专题03函数概念与基本初等函数

函数概念与基本初等函数考纲导读1.了解构成函数的要素，了解映射的概念，会求一些简单函数的定义域和值域.2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3.了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。4.理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。5.理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6.会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1.了解指数函数模型的实际背景。2.理解有理指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握哥的运算。3.理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。4.知道指数函数是类重要的函数模型。（三）对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2.理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数与对数函数互为反函数（）。（四）塞函数1.了解幕函数的概念。2.结合函数的图像，了解它们的变化情况。（五）函数与方程1.了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数以及幕函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。3.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。知识网络定 义 域 一 区 间元二次函数定义对应法则一元二次不等式值域映射指数函数根 式 一 分 数 指 数J 指数函数的图像和性质一指数方程对数方程函数奇偶性性质单调性对数的性质周期性积、商、塞与根的对数反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质高考导航根据考试大纲的要求，结合2010年高考的命题情况，我们可以预测2011年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.第1课时 函数及其表示基础过关一、吹加1.映射：设 A、B是两个集合，如果按照某种对应关系对于集合A中的 元素，在集合B 中都有元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作.2.象与原象：如果f A-B 是一个A到 B 的映射，那么和A中的元素a 对应的 叫做象，叫做原象。二、函数1.定义：设 A、B是,f A fB 是从A到 B 的一个映射，则映射F:AfB叫做A到 B的,记作.2.函数的三要素为、，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。3.函 数 的 表 示 法 有、。典型例题例 1.下列各组函数中，表示同一函数的是().A.y =1,y =V B.y=J x-1 1,y=A/J C2-1xC.y=x,y=x D.y =|x|,y =(V x)2解：C变式训练L 下列函数中，与函数尸x 相同的函数是()A.y=B.y=(V x )2 C.y=l g l Ox D.y=2,o g 2 Xx解：c例 2.给出下列两个条件：(1)f(4+l)=x+2 4 ;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4 x+2.试分别求出f(x)的解析式.解：令 廿 4+1,x=(t-1)2.则 f (t)=(t-l)2+2(t l)=t 2 l,即 f (x)=x 2 l,x 1,+8).(2)设 f (x)=a x,b x+c (a W O),f (x+2)=a (x+2)2+b (x+2)+c,则 f (x+2)-f (x)=4 a x+4 a+2 b=4 x+2.尸”-4 ,工卜 一 1 ,又 f (0)=3 =c=3,f (x)=X2-X+3.4a+2b=2/?=1变式训练2：已 知 f d +1)=i g x,求 f(X)；X(2)已知 f (x)是一次函数，且满足 3 f (x+1)-2 f (x-1)=2 x+1 7,求 f (x)；(3)已知 f (x)满足 2 f (x)+f ()=3 x,求 f (x).X解：(D 令2+1 =t,则 x=3，A f (t)=l g-,A f (x)=l g ,x (1,+8).t-1 x-1(2)设 f (x)=a x+b,则3 f (x+1)-2 f (x-1)=3 a x+3 a+3 b-2 a x+2 a-2 b=a x+b+5 a=2 x+1 7,.a=2,b=7,故 f (x)=2 x+7.(3)2 f (x)+f ()=3 x,x把中的X 换成_ L ,得 2 f ()+f (x)=3 X X X X2-得 3 f (x)=6 x-,f (x)=2 x-.X X例 3.等腰梯形A B C D 的两底分别为A D=2 a,B C=a,N B A D=4 5 ,作直线M N L A D 交 A D 于 M,交折线A B C D 于 N,记A M=x,试将梯形A B C D 位于直线M N 左侧的面积y 表示为x的函数,解:作 B H J _ A D,H为垂足,C G A D,G为垂足,依题意，则有蝴=q，A G=-a.22并写出函数的定义域.(1)当 M 位于点H的左侧时，N W A B,由于 A M=x,Z B A D=4 5 ./.M N=x./.Y=SA A M N=-X2(O X ).22(2)当 M 位于 H G 之间时，由于 A M 二 x,A M N=-,B N=x-.2 2Ay=S Ara 41 CX+(x-三)=：a x-?g x a).(3)当 M 位于点G的右侧时，由于A M=x,M N=M D=2 a-x.y=S A B C D-SA M D N=y-y (2 t z+a)(a XY=y(4 *-+J)=-J+x 0,x =0,x 0,x=0,x /x +1 工0|x|-x 0?即 故 函 数 的 定 义 域 为 x x0且x -l .x 0(2)山 题 意 可 得 解 得X*6-45X 0 x 0,得一3 c x 04 x +3 H 1,得 0-5 x 52k7T-2k7T+/(女 Z)借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为(三,5例2.设函数y=f(x)的定义域为 0,1,求下列函数的定义域.(1)y=f(3x);(2)y=f(-);(3)y=f(x+1)+J (4)y=f(x+a)+f(x-a).解：0W3xWl,故 OWxW，y=f(3x)的定义域为0,.3 3(2)仿(1)解得定义 域 为 1,+8).(3)由条件，y 的定义域是f(x+；)与(x-g)定义域的交集.列出不等式组Ox+-J-13 nOx-132 x 3 31X4，x-x+1 2 4 4/.0)x+y=O.x-x+Vy=l 时,xw0,.)，wL 又Y x e R,必须=(l-y)2 4y(y-l)N 0.十”1.卢 1,函 数 的 值 域 为 卜 京).(2)方法一(单调性法)定义域卜|xw共，函数y二 x,y=-V I K 均 在 oo,g上递增,2,函数的值域为(-cog.方法二(换元法)令 Jl-2x=3 则 t 2 0,且 x=L.2.,.y(-8,1./.y=-(t+1)(t 2 0),22(3)由 y=|胃得,e=f!Vex 0,即 3 0,解得一l y l.1-y函数的值域为y|T y 0,令 x=sina,贝lj有 y=|sin a cos a=-|sin2 a|,2故函数值域为 0,-.2方法二 y=|x|VT77=J_ +/斗(_ 夕 +方.0WyW4即函数的值域为0.22例4.若函数f 3二1-x+a的定义域和值域均为 1,b(b l),求a、b的值.解：V f(x)=-(x-l)2+a-.2 2其对称轴为x=l,即 1,b为f (x)的单调递增区间.A f(X)min=f(1)=a-=l 2f (x)皿=f (b)=b2-b+a=b 2_ 3由解得 5 b=3.变式训练4：已知函数f (x)=x-4ax+2a+6(xR).(1)求函数的值域为 0,+8)时的。的值；(2)若函数的值均为非负值,求函数f(a)=2-函a+3的值域.解：(1),函数的值域为 0,+8),A =16a2-4(2a+6)=0=2a2-a-3=0/.a=-l 或 a=3.2 对 一 切 x GR,函数值均非负，.=8(2 a 2 e 3)W n T W a W%，a+3。,f(a)=2_a(a+3)=_a_3 a+2=_(a+)+(a s-1,).2 4 L 2.,二次函数 f(a)在-1,-上单调递减，.f (a)m i n=f(-|)=-,f (a)x f(-1)=4,.1)的值域为-3,4.4小结归纳1 .求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式(如例1),应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给H I 解 析 式(如 例 2),就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域：三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2.求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法(如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法)外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.第3课时 函数的单调性基础过关一、单调性1 .定义：如果函数产=/(入)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值几、生，当 见 及时,都有，则 称 f(X)在这个区间上是增函数，而 这 个 区 间 称 函 数 的 一 个 ；都有,则称/(X)在这个区间上是减函数，而 这 个 区 间 称 函 数 的 一 个.若函数/(X)在整个定义域1内只有唯一的一个单调区间，则 f(x)称为.2.判断单调性的方法：(1)定义法，其步骤为：;.(2)导数法，若 函 数 尸/(x)在定义域内的某个区间上可导，若,则/(在这个区间上是增函数；若，则 f (x)在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论1 .若 f (x),g(x)均为增(减)函数，则/(x)+g(x)函数；2.若/1(才)为增。咸)函数，则一F(x)为；3 .互为反函数的两个函数有 的单调性；4 .复合函数尸/g(x)是定义在M 上的函数，若 f (x)与 g(x)的单调相同，则/g(x)为,若 f (x),g 5)的单调性相反，则f g(x)为.5 .奇 函 数 在 其 对 称 区 间 上 的 单 调 性,偶 函 数 在 其 对 称 区 间 上 的 单 调 性.典型例题例 1.已知函数f(x)=a、+主 心(a l),证 明:函 数 f(x)在(-1,+8)上为增函数.X+1证明 方法一 任 取 Xi,X20(T,+8),不妨设X1 0,优 1且 a 0,。“一 一1)0 ,X V x i+l 0,x2+l 0,.-2 _.-2 _(苍 2)(%+D -(2)(苍 +1)_ 3(-斗)Q工 +1