聚集是高中数学中最原始的不定义的概念

)k一、i.k-练今爆艮艮Kr701有无空第一章集合 定义集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。二集合的抽象表示形式用大写字母A,B,C 表示集合；用小写字母a,b,c 表示元素。三元素与集合的关系有属于，不属于关系两种。元素a 属于集合A,记作ae A；元素a 不属于集合A,记作ae A。四几种集合的命名含有有限个元素的集合；含有无限个元素的集合；不包含任何元素的集合叫做空集，用0表示；自然数集：N；正整数集：N*或 N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R。五集合的表示方法（一）列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，例如：a,b,c o注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。（-）描述法：有以下两种描述方式1 .代号描述：【例】方程x 2-3 x+2=0 的所有解组成的集合，可表示为X|X2-3X+2=0。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。2 .文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】大于2小于5的整数;描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。厂-、（三）韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。（B1 .子集：如果属于A的所有元素都属于B,那么A就叫做B的子集，记作：AcB,如 图 1-1 所示。图.子集有两种极限情况：（1）当 A成为空集时，A仍为B的子集；（2）当A和 B相等时，A仍为B的子集。真子集：如果所有属于A的元素都属于B,而且B中至少有一个元素不属于A,那么A叫做B的真子集，记作/0 8或/u 8。真子集也是子集，和子集的区别之处在于AWB。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。（1）求子集或真子集的个数，由 n各元素组成的集合，有 2 n 个子集，有 21 1/个 真 子 集；（2）空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，A=B的等价形式主要有：A f l B =A,AUB=B o2 .交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作AAB,读作A交 B,如 图 1-2所示。图 1-2 图 1-3 图 1-43 .并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作AUB,读 作 A并 B,如 图 1-3所示。4 .补集：由所有不属于A的元素组成的集合，叫做A在全集U中的补集，记作C（j A,读作A补，如 图 1-4所示。德摩根公式：Q,8）=Cb,A U CVB-J（，U 8）=Cb.A Q CVB.（四）区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】（2,3）,2,3 ,（2,3 ,2,3 1.第二章函数一映射与函数的基本概念(一)映 射A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯的元素和它对应，这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。图2-1是映射图2-2是一一映射(I )求映射(或一一映射)的个数，m个元素的集合到n个元素的集合的映射的个数是暧。(I I)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。(二)函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。如 图2-4。高中阶段，函数用出x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数值为f(x).函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集合。值 域B：y取值范围组成的集合。对 应 法 则f：y与x的 对 应 关 系。有 解 析 式 和 图 像 和 映 射 三 种 表 示 形 式函数与普通映射的区别在于：(1)两个集合必须是数集；(2)不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到相应的自变量x与其对应。二 定 义 域 题 型()具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式直接考查：主要考解不等式。利用：在而中/(x)20；在因区中，/(%)/0；在l o g,J(x)中,./(X)/(%)0；在 t a n/(x)中，手 k兀 +在/(x)中，/(x)w O；在/与 l o g“x 中。0 且a W 1,列不等式求解。(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。三值域题型(-)常规函数求值域：画图像，定区间，截段。常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。(二)非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3)画图像，定区间，截段。(三)分式函数求值域：四种题型cx+d c(i)y =-r(a w ):则歹/一且yeR。ax+b ae x +d(2)y =-(x 2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用X的范围解不等式求y的范围。ax+bv=2x?+3x-26x2 一工一11.(2x-l)(3x+l)3x+l 21 口 ，则yW且 y W 1 且y e R 2 x-1(4)求 y =F-7 的值域，当xe&时，用判别式法求值域。x+x+l2 x-l,y=-y x-+(y-2)x +y +l =0,=(y _ 2)2_ 4 y(y +l)2 0 n 值域X I X I J L(四)不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。(五)原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。(六)己知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。四函数运算法则(-)指数运算法则屋-a=a*ambm=(ab)m运用指数运算法则，一般从右往左变形。(-)对数运算法则同底公式：。砥 b=b log。M +log“N =log 0(M N)M log“M -log“N=loga loga Mn=n log M运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。log N Y l I不同底公式：log“N=：log“b”=log,*log,/=；-log,a m logA a运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。五 函 数 解 析 式()换元法：如 f(2x +3)=x 2+3 x +5,求 f(3-7x),(设 2x +3=3-7t)。f(X+3=+；(二)构造法：如 X X-,求 f(x)。(三)待定系数法：通过图像求出y=A s i n(ox+9)+C中系数(四)递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。(五)求原函数的反函数：先反表示，再 x、y互换。六常规函数的图像常规函数图像主要有:指数函数：逆时针旋转,底数越来越大对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幕函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。七函数的单调性(-)定义：在给定区间范围内，如果x越大y越大，那么原函数为增函数；如果X越 大 y越小，那么原函数为减函数。(二)单调性题型：1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。1复合函数法：/：当 O x l 时，x T，x2t，-x2j,J J,1 C，j 1,2 .判断单调性(1).求导函数：/(x)NO为增函数，/(x)WO为减函数(2).利用定义：设 X F X V X 2，比较3)与 f(X 2)大小，把/(%)/仇)因式分解，看正负。(3).原反函数：具有相同的单调性，-个函数具有反函数的前提条件是它具有严格的单调性。3 .利用函数单调性：(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。(2).比较函数值的大小：画图看(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。增函数 X =f(x)/(工2)或./(占)/(X 2)nX x2减函数X%=/(占)/(X 2)=X 两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。3 .奇偶函数图像的对称性偶函数：关于y轴对称n若/(a +x)=/(b-x),则 K x)关于x =审 对 称奇函数:关于原点对称n若/(a +x)+/(b x)=2 a,则 f(x)关 于 点(等，m)对称九函数的周期性(-)定义：若/(x +T)=/(x),则/(x)为周期函数，T 为/(x)周期(二)周期性考点：1.求周期：(1).利用f(x尸f(T+x)列出方程解出T=2乃(2).把所给函数化为y=Asin(ox+4)+C 标准形式，直接读出周期T=C D2.利用周期性：利用公式ftx)=f(T+x)(1).求解析式(2).求函数值十函数图像的对称性(-)一个图关于点对称：-(I(II)奇若 函f(a数+x关)于+f原(b点-x对)=称2m,则 f(x)关于(辞，m)对称(二)一个图关于直线对称：(I)偶函数关于y 轴对称 (II)/(+X)=/(b-X),则/(x)关于 x=对称(三)两个图关于点对称-(I)y =/(x)关于原点对称的函数:X T-X,y y,v BP-y=f(-x)、(n)_y=/(x)关于(a,6)对称的函数：x 2a x,y-2h y B|12h y=f(2a x)(四)两个图关于线对称(I)原函数与反函数：关于尸x 对称(II)y=f(x)关于y=x+c对称的函数:x y-c,y-x+c,即 x+c=f(y-c)(III)y=f(x)关于y=-x+c对称的函数：x-y+c,y-x+c,f(a+x)与 f(b-x)关于x=-一 对称2I (V)f(x)与-f(x)关于x轴对称十 一 原 函数与反函数反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关系解题。(一)求 反 函 数：先反表示，再 互 换；或先x,歹互换再反表示。一个函数有反函数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。(-)利用原函数反函数的关系解题：己知原函数或反函数情况求反函数或原函数情况时，往往不用求反函数可依据以下结论解题。1.定义域、值域：原函数自变量等价于反函数函数值，原函数函数值等价于反函数自变量；原函数定义域等价于反函数值域，原函数值域等价于反函数定义域。2.单调性：原函数与反函数具有相同的单调性3.奇偶性：奇函数反函数是奇函数，偶函数没有反函数。4.对称性：原函数与反函数图像关于y=x 对称，原函数与反函数交点一定在y=x 上。第三章立体几何平行关系（-）线线平行（图3-1）1 .如果两条线都平行于第三条线，那么这两条线相互平行.2.如果一条线平行于另一个平面，那么这条线就平行于过这条线的平面与已知平面的交线.图3-13 .如果两个平面平行，那么另个平面与这两个平面的交线互相平行.4 .如果两条直线都和另一个平面垂直，那么这两条直线平行.5 .在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.（-）线面平行（图3-2）1.如 果 平 面 外 条 直 线 平 行 于 平 面 内 的 条 直 线，那 么 直 线 与 平 面 平 行.图 3-2 2 .如果两个平面平行，一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面3 .如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一条直线，那么线面平行4 .如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一个平面，那么线面平行（三）面面平行（图3-3）1.如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么面面平行2.如果两个平面都平行于第三个平面，那么这两个平面平行图3-33.如果两个平面同时垂直于同一条直线，那么这两个平面平行二垂直关系大部分都是通过垂直证垂直；不能证明的时候，平移到另个位置