福州市小升初数学奥数题型大全讲义

小升初奥数专题讲座（共二十四讲）第一讲 行程问题.-1-1.1 追及与相遇.-1 -1.2 环形路上的行程问题.-7-1.3 稍复杂的问题.-12-1.4 流水行程.-17-第 二 讲 和、差与倍数的应用题.-19-2.1 和差问题.-19-2.2倍数问题.-22-2.3 盈不足问题.-26-第三讲 数论的方法技巧之一.-30-3.1 利用整数的各种表示法.-31-3.2 枚举法.-33-3.3 归纳法.-35-第四讲 数论的方法技巧之二.-38-4.1 反证法.-38-4.2 构造法.-39-4.3 配对法.-40-4.4 估计法.-42-第五讲 整数问题之一.-44-5.1 整除.-44-5.2 分解质因数.-49-5.3 余数.-54-第 六 讲 图 形 面 积.-61-6.1 三角形的面积.-61-6.2 有关正方形的问题.-65-6.3 其他的面积.-69-6.4 几种常见模型.-72-第七讲 工程问题.-75-7.1 两个人的问题.-76-7.2 多人的工程问题.-80-7.3 水管问题.-84-第八讲 比和比例关系.-90-8.1 比和比的分配.-90-8.2 比的变化.-96-8.3 比例的其他问题.-100-第 九 讲 经 济 问 题.-107-第十讲 溶液问题.-112-第十一讲简单几何体的表面积与体积的计算.-117-11.1四种常见几何体的平面展开图.-117-1 1.2 四种常见几何体表面积与体积公式.-118-11.3 例题选讲.-119-第十二讲循环小数化分数.-126-12.1纯循环小数化分数.-126-1 2.2混循环小数化分数.-127-1 2.3循环小数的四则运算.-128-第十三讲估计与估算.-130-第十四讲列方程解应用题.-137-14.1 列简易方程解应用题.-137-1 4.2引入参数列方程解应用题.-141-14.3 列不定方程解应用题.-143-第十五讲巧算技巧.-146-第十六讲鸡兔同笼与假设法.-148-第十七讲牛吃草问题.-152-第十八讲 年龄问题.-161-第 十 九 讲 剩 余、余数定理.-166-第二十讲周期问题.-173-第二十讲 还原问题.-191-第二十一讲盈亏问题.-196-第二十二讲抽屉问题.-214-22.1 抽屉原理1.-214-22.2 抽屉原理2.-217-第二十三讲 分数拆分.-220-23.1 拆成两个分数单位.-220-23.2 拆成几个分数的和.-222-2 3.3 拆成两个分数差.-223-23.4 应用.-226-第二十四讲找次品、打电话.-231-24.1 找次品.-231-24.2 打电话.-231-第 一 讲 行 程 问 题走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内（例 如 1 小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度义时间很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量X人数.工作量=工作效率X 时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.这一讲，用 5 千米/小时表示速度是每小时5 千米，用 3 米/秒表示速度是每秒3 米1.1 追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离=甲的速度X时间-乙的速度X时间=（甲的速度-乙的速度）X 时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例1小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了 9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时;因此所用时间=9+6=1.5（小时）.小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是9+兽=54（千米/小时）60面包车速度是54-6=48（千米/小时）.城门离学校的距离是48X1.5=72（千米）.答：学校到城门的距离是72千米.例2小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是50 X104-（75-50）=20（分钟）因此，小张走的距离是75X 20=1500（米）.答：从家到公园的距离是1500米.还有一种不少人采用的方法.解二：小张加快速度后，每走冰，可 节 约 时 间 昼）分钟，因此家到公园的距离是1 0+=1 5 0 0 （米）.一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如 果 速 度 是35千米/小时，要40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？解一：自行车1小时走了30X 1-已超前距离,自行车40分钟走了35 x 黑已超前距离,60自行车多走2 0分钟，走了4030-35X .60因此，自行车的速度是（30-35X 而）-70=（3 0 y）X3=90-70=20（千米/小时）.2060答：自行车速度是20千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离+速度差1小时与40分钟是3:2.所以两者的速度差之比是2:3.请看下面示意图:自行车速度I-1速度35千米/小时卜-3速度30千米/小时卜-雪雪5 2马上可看出前一速度差是15.自行车速度是35-15=20（千米/小时）.解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例4上 午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？解：画一张简单的示意图：4 千 米 一、.-4-千 米家 U-%-3I-小明-爸爸图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4=4（千米）.而爸爸骑的距离是4+8=12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12+4=3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8 千米，爸爸可以骑行8X3=24（千米）.但事实上，爸爸少用了 8 分钟，骑行了4+12=16（千米）.少骑行24-16=8（千米）.摩托车的速度是1 千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.8+8+16=32.答：这时是8 点 32分.下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么甲走的距离+乙走的距离=甲的速度X 时间+乙的速度X时间=（甲的速度+乙的速度）X 时间.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.例 5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的36+12=3（倍）,因此自行车的速度是步行速度的3 倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3 倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4 段，小王走了 3 段，小张走了 1 段，小张花费的时间是364-(3+1)=9(分 钟).答：两人在9 分钟后相遇.例 6小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1 千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.解：画一张示意图1千米I-1甲 中 A 乙点离中点1 千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1 千米，小王走了两地距离的一半少1 千米.从出发到相遇，小张比小王多走了 2千米小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2 4-（5-4）=2 （小时）.因此，甲、乙两地的距离是（5+4）X2 =1 8 （千米）.本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就 是“相遇”，“两人一前一后”就 是“追及”.请再看一个例子.例 7甲、乙两车分别从A,B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5 千米，且两车还从A,B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C点 1 2 千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A,B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点 1 6 千米.求A,B两地距离.解：先画一张行程示意图如下12 16I-L-1A D C E B设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5 千米，因此，不论在 D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.下面的考虑重点转向速度差.在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只 能 到 D点.这两点距离是1 2+1 6 2 8 （千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在 I）点（或 E点）相遇所用时间是2 8+5=5.6 （小时）.比C点相遇少用6-5.6=0.4 （小时）.甲到达D,和到达C点速度是一样的，少用0.4 小时，少 走 1 2 千米，因此甲的速度是1 2 4-0.4=3 0 （千米/小时）.同样道理，乙的速度是1 6 4-0.4=4 0 （千米/小时）.A到 B 距 离 是（3 0+4 0）X 6=4 2 0 （千米）.答：A,B 两地距离是4 2 0 千米.很明显，例 7 不能简单地说成是“相遇问题”.例 8如图，从 A到 B是 1 千米下坡路，从 B到 C是 3 千米平路，从 C到 D是 2.5 千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4 千米/小时，上坡速度都是2 千米/小时.问：（1）小张和小王分别从A,D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？解：（1）小 张 从 A至 lj B需 要 1 +6 X 6 0=1 0 （分钟）：小 王 从 D至 C也是下坡，需要 2.5+6 X6 0=2 5 （分钟）；当小王到达C点时，小张已在平路上走了 2 5-1 0=1 5 （分钟），走了4 X得=1 （千米）.O U因此在B与 C之间平路上留下3-1=2 （千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是2 +（4+4）X 6 0=1 5 （分钟）.从出发到相遇的时间是2 5+1 5=4 0 （分钟）.（2）相遇后，小王再走3 0 分钟平路，到达B点，从 B点 到 A点需要走1+2 X6 0=3 0分钟，即他再走6 0 分钟到达终点.小张走1 5 分钟平路到达D