2022年湖南省衡阳市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−3，−2，0，3中，最小的数是( )
A. −3 B. −2 C. 0 D. 3
2. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 北京冬奥会将于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，国家体育场(鸟巢)成为北京冬季奥运会开闭幕式场馆，该场馆位于北京奥林匹克公园中心区，占地20.4公顷，建筑面积25.8万平方米，可容纳观众9.1万人．数据25.8万用科学记数法可表示为( )
A. 0.258×106 B. 2.58×106 C. 2.58×105 D. 25.8×104
4. 2x4可以表示为( )
A. (2x2)2
B. x4⋅x4
C. 2x5−x
D. 2x6÷x2
5. 如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为( )
A. 60° B. 70° C. 75° D. 85°
6. 如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是( )
A. M点 B. N点 C. P点 D. Q点
7. 若在一组数据4，3，2，4，2中再添加一个数后，它们的平均数不变，则添加数据后这组数据的中位数是( )
A. 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5
8. 已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)均在反比例函数y=k2+1x的图象上，且x1
y2>0 D. y2>y1>0
9. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，连接AC、BD，则ACBD的值为( )
A. 12 B. 22 C. 32 D. 33
10. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为( )
A. 1.0厘米/分 B. 0.8厘米/分 C. 1.2厘米/分 D. 1.4厘米/分
11. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为( )
A. 1 B. 3 C. π D. 2π
12. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
−2
0
1
3
…
y
…
6
−4
−6
−4
…
下列各选项中，正确的是( )
A. 这个函数的图象开口向下
B. 这个函数的图象与x轴无交点
C. 这个函数的最小值小于−6
D. 当x>1时，y的值随x值的增大而增大
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 已知a−b=4，则3a−3b−5的值为______．
14. 把多项式−3x2+2xy2−x3y−1按x降幂排列是______．
15. 关于x、y二元一次方程组2x+3y=52x−y=k的解满足6x+y=21，则k的值为______．
16. 已知点A(a,1)与点A′(−2,b)关于原点对称，则ab=______．
17. 如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0,4)，B(6,0)，若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为______．
18. 已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：(x+y)2−2(x+y)(x−y)．
20. (本小题6.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C.E是边BC上一点，且DE=DC.求证：AD=BE．
21. (本小题8.0分)
2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”.教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩(满分100分，每名学生的成绩记为x分)分成四组，A组：60≤x<70；B组：70≤x<80；C组：80≤x<90；D组：90≤x≤100，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x<70
a
B：70≤x<80
18
C：80≤x<90
24
D：90≤x≤100
b
(1)n的值为______，a的值为______，b的值为______．
(2)请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为______°.
(3)若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
(4)竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀(x≥80)的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
22. (本小题8.0分)
党中央决定从2021年起全面实施乡村振兴，某企业帮扶火红村发展林果产业，先后两次购进同种果树苗，第一次购树苗用去12000元，第二次用去10000元，第一次树苗的单价是第二次树苗单价的1.5倍，第二次购进树苗的数量比第一次多100棵．
(1)求第二次购进树苗的单价．
(2)第一次树苗的成活率是75%，第二次树苗的成活率是80%，计划三年后第一次产果要不少于56000千克，问平均每棵树至少要产果多少千克？
23. (本小题8.0分)
如图，一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=4x的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．
(1)求a，b的值．
(2)在反比例y2=4x第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．
24. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
(1)求证：MD=MC；
(2)若⊙O的半径为5，AC=45，求MC的长．
25. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0)，B两点，与y轴交于点C(0,3)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)过点B作x轴的垂线，在该垂线上取一点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P的坐标．
26. (本小题12.0分)
如图(1)，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边在AD的右侧作等腰直角△ADE，∠ADE=∠AED=45°，∠DAE=90°，AD=AE，解答下列问题：
(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°．
①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图(2)，线段CE、BD之间的数量关系为______ ；位置关系为______ ；(不用证明)
②当点D在线段BC的延长线上时，如图(3)，①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由．
(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD(点C、E重合除外)？请写出条件，并借助图(4)简述CE⊥BD成立的理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵−3<−2<0<3，
∴最小的数是−3，
故选：A．
先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
本题考查了实数的大小比较法则和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2.【答案】A
【解析】解：根据视图的定义，选项A中的图形符合题意，
故选：A．
根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义是正确判断的前提．
3.【答案】C
【解析】解：25.8万=258000=2.58×105．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：A.根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”知(2x2)2=4x4，不符合题意；
B.根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知x4⋅x4=x8，不符合题意；
C.2x5，x不是同类项，无法合并，不符合题意；
D.根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”知2x6÷x2=2x4，符合题意，
故选：D．
根据积的乘方，同底数幂的乘除，合并同类项可进行判断．
本题考查了积的乘方，同底数幂的乘除，合并同类项，关键是熟知法则计算．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠1=180°−(∠B+∠ADB)，∠ADB=∠A+∠C，
∴∠1=180°−(∠B+∠A+∠C)
=180°−(25°+35°+50°)
=180°−110°
=70°，
故选：B．
由三角形的内角和定理和外角的性质，可得∠1=180°−(∠B+∠ADB)，∠ADB=∠A+∠C，所以∠1=180°−(∠B+∠A+∠C)，由此解答即可．
本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，掌握这些知识点是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．
由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，根据勾股定理得到BP=CP=2≠PA，于是得到结论．
【解答】
解：由图可知，△ABC是锐角三角形，
∴△ABC的外心只能在其内部，
由此排除A选项和B选项，
由勾股定理得，BP=CP=2≠PA，
∴排除C选项，
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：(4+3+2+4+2)÷5
=15÷5
=3．
∵它们的平均数不变，
∴添加的数据为3．
∴这组新数据为：2，2，3，3，4，4，
这组新数据的中位数为：12×(3+3)=3，
故选：A．
根据平均数的公式求出数据4，3，2，4，2的平均数，根据题意可知添加的一个数据是平均数，再根据中位数的定义求解．
考查了平均数，中位数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵k2+1>0，
∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
∵x1
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