高中数学竞赛平面几何

平面几何精选(08.1.280)01（原仓=7 1 n/3=,/,n/4=F,/2n/3=G,/2n/4=H,EHDAB=C,FG H A B=D.求证证：若把/i b=0 看作一二次曲线.则 为 其 一 弦，M 为此弦的中点.b、/4为过此中点的两弦.由蝴蝶定理知EH、FG与A B 的交点满足CM=MD.1 1，3G 4H/VE.*FA C M D 8评注：本题巧妙地将问题转化成为曲线系，并与蝴蝶定理相结合，很值得学习.02双 心 四 边 形,外 心 为 外 接 圆 半 径 为 心 内 心 为 尸，内切圆半径为八。/=爪 证 明 岛p +#=%证：如图，分别过K、L、M、N作P K、PL、P M、尸N垂线交于4、B、C、D.：A L C M=SO 0 Z LPM=Z P L M+N P M L=1(Z M L K+Z LM N),N K A N=1(N LK N+Z.K N M).A.B、。、。四点共圆.我们设其半径为p,易 证B、P、。；A,P、C分别三点共线.PC 4 P/.r =PL sin Q=PB sin a si n&=PB 行 言,ZJC ADPC AP=p 2-d2(d为4 B C D的外心记为。与P的距离).又易证C U 8。，造石=胃-延长NP交BC于T,易证T为B C中点(卜拉美古塔定理).QT/PS,QS/PT.gTP S 中,4 O,T2=P S2+O S2-d2=2 p2 d2.又O,N=1 2P 2 为KZMN的外心（即为。）且R=2 ，/?=1 ,1 4p2 2（/?2+/?2）1 1由得尸=（p 2,2）2 =（二 =+（F：A p 评注：1 若要证的结论是一些半径与边长的复杂关系时，应及时引入三角函数及一些特殊的线段比例.2 双心四边形性质繁多而又富深刻.关于O/、/?、r的性质应当熟记，并深刻领会本题的解法.0 3 设。、E、尸分别为NBC的三边8C、C A.4 8 上的点，且 4 D 与 E F垂直相交于O,又 D E、。尸分别平分NZDC,Z.ADB,则。平分N8OC.C E AF B D D C AD B D址：万丽反=万丽反=L由塞瓦定理知BE、A D、CF三线 共 点 业 七 C E B F 工 C E D C B F当即 8 c 时 有 嬴=法.而而=万，丽:D C =BD,所以。为 8 c 中点.而4 D，EF=4D L BC=HBC为等腰三角形.。平分N80C.当E F N B C,不妨设FE 与 8 c 延长线交于G.由梅氏定理（以NBC基本三角形，GEF为截线）有1+，直 万-士 工 田 七 C E AF B D由塞瓦定理有西丽反=1两式合并得筮=怒 在直线8 c 上取一点不同于C 的点8-且N B，O D=N C O D.由NOOG=90。知OG为NBOC的外角平分线.C G =O C =D C=苑=反=而（由）=8 与 8 重合.。平分N 8O C.得证.04 已知/8 C,内心为/,圆 G 与边力 8、8 c 相切，圆 Cz过力、C,且 G 与 Q 外 切 于 点 求 证 N/M C 的平分线过/.证：设 时 在 G 上 且 满 足 的 平 分 线 过/，过 力 作 Q 的切线交4 8 于瓦 交BC于F.设 CJ是4 8 尸的内切圆，且 G与 切 于 ，下 证 =：A Q设 N A f/=x,y =w,NWCI=y,y =v.由角元塞瓦定理得sin sin y sin usin ZIMfC sin v sinx又N/A/7=Z.IMfC sin x sin v=sin y sin u/AME=N4CAf=y+N/CM F=NCAM=x+.EM _ EM AM CM _ sin(一 x)sin(y+y)s i ny+x)FNf AA/CM FM sin(-x +y+y)sin(w+x)sin(vy)EM cot|Z.BEF cos|(iix+v+j)sin 1(yy+w +x)FM cot|ZBFE cos 1(yy+u+x)sin：(u-x+v+y)EM EM c o s 5(ux+v+j/)sin 1(y-y +u+x)FW FM Q cos|(yy+u+x)sin 1(u-x+v+y)2 sin(w x)sin(v+y)sin|(yy+x)cos 1(yy+w +x)2 sin(w+x)sin(v-y)sin|(x+v+y)cos 1(wx+u+y)2 cos _ 7(_x+v+y)_ sin(一 x)sin(v+y)cos2 I(v y+“+x)Sin(u+x)sin(v-y)1 +cos(一 x+y+y)1 +cos(u-y+w +x)cos(y+yu+x)cos(y+一%)cos(w+xy+y)cos(+x+v-y)1 +cos Q-x +y+y)1 +cos(v-y+v+x)1 +cos W+y +x)1 +cos(w+xv+y)cos(一/+y+y)-cos(y-j+x)cos(y+y-+x)cos(+xy+y)2+cos(w-x+y+y)+cos(y-y+w +x)2+cos(v+y-u +x)+cos(w+x-v +y)sin(+y)sin(x-y)sin(x+y)sin(-y)1 +cos(w+v)cos(x y)1 +cos(x+y)cos(wv)=sin(w+v)sin(x-y)sin(x+y)sin(uv)=sin(ii+v)cos(wv)cos(x+_y)sin(xy)+cos(u+v)sin(i/v)sin(x+y)cos(x-y)2(cos u sin v sin x cos sin u cos v cos x sin y)=；(sin 2M sin 2sin 2v sin 2x)u(cos u cos y+cos v cos x)(sin v sin%sin u sin y)=0.由式知上式成立，由同一法易得A/=AT=M.N/M C平分线过/,得证.评注：这是一道很难的几何题，儿何证法不好想，通过角元塞瓦进行三角计算得出结论，注意计算的步骤.05 ZX/BC和尸0只满足如下条件:/和 P 分别是线段0?和BC的中点，QR和BC是N 8/C和NQPR的内角平分线.求VAB+AC=PQ+PR.证：设X为线段3C、P 0中垂线的交点，0、R是Q、R关于直线X P的对称点，B C是8、C关于直线X Z的对称点.N0PB=NQPC=N R P C nQ、P、R 三点共线.同理。、P、R；B 4、C；B、A.C分别三点共线.又 XR=XRXQ=XQ,XR=XQ=X%Q、Q R、W共圆的圆心.同理X为8、B、C、C共圆的圆心.设 y 点是 XP 与 0?的交点，BY=YC,ZBAY=ZCAY,：.B、A、C、y共圆，ZRPQ=/尸。+/尸。0 =2/尸。=ARXQ.P、X、R、0共圆.同理X、A,C、5共圆.X、4、C、B、丫 五点共圆，Z.XCY=ZX4T=90=ZXPC.r c2=yp YX=TR YQ=YX2-XR2.又 YC2=YX2-X C2=XR=XC.：.B、B C、C、R、RJ Q、0共圆，圆心为y,YB、F C为该圆的切线./.|ZBXC=NYBC=Z%4=9 0 -|ZQrYQ=NYQ 0=|ZQXR.：.4 B X C 9丛QXK n BC=QK.又 BC=AB+AC=AB+AC,QR=QP+PR=PQ+PR.AB+AC=PQ+P R,命题得证.评注：此题看似不易下手，关键在于由内角平分到外角平分的过渡，一旦看到点X的好性质，问题便迎刃而解了.0 6已知0为以4 8为直径的圆上的一点，。#/,8,。在Z 8上的投影为，以0为圆心，。，为半径的圆与以为直径的圆交于点C、。.证明CD平分线段QH.证：设PCD和 交 点，倍长，尸到S,设。是4 8中点.下证：SH SO=SA SB：?D：PA PB=PC PD=PH2,1Z.SH SO=SH SA+SB)=PHPA+PH+PB+PH)s p A H=PA-PH+PB PH+2PH 上：.SA SB=(B4+PH)(PB+PH)=PA PB+PA PH+PB PH+PH2=2/7/2+PH-P4+PH-PB=SH SO.设 S。是。切线,0W LA B =H,贝ISQ 2=SA SB=SFr SO=SH SO.：.SH=S H n H =H：Q =Q.设A/=”nCZ),QC=QD：.QOVCD.HM HP 1又 SQA.QO=SQ/CD,7777=777=5./C z 0/7 乙：.M是”。中点，得证.评注：本题解法十分神妙，但较不自然,更自然的想法是利用C。为两圆根轴导出结果，可以一步到位.0 7 凸四边形/B C D 的外接圆圆心为O,已知4C#B D,且力C 与 8。交于E.若 P 为 4 B C D内部一点，且NR1B+ZPC B=N P B C+ZPZ）C=9 0 .求证。、P、E 三点共线.证：引理：圆。内有一点K,小B|、A a、4法3、是过K 的圆O 的弦.若小4 交 4 4 于 阳，B i B?交 B 3 B 4 于 N,则K、用、N 三点共线.引理的证明：在圆。所在的实射影平面内考虑这样一个射影变换，它把圆。变为圆，把 K 变为圆心，K 的像记为K）,等等.则由圆K的对称性，4 为 与B i B/关于K（中心）对称，43%与 当为 关于K（中心）对称.故”与 V 关于K（中心）对称，从而K、M三点共线.由射影变换性质知原来K、M,N 三点共线，引理得证.c.下面回到的题:延长/尸、B P、C P、。尸分别交0。于/、B、C D.DB连B D,再连才8、BC,则Z ArC B +N C AB=AAAB+ZC/C5=90.：.Z AB C =9 G ,为直径.同理8。为直径.由于/不与8、。重合.故 不 与*、ZT重合，H C 不与87y重合.故它们交于圆心O.在引理中令K=P，小=/,Z 2=C,8|=8,&=。即知。、P、E 三点共线.证毕.0 8设。Oi与。2相交于/、8两点，过交点任作一条割线分别与两圆交于P、Q,两圆在P、0处的切线交于R,直线5R交。28的外接圆于另一点S.求证RS等于0028的外接圆的直径.证：连结 BP、町、。6、80、。2 0、AB.R不妨设NR18不是钝角(由尸、。的对称性)，则此时N8/Q不是锐角.从 而 与S关于BP的同侧，。2与S在关于BQ的异侧.我们有尸。1 =Q 3,0。2 =。2氏 又 N P O|B =2/以8 =2(1 8 0/。4 8)=ZQ O2B.APOIBSA Q O#,注意这是两个等腰三角形./7 4设N 0 i P 8=/O i B P=ZO2QB =N O B Q=a,则由于 NP8Q=/。由。2 +4 PB O N Q B O 2=NO/O2 及需=版(V ZP。18sQGB).A P B Q s 0 B O1.设R、厂分别为 P B Q、。d。2的外接圆半径，则善栽=2 c o s a.注意到N B P R+N B Q R=NgPR+Z B P A B C,c c c _ 1 c S&AFP SXPBD S&PCE _ 1nx OPAF+3 尸8。+CE-乙 灰、c+c-c 一 、A B C 4 ABe ABC 乙_ ab(a+ab)_ _bc(b+be)_ _ ca(c+ca)_ J _=(1 +a)(l+6)(1+a+ab)+(1+/)(1+c)(l+b+be)+(1+c)(l+a)(l+c+ca)2ab(a+ab)_ b(l+ab)_ _ a(l+a)_=1 夕代入、(1+Q)(1+6)(1+Q+ab)(1+6)(1+ab)(1 +ab)(1+tz)(1 +ab)(1 +a+ab)2 )0 a,b 3a 2 b 3a 3 6+Q 2 +b1 =0(展开，实际上去分母不是太困难)=(。一1 )(b 1 )(ab l)(ab+a+1)=0u(1 6t)(1 Z)(1 c)(ab+4+1)=0UQ,6,C中至少有一个为1 (M +a+l 0)=P至少位于/8 C的一条中线