2022-2023学年陕西省西安市西工大附高高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

西工大附高2022-2023学年高二上学期期末考试 数学 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（    ）． A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项 2．若过点的直线l与圆C：相交于A，B两点，则的最小值（    ） A．2 B． C．4 D． 3．不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的短轴长为8，且一个焦点是圆的圆心，则该椭圆的左顶点为（    ） A． B． C． D． 6．设等差数列的前n项和为，已知 A．35 B．30 C．25 D．15 7．已知抛物线与直线相交于A、B两点，其中A点的坐标是(1，2)．如果抛物线的焦点为F，那么等于（ ） A．1 B．6 C． D．7 8．已知点P是双曲线E：的右支上一点，，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的个数是（  ） ①点P的横坐标为；②的周长为；③小于；④的内切圆半径为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列说法正确的是（    ） A．点关于直线的对称点为 B．已知，两点，则直线的方程为 C．过点作圆的切线，则切线方程为 D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为或 10．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（    ） A． B．若，则有两解 C．若为锐角三角形，则b取值范围是 D．若D为边上的中点，则的最大值为 11．已知等差数列为递增数列，，，该数列的前n项和为，则下列说法正确的为（    ） A． B．或最小 C．公差 D． 12．已知双曲线的上､下焦点分别为，，点P在双曲线C的上支上，点，则下列说法正确的有（    ） A．双曲线C的离心率为 B．的最小值为8 C．周长的最小值为 D．若内切圆的圆心为M，则M点的纵坐标为3 三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分 13．若直线l与轴交点的横坐标为，倾斜角为，则直线l的方程为______． 14．设数列的前项和为，，则数列的通项公式为______． 15．从点(2,3)射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为_____________． 16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F． 的坐标为______； 若M是抛物线上的动点，则的最大值为______． 四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．在平面直角坐标系中，已知圆及点，. (1)若直线平行于，与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (2)对于线段上的任意一点，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围. 18．已知等比数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 19．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CGCD． （1）证明：EF⊥B1C； （2）求cos，． 20．如图，已知椭圆，椭圆的长轴长为8，离心率为． 求椭圆方程； 椭圆内接四边形ABCD的对角线交于原点，且，求四边形ABCD周长的最大值与最小值． 21．等差数列的前项和为，已知，为整数，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 22．已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示. (1)求点的轨迹的方程； (2)直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点. 参考答案 1．D 根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答. 因，因此符合题意的一个通项公式为， 由解得：， 所以是这个数列的第15项. 故选：D 2．D 数形结合得到当圆心与的连线和直线l垂直时，最小，再使用垂径定理求出最小值. 点在圆的内部，当圆心与的连线和直线l垂直时，最小，，圆半径，由垂径定理得： 故选：D 3．C 利用必要条件和充分条件的定义判断. 不等式，解得， 所以不等式成立的一个必要不充分条件是， 故选：C 4．C 由已知，根据题意，将利用线性运算表示成的关系，然后利用待定系数法即可求解出. 由已知，在平行六面体中，与的交点为， 所以 所以. 故选：C. 5．D 根据椭圆的一个焦点是圆的圆心，求得c，再根据椭圆的短轴长为8求得b即可. 圆的圆心是， 所以椭圆的一个焦点是，即c=3， 又椭圆的短轴长为8，即b=4， 所以椭圆的长半轴长为， 所以椭圆的左顶点为， 故选：D 6．B 试题分析：∵数列为等差数列，∴成等差数列，即5,15-5，成等差数列， ∴，即． 考点：等差数列的性质． 7．D 试题分析：把点（1，2），代入抛物线和直线方程，分别求得p=2，a=2 ∴抛物线方程为，直线方程为2x+y-4=0，联立消去y整理得 ，解得x和1或4， ∵A的横坐标为1，∴B点横坐标为4，根据抛物线定义可知|FA|+|FB|=+1++1=7，故选D．. 考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；抛物线的简单性质． 8．C 设的内心为I，连接IP，，，求得双曲线的a，b，c，不妨设，，，运用三角形的面积公式求得P的坐标，运用两直线的夹角公式可得，由两点的距离公式，可得的周长，设的内切圆半径为r，运用三角形的面积公式和等积法，即可计算r． 设的内心为I，连接IP，，， 双曲线E：中的，，， 不妨设，，， 由的面积为20，可得，即， 由，可得，故①正确； 由，且，， 可得，， 则， 则，故③正确； 由， 则的周长为，故②正确； 设的内切圆半径为r， 可得， 可得，解得，故④不正确． 故选：C． （1）坐标法是解析几何的基本方法； （2）灵活运用定义在解析几何中是常见的思路； （3）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算． 9．AD 对于A选项，根据关于对称的点的坐标关系判断即可；对于B选项，已知，两点，且时满足；对于C选项，根据圆心到直线的距离解得直线斜率或，进而判断；对于D选项，分直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况求解即可. 解：对于A选项，根据关于对称的点的坐标关系得点关于直线的对称点为，故正确； 对于B选项，已知，两点，且时，直线的方程为，故错误； 对于C选项，过点作圆的切线，直线斜率一定存在，故设切线方程为，即，进而圆心（原点）到直线的距离为，解得或，故切线方程为或，故错误； 对于D选项，当直线过坐标原点时，直线方程为，当直线不过坐标原点时，设方程为，待定系数得，所以方程为，故经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为或，故正确. 故选：AD 10．BCD 由数量积的定义及面积公式求得角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D． 因为，所以，，又，所以，A错； 若，则，三角形有两解，B正确； 若为锐角三角形，则，，所以，， ，，C正确； 若D为边上的中点，则，， 又，， 由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确． 故选：BCD． 关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可． 11．ABD 等差数列，用基本量代换和性质，对四个选项一一验证： 用，整理计算后对AB验证； 直接计算出公差，验证C； 借助于通项公式，验证D. 根据题意，可得，从而可得该数列的前6项为负数，第7项为0，从第8项开始为正数，因此选项A、B正确； 对于选项C，，，公差，因此选项C错误； 对于选项D，因为，所以，因此选项D正确. 故选：ABD． 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质． 12．BCD 由双曲线的标准方程得出，然后求出离心率判断A，结合双曲线的性质判断B，然后结合双曲线的定义判断C,D. 对于A：，∴A错误； 对于B：的最小值为，B正确； 对于C：如图， 的周长（当且仅当Q，P，三点共线时取等号），C正确； 对于D：如图， 设的内切圆分别与，，切于点A，B，D，则，，，∴.又，∴，∴，∴M点的纵坐标为3，D正确. 故选：BCD. 13． 由点斜式求直线方程即可. 由题意，，且直线过点， 所以直线方程为，即. 故答案为： 14． 先求出，再求出，综合即得数列的通项公式. 当时，； 当时，，适合. 所以数列的通项公式为. 故答案为： 本题主要考查利用和的函数关系求数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．x＋2y－4＝0 根据平行直线的斜率相等，利用点斜式写出入射光线的方程，求得光线与y轴的交点，然后结合点(2,3)关于y轴对称点的坐标，即可确定反射光线的直线方程. 由题意得，射出的光线方程为，即x−2y+4=0，与y轴交点为(0,2)， 又(2,3)关于y轴对称点为(−2,3)， ∴反射光线所在直线过(0,2)，(−2,3)， 故方程为，即x+2y−4=0. 故答案：x+2y−4=0. 本题主要考查直线方程的求解，反射的性质及其应用，属于中等题. 16．          由抛物线的焦点坐标公式可得所求； 求得抛物线的准线方程，设，即有，可得，再令，转化为t的函数，配方即可得到所求最大值． 抛物线的焦点F的坐标为， 若M是抛物线上的动点，设，即有， 抛物线的准线方程为，可得， 即有， 可令，可得， ， 当即时，上式取得最大值． 故答案为，． 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查转化思想和换元法，以及化简运算能力，属于中档题． 17．(1)或； (2). （1）由已知设直线的方程为，由及弦长公式求得得到直线方程； （2）求出的轨迹是一个圆，由条件知此圆与圆B要有公共点，列出半径与满足的不等式，视为对任意恒成求得的范围，同时注意点这一条件的制约，最终求得的范围. （1）圆的标准方程为，所以，半径为2，其中，因为平行于，所以设直线的方程为， 则圆心到直线的距离，因为， 解得或，所以直线的方程为或； （2）设点，，，由于点是线段的中点，则，又在半径为的圆上， 所以，即， 所以的轨迹为是以为圆心，为半径的圆， 又在半径为的圆上， 所以两圆有公共点，所以对恒成立， 又，所以且，解得， 又在圆外，所以恒成立， 所以，即，所以圆的半径的取值范围为. 18．(1)； (2). （1）先根据得到，然后利用与之间的关系求得数列的通项公式，注意对的验证； （2）由（1）得到，然后利用分组求和法即可得到. (1) 当时，，解得， 即， 当时，， 易知满足上式， 所以. (2) 由（1）可知，， 易知等比数列的前n项和为， 等差数列数列的前n项和为， 所以数列的前n项和. 19．(1)证明见解析 (2) （1）可分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，从而得出，0，，，1，，，2，，，2，，，2，，进而可求出的坐标，