360人 160人 8至14天康复 228人 200人 14天内未康复 12人 40人 假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立． （1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率； （2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望： （3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 18. 如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，，，E是的中点． （1）求证：直线∥平面； （2）已知，点M在棱上，且二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值． 条件①：平面平面； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 20. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以为邻边平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积是定值． 21. 已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数列如下： ①； ②，其中． （1）若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列； （2）当时，若，求证：； （3）当时，若，求证：． 顺义区2023届高三第一次统练 数学试卷 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】A 5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】A 8.【答案】B 9.【答案】D 10.【答案】D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.【答案】 12.【答案】 13.【答案】（内的任一值均可） 14.【答案】 ① ## ②. 15. 【答案】①②④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数的一个零点为． （1）求A和函数的最小正周期； （2）当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解方程即可求，然后把函数降幂，辅助角公式后再求周期. （2）若恒成立，即求. 【小问1详解】 的一个零点为 ，即， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 当时有最大值，即 . 若恒成立，即, 所以，故的取值范围为. 17. 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据： 康复时间 只服用药物A 只服用药物B 7天内康复 360人 160人 8至14天康复 228人 200人 14天内未康复 12人 40人 假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立． （1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率； （2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望： （3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为1 （3）2 【解析】 【分析】（1）结合表格中数据求出概率； （2）先得到只服用药物A和只服用药物B的患者7天内康复的概率，得到X的可能取值及相应的概率，得到分布列和期望； （3）求出只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率，利用独立性重复试验求概率公式得到，列出不等式组，求出，结合得到答案. 【小问1详解】 只服用药物A的人数为人，且能在14天内康复的人数有人， 故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为； 【小问2详解】 只服用药物A的患者7天内康复的概率为， 只服用药物B的患者7天内康复的概率为， 其中X的可能取值为， ，， ， 则分布列： 0 1 2 数学期望为； 【小问3详解】 只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为， ， 令，即， 解得：，因为，所以. 18. 如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，，，E是的中点． （1）求证：直线∥平面； （2）已知，点M在棱上，且二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值． 条件①：平面平面； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理和线面平行判定即可求解；（2）根据线面垂直的判定或性质，以及建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值即可进一步得解. 【小问1详解】 取PA中点F， 连接， 因为E是的中点，F是PA中点， 所以是中位线， 所以平行且等于AD的一半， 因为， 所以平行于， 又， 所以与平行且相等， 所以四边形BCEF为平行四边形， 所以CE平行于BF， 而平面， 平面， 所以直线∥平面. 【小问2详解】 若选①：平面平面， 取AD中点O， 因为侧面为等边三角形， 所以平面， 易证平面， 以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，, 所以, 所以， 所以 所以， 所以,, 设平面的一个法向量为， 所以， 令， 解得， 所以， 易知地面一个法向量为， 又二面角的大小为， 所以， 所以， 解得， 又点M在棱上，所以， 所以， 所以的值为. 若选②： 则取AD中点O， 因为侧面为等边三角形， 所以平面， 连接OA,OC,OD， 易知， 所以， 以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，, 所以, 所以， 所以 所以， 所以,, 设平面的一个法向量为， 所以， 令， 解得， 所以， 易知地面一个法向量为， 又二面角的大小为， 所以， 所以， 解得， 又点M在棱上，所以， 所以， 所以的值为. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】(1)当时，求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程； (2)对a进行分类讨论，由此求得的单调区间． 【小问1详解】 当时，， 所以 又因为，， 所以在处的切线方程为，即 【小问2详解】 由题意知，的定义域为R ①当时，，则当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当时，由得或， （i）若，则，所以在R上单调递增， （ii）若，则， 所以当或时，当时， 所以在上单调递减，在和上单调递增， （iii）若，则， 所以当或时，当时， 所以在上单调递减，在和上单调递增， 综上所述，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是和； 当时，的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是和． 20. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积是定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得关于，，的方程组，求得，的值，则椭圆方程可求； （2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值． 【小问1详解】 由题意，可得，解得，，， 所以椭圆为. 【小问2详解】 证明：把代入椭圆方程， 得， 所以，即， 设，，则，， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以， 所以点坐标为.