2015-2016学年高一数学跟踪检测：第1章《集合与函数概念》（新人教a版必修1）

2 01 5 高中数学第一章集合与函数概念学案新人教A 版必修11.1 集合1.1.1集合的含义与表示第一 课 时 集合的含义层析教材，新知无师自通集合的概念 提出问题观察下列实例：(1)山东天成书业集团的所有员工；(2)平面内到定点。的距离等于定长d 的所有的点;x+1 2 3f W 9(3)不等式组，的整数解;(4)方程V5 x+6=0 的实数根；(5)某中学所有较胖的同学.问题1 ：上述实例中的研究对象各是什么？提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学.问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定.问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？提示：(5)的研究对象不能确定，因 为“较胖”这个标准不明确，故无法确定.导入新知元素与集合的概念定义表示元素一般地，我们把研究对象统称为元素通常用小写拉丁宁母a,b,c,表示集合把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)通常用大写拉丁字母4 B,C,表示 化解疑难准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的.(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.L 元素的特性及集合相等 提出问题问题1：上述实例(3)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题2：上述实例(4)组成的集合的元素是什么？提 小:2,3.问题3：实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？提示：相等.导入新知1 .集合相等只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.2 .集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.化解疑难对集合中元素特性的理解(1)确定性：是指作为 个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合.也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的.(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同个集合时只能算作集合的一个元素.(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的.如1,2,3与 3,2,1 构成的集合是同一个集合.元素与集合的关系及常用数集的记法 提出问题某中学2 01 3 年高一年级2 0个班构成一集合.问题1：高一(6)班、高一(1 6)班是这个集合的元素吗？提示：是这个集合的元素.问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？提示：不是.高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素.导入新知1 .元素与集合的关系(1)如果a是集合力的元素，就 说 a 属于集合4 记 作 正 4(2)如果a 不是集合力中的元素，就说a 不属于集合4 记作&.2 .常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或 N+ZQR 化解疑难1 .对W和a 的理解(1)符 号“w”“阵”刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素a与一个集合A而言，只 有“a d/与“飘 这 两 种 结 果.(2)6 和庄具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R60是错误的.2 .常用数集关系网实数集R 4有理数集Q V整数第Z，正整数集N*0 负整数集自然数集NI分数集I 无理数集锁定考向，考题千变不离其宗r m 集合的基本概念 例 1 (1)下列各组对象：接近于0的数的全体；比较小的正整数的全体；平面上到点a的距离等于1的点的全体；正三角形的全体；门的近似值的全体.其中能构成集合的组数是()A.2B.3C.4D.5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由.某个公司里所有的年轻人组成一个集合；由 1,1.B T 组成的集合有五个元素；由 a,b,。组成的集合与由6,a,c 组成的集合是同一个集合.解析(1)“接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以不是集合.同样，“短 的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以也不是一个集合.能构成集合.答案 A(2)解 不 正 确.因 为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成第合.不正确.由于1 =),由集合中元素的互异性知，这个集合是由1,*J 这三个元素组成的.正确.集合中的元素相同，只是次序不同，所以它们仍表示同一个集合.类题通法判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性.活学活用下列说法正确的是()A.小明身高1.7 8 m,则他应该是高个子的总体这一集合中的一个元素B.所有大于0小 于 1 0 的实数可以组成一个集合，该集合有9个元素C.平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线D.任意改变一个集合中元素的顺序，所得集合仍和原来的集合相等解析：选 D A中的高个子标准不能确定，因而不能构成集合；B中对象能构成集合，但元素有无穷多个；C 中对象构成的是两条直线，D反映的是集合元素的无序性.元素与集合的关系 例 2 (1)设集合/只含有一个元素a,则下列各式正确的是()A.0 S J B.(AAC.aA D.a=A(2)下列所给关系正确的个数是()J I W R；O wM；|一4|邨*A.1B.2C.3D.4 解析(1)由元素与集合的关系可知，a e 4(2)G R显然是正确的：m 是无理数，而 Q表示有理数集，.镉初，正确：N*表示不含0的自然数集，.(M N*,错误；|-4|=4 eN ,错误，所以是正确的.答案(D C (2)B 类题通法判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素,就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征.如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征.活学活用设不等式3 2 水0的解集为弘下列正确的是()A.0 6 也2 6 材 B.0 阵 也 2 G MC.o e 也D.0+也2 电解析：选 B 从四个选项来看，本题是判断0 和 2与集合材间的关系，因此只需判断0和 2是否是不等式3-2 K 0 的解即可.当x=0 时:3-2 才=3 0,所以0 不属于财，即 0$%当 x=2 时，3 2 8=-1 0,y p=a =所以一定与a 或一a 中的一个一致.故组成的集合中有两个元素,a,a 0的解集，且 2Q I,则实数a的取值范围是_ _ _ _.解析：2由I,.2a W 0,即 a 22.答案：a 22三、解答题9 .设 集 合 4中含有三个元素3,x,ix.(1)求实数x 应满足的条件；(2)若一2 G4求实数工解：由集合中元素的互异性可知，丘 3,且丘夕2/3.解之得 任 一 1 且 正 0,且 x W 3.(2)V-2 GJ,，x=-2 或/-2彳=-2.由于 x 2 x (x I)21 1,/.x=2.+a1 0.数集 满足条件：若 a G M,则 G M(a l 且 a r 0).若 3GM则在 中还有1 a三个元素是什么？解：V3e,l/,A-：-=-2 e,i/,二在 中还有元素一2,-第二课时集合的表示层析教材，新知无师自通列举法 提出问题观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合；(2)20的所有正因数组成的集合.问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？提示:能.(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药，(2)中的元素为：1,2,4,5,10,20.问题2：如何表示上述两个集合？提示：用列举法表示.导入新知列举法把集合的元素二M出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.化解疑难使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为 幼，&，a,；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.描述法 提出问题观察下列集合：(1)不等式X 223的解集；(2)函 数 尸 V1 的图象上的所有点.问题1：这两个集合能用列举法表示吗？提示：不能.问题2：如何表示这两个集合？提示：利用描述法.导入新知描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的般符号及取值(或变化)范I 韦 I,再画条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.化解疑难1 .描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一 列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.2 .描述法的一般形式它的一般形式为 x e 4|p(x),其中的x表示集合中的代表元素，/指的是元素的取值范围；0(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其 中“I”将代表元素与其特征分隔开来.一般来说集合元素x的取值范围力需写明确，但若从上下文的关系看，x G 4是明确的，则 x W n可以省略，只写元素X.锁定考向，考题千变不离其宗EB用列举法表示集合 例 1 若集合力=(1,2),(3,4),则集合/中元素的个数是()A.1B.2C.3D.4(2)用列举法表示下列集合.不大于10的非负偶数组成的集合；方程f=x 的所有实数解组成的集合；直 线 尸 2 x+l与 y 轴的交点所组成的集合；_ x+y,方程组 的解.X y=1(D 解析 集合4=(1,2),(3,4)中有两个元素(1,2)和(3,4).答案 B(2)解 因为不大于10是指小于或等于1 0,非负是大于或等于0 的意思，所以不大 于 10的非负偶数集是0,2,4,6,8,101.方程“2=x 的解是k 0 或*=1,所以方程的解组成的集合为0,1.将*=0 代 入 y=2 x+l,得 y=l,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是(0,1).x+y=1,x=0,解 方 程 组 得Zy=1,y=l.用列举法表示方程组 的解集为(0,1).xy=l 类题通法用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来.活学活用已知集合4=-2,1,0,1,2,3 ,对任意a W 4 有 6 6,且 6 中只有4 个元素，求集合解：对任意a e/f,有|a|G 5因为集合/=-2,1,0,1,2,3,由1,2,0,1,2,3W4 知 0,1,2,3G区又因为6 中只有4 个元素，所以 6=0,1,2,3.用描述法表示集合 例2 用 符 号“e”或“填空：/=削*一 户 0 ,则 1_ _A,-1 _ A-.(1,2)(x,_ 0|y=x+l.(2)用描述法表示下列集合：正偶数集；被 3除余2的正整数的集合；平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.(1)解析 将 1 代入方程成立，将一 1 代入方程不成立，故 1 G 4 -1 M 将 x=l,y=2 代 入 尸 x+1 成立，故填w.答案 阵 e(2)解 偶数可用式子x=2 ，表示，但此题要求为正偶数，故限定 eN*,所以正偶数集可表示为 x|x=2 ，P E N*.设被3除余2的数为x,则 x=3+2,W Z,但元素为正整数，故 x=3+2,所以被3除余2的正整数集合可表示为 x|x=3+2,G N .坐标轴上的点(x,力的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即打=0,故坐标轴上的点的集合可表示为(x,y)I 灯=0 .类题通法利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合 xG R xl.故当1 中至多有一个元素时，a 的取值范围为a=0 或(2)在本例条件下，若 4 中至少有一个元素，求 a 的