2022年湖南省湘潭市湘潭县中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是( )
A. a B. b C. c D. 无法确定
2. 下列计算正确的是( )
A. 3+2=5 B. (−1)−2=−1
C. |1−2|=2−1 D. (−2)2=−2
3. 如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1=45°，则∠2为( )
A. 15°
B. 25°
C. 35°
D. 45°
4. 下列因式分解正确的是( )
A. a3−a=a2(a−1)
B. ab2−c2=(ab+c)(ab−c)
C. a2b−ab2=a(a+b)(a−b)
D. a3+6a2b+9ab2=a(a+3b)2
5. 不等式组x−1>05−x≥1的整数解共有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6. 关于x的分式方程m+x2−x−3=0有解，则实数m应满足的条件是( )
A. m=−2
B. m≠−2
C. m=2
D. m≠2
7. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是( )
A. 13 B. 14 C. 16 D. 18
8. 在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为( )
A. (−22020,−3×22020) B. (22021,−3×22021)
C. (22020,−3×22020) D. (−22021,−3×22021)
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 下列各式运算不正确的有______.(多选)
A.a2+a2=a4
B.a2⋅a3=a6
C.(a2)3=a5
D.a5÷a3=a2
10. 如果a
bm2+1
11. 如图：PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列判断正确的有______.(多选)
A.∠APO=∠BPO
B.PA=PB
C.AB⊥OP
D.C是PO的中点
12. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于两点A(−3,0)，B(1,0).下列结论：①b2−4ac>0；②2a−b=0；③abc>0；④当m≠−1时，a−bmx的解集为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 化简：(a+2a2−2a−a−1a2−4a+4)÷a−4a．
四、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，求⊙O的半径．
19. (本小题6.0分)
如图，四边形ABCD中，AB=DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE=CF.连接BE，DF，若BE=DF.证明：四边形ABCD是平行四边形．
20. (本小题6.0分)
“和平和发展是当今时代的主题！”热爱和平的小月为了了解我县城居民对“俄乌战争”的关注情况，采用随机抽样调查的方式，并将收集到的信息分为四种程度：A(实时关注)；B(关注较多)；C(关注较少)；D(不关注)，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图请回答下列问题：
(1)求此次调查的居民人数，并补全条形统计图；
(2)求“A”种程度所对应扇形的圆心角的度数；
(3)若“D”种程度中有2名男性和3名女性，从中随机抽取2名进行深入了解，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男性和1名女性的概率．
21. (本小题6.0分)
“绿色出行，低碳生活”的理念使城市里共享单车快速出现，极大地方便了人们的短途出行，图①所示的是一辆共享单车的实物图，图②是这辆共享单车的部分几何示意图，其中车架档AC长为40cm，座杆CE的长为18cm.点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=60°，∠ACB=75°．
(1)求车座点E到车架档AB的距离．
(2)求车架档AB的长．
22. (本小题6.0分)
实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下(单位：万元)：
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：
分组
频数
0.65≤x<0.70
2
0.70≤x<0.75
3
0.75≤x<0.80
1
0.80≤x<0.85
a
0.85≤x<0.90
4
0.90≤x<0.95
2
0.95≤x<1.00
b
统计量
平均数
中位数
众数
数值
0.84
c
d
(1)表格中：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ，d= ______ ；
(2)试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；
(3)该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
23. (本小题8.0分)
阅读下面材料：
我们知道一次函数y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C=0(A≠0,B≠0,A、B、C是常数)的形式，点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离可用公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2计算．
例如：求点P(3,4)到直线y=−2x+5的距离．
解：∵y=−2x+5
∴2x+y−5=0，其中A=2，B=1，C=−5
∴点P(3,4)到直线y=−2x+5的距离为：d=|Ax0+By0+C|A2+B3=|2×3+1×4−5|22+12=55=5
根据以上材料，解答下列问题：
(1)求点Q(−2,2)到直线3x−y+7=0的距离；
(2)如图，直线y=−x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．
24. (本小题8.0分)
某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量y1(盒)与售价x(元)之间的关系为：y1=400−8x；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒．售价每提高1元，少销售5盒．
(1)求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？
(2)当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？
25. (本小题8.0分)
数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
(1)小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
(2)小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．
26. (本小题12.0分)
如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点B坐标是(3,0).抛物线与y轴交于点C(0,3)，点P是抛物线的顶点，连接PC．
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
(2)直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y=13x−73交直线l于点F，点G在直线y=13x−73上，且AG=AQ时，请直接写出GF的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，
这三个数中，实数a离原点最远，所以绝对值最大的是：a．
故选：A．
根据越靠近原点其绝对值越小，进而分析得出答案．
2.【答案】C
【解析】解：A、错误，左边两个二次根式的被开方数不相同，不能合并；
B、错误，∵(−1)−2=1(−1)2=1；
C、正确，∵2>1；
D、错误，∵(−2)2=2．
故选：C．
根据负指数为对应正整数指数的倒数，绝对值，二次根式的性质，逐一判断．
涉及知识：负指数为对应正整数指数的倒数；绝对值的化简；二次根式的化简．
3.【答案】A
【解析】解：过三角形的60°角的顶点F作EF//AB，
∴∠EFG=∠1=45°，
∵∠EFG+∠EFH=60°，
∴∠EFH=60°−∠EFG=60°−45°=15°，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠2=∠EFH=15°，
故选：A．
过三角形的60°角的顶点F作EF//AB，先根据平行线的性质即推出∠EFG=∠1=45°，进而求出∠EFH=15°，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，内错角相等是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.a3−a=a(a2−1)=a(a−1)(a+1)，故此选项不合题意；
B.ab2−c2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项不合