2022-2023学年陕西省西安市西工大附高高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

西工大附高2022-2023学年高一上学期期末考试 数学 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．已知向量与不共线，且，，若，，三点共线，则实数，应该满足的条件是 A． B． C． D． 4．已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（    ） A． B． C．－ D．－ 5．已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B．2 C．4 D．8 6．在 中，点 满足 ，则（    ） A．点 不在直线 上 B．点 在 的延长线上 C．点 在线段 上 D．点 在 的延长线上 7．已知向量，且与方向相同，则的取值范围是（    ） A．（1，+∞） B．（-1，1） C．（-1，+∞） D．（-∞，1） 8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列函数中，定义域为的函数是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 11．已知是第一象限角，且，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 12．设函数，对关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，方程有3个实根 B．当时，方程有5个不等实根 C．若方程有2个不等实根，则 D．若方程有6个不等实根，则 三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知，则的值为____． 14．已知函数的最小正周期是，且的图象过点，则的图象的对称中心坐标为___________. 15．如图，在中， ，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=________. 16．对任意，一元二次不等式都成立，则实数k的取值范围为______． 四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的最大值和对应的取值； (3)求在的单调递增区间. 18．在平面直角坐标系中,角的顶点坐标原点,始边为的非负半轴,终边经过点. (1)求的值; (2)求的值. 19．已知定义在上的奇函数，在时，且． (1)求在上的解析式； (2)若，常数，解关于的不等式． 20．已知函数． (1)若函数有唯一零点，求实数的取值范围； (2)若对任意实数，对任意，恒有成立，求正实数的取值范围． 21．已知函数是奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)证明函数在上是增函数. 参考答案 1．B 化简集合，求出补集，再根据交集的概念运算求解可得结果. ，或， 所以. 故选：B 2．D 根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可． ∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0， ∴0＜cosx≤1， 又sinx＜0， ∴角x为第四象限角， 故选D． 本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键． 3．A 试题分析：依题意，，∴，即，求得，故选A. 考点：共线向量定理. 4．C 根据题意写出的表达式，结合二次函数知识求得，根据投影向量的定义即可求得答案. 由题意得，, ， 当时，有最小值， 即， 则在上的投影向量为 ， 故选：C 5．C 在三角形中利用数形结合构造关于不等式，解之即可求得的最大值 以向量与为两边作△，，， 则 则在△中，即， 则，当且仅当即时等号成立. 故选：C 6．B 由已知条件可得，从而可得与共线，进而可得结论 因为，得， 所以， 所以三点共线，且点 在 的延长线上， 故选：B 7．C 与同向，用共线基本定理得到关系，表示依据的范围去求. 因为与同向，所以可设 则有，又因为，， 所以 所以的取值范围是(-1，+∞)， 故选：C. 8．A 根据三角函数的性质及函数的单调性可得函数的值域，再根据高斯函数的定义求出的值域即得. 当时，，， 所以， 当时，单调递减， 所以； 综上，， 所以函数的值域为. 故选：A. 9．AC 根据基本初等函数的定义域逐项分析即得. 对于A， 函数的定义域为，符合题意； 对于B，函数的定义域为，不符合题意 对于C，函数的定义域为，符合题意； 对于D，函数的定义域为R，不符合题意. 故选：AC. 10．AD 通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可. 对于A，∵，∴，∴，∴， ∴，∴，故选项A正确； 对于B，当，，，时，有，， 但此时，，，故选项B错误； 对于C，当，，时，有，， 但此时，，，故选项C错误； 对于D，∵，∴，∴， ∴，∴， 由不等式的同向可加性，由和可得，故选项D正确. 故选：AD. 11．BC 由题意可知，利用特殊值可以排除AD选项，再根据同角三角函数的基本关系判断BC即可. 是第一象限角，且， 当时， 此时，所以A错误； 易知，，所以， 又因为，即，所以，即C正确； 又因为，所以， 因此，即，故B正确； 取，则，所以D不成立. 故选：BC. 12．ABD 根据分段函数解析式可画出函数图象，再利用一元二次方程根的分布情况研究的根的个数，对选项逐一判断即可. 由函数可知，图象如下： 对于A，当时， 方程即为， 即，所以 而，由图可知与有三个交点，即方程有3个不同的实根.故A正确； 对于B，当时，方程为，即 解得或； 时，由图可知与有三个交点，即此时方程有3个不同的实根， 时，由图可知与有两个交点，即此时方程有2个不同的实根； 综合可知，当时，方程有5个不等实根；即B正确； 对于C，令，则方程等价成； 由图可知，若方程有2个不等实根，包括以下三种情况， ①方程只有一根，且 则，即或 由A可知，时不合题意，舍去； 当时，此时，方程只有一根，不合题意； ②方程只有一根，且， 由①知，此时也不符合题意； ③方程有两个不相等的实数根，且或 或 令 若，需满足解得，不合题意； 若，需满足，解得,即 若，需满足，解得，不合题意； 综上可知，若方程有2个不等实根，则；故C错误； 对于D，若方程有6个不等实根，则需满足方程有两个不相等的实数根，且； 则需满足解得 即可得；故D正确. 故选：ABD 关键点点睛：根据分段函数的函数性质画出分段函数的图象，由方程根的个数并结合函数图象从而确定根的分布情况，确定根的取值范围，进而确定参数的取值范围. 13． 根据两角和与差的正弦、余弦公式展开后将弦化切即可求解. . 故答案为：. 14． 根据周期确定的值，再由的图象过点确定值，从而函数解析式确定，再根据正弦函数的对称中心可解得答案. 由题意函数的最小正周期是， 可知， 再由的图象过点，可得， 则,故, 所以由知：，所以， 令，可得， 所以的图象的对称中心坐标为， 故答案为： 15． 设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中， ， ，面积为，由题意得，∴，∴，故答案为. 点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论. 16． 由二次不等式恒成立结合图象即可求解 因为对任意，一元二次不等式都成立， 所以， 解得， 所以实数k的取值范围为 17．(1)； (2)当时，函数有最大值； (3). （1）根据正弦型函数的周期公式即得； （2）根据正弦函数的图象和性质即得； （3）根据正弦函数的单调性结合条件即得. （1）因为函数， 所以的最小正周期为； （2）因为， 由，可得， 当时，函数有最大值； （3）由，可得， 又， 函数的单增区间为. 18．(1) (2) (1)根据角终边经过点,得出的值,即可求出; (2)根据诱导公式进行化简,代入角的三角函数值即可. （1）解:由题知角终边经过点, , , , , ; （2）由(1)知, 则原式 . 19．(1) (2) （1）根据奇函数定义以及函数在上的解析式，结合即可写出在上的解析式；（2）将不等式转化成，再利用换元法以及，解出的取值范围即可得不等式的解集. （1）∵是上的奇函数且时，， ∴当时，， 又由于为奇函数，∴，∴， 又，，∴， 综上所述，当时， （2）时，，当时，， ，即，所以， 设，不等式变为， ∵，∴， ∴． 而当时，，且， 又在上单调递增， 所以，所以， ∴，即 所以． 综上可知，不等式的解集是． 20．(1) (2) （1）将函数有唯一零点转化成方程有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可； （2）由复合函数单调性可知，函数为上的减函数，将恒成立转化成在上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正实数的取值范围. （1）函数有唯一零点， 即①有唯一零点，即有唯一零点， 当时，，解得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，其 当时，，方程有两个相等的实数根，符合题意； 当时，，方程有两个不等的实数根，； 若为①的解，则，解得； 若为①的解，则，解得； 要使①有唯一实数解，则． 综上，实数的取值范围为． （2）函数，其中内部函数在上为减函数，外部函数为增函数， 由复合函数性质知为上的减函数， ，， 不等式转化为， 即转化为， 即 令，，即． 二次函数对称轴为，由，开口向上 （i）当时，，函数在上单调递减， ，解得，不符合题意，舍去； （ii）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，解得， 即； （iii）当时，，函数在上单调递增， ，解得， 即； 综上可知，正实数的取值范围． 关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意，恒有成立”进行等价转化，只需满足，再利用函数的单调性，即可将问题转化成不等式在上恒成立的问题，再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围. 21．(1)， (2)证明见解析 （1）由奇函数的性质可知，可求出b的值，再利用可求出a的值. （2）利用定义法证明函数的单调性即可. （1）∵函数是奇函数，∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，∴， ∴. （2）由（1）得， 任取，，且， ∴， ∵，∴，，， ∴，即， ∴函数在上是增函数.