第10讲：新概念型问题探究

专题三：新概念型问题探究中考专题诠释所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念 型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力.解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.中考考点精讲考点一匚规律题型中的新概念伤!11.（2012永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如 1,3,9,19,3 3,就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差.如2,4,6,8,10就是一个等差数列，它的公差为2.如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列.例如数 列 1,3,9,19,3 3,，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2,6,10,14,这是一个公差为4 的等差数列，所以，数 列 1,3,9,19,3 3,是一个二阶等差数列.那么，请问二阶等差数 列 1,3,7,1 3,的第五个数应是.点评：本题考查了数字变化规律类问题.关键是确定二阶等差数列的公差为2.对应训练：（2012 我）若*是不等于1的实数，我 们 把 一称为x 的差倒数，如2 的差倒数是 一=-1,1 x1 2-1的差倒数为 一1=L现已知X1=-L x?是 XI的差倒数，X3是 X2的差倒数，X4是 X3的差倒数，,1-（-1）2 3依次类推，贝 I X2012=考点二：运算题型中的新概念例2.（2 0 1 2 荷泽）将 4 个数a,b,c,d 排 成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成a hc da b x+1 x=a d-b c,上述记号就叫做2阶行列式.若=8,则乂=.c d-x x+1,概念点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键.对应训练：若（x i,y i）（X 2,y 2）=x i x2+y i y 2,则（4,5）（6,8）;.考点三:探索题型中的新概念例3.（2 0 1 2 南京）如图，A、B是。上的两个定点，P是。0上的动点（P不与A、B 重合）、我们称/A P B 是。上关于点A、B的滑动角.（1）已知N A P B 是。上关于点A、B的滑动角，若A B 是。的直径，则/APB=；若。0的半径是1,A B=、历，求N A P B 的度数；（2）已知（X是。0 外一点，以5为圆心作一个圆与。相交于A、B两点，N A P B 是。C h 上关于点A、B的滑动角，直线P A、P B 分别交。于 M、N （点 M与点A、点 N与点B 均不重合），连接A N,试探索N A P B与/M A N、N A N B 之间的数量关系.P,_ _ _ _ _、OB点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用.对应训练：(2012陕西)如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a加)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形(1)“抛物线三角形”一定是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 三角形；(2)若抛物线y=-x?+bx(b 0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；(3)如图，AOAB是抛物线y=-x2+b，x(b(0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在，求出过0、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.考遍四二开放题型史的新概念例4.(2 01 2北京)在平面直角坐标系x O y中，对于任意两点P i(x i，y i)与P 2 (x2,y2)的“非常距离“，给出如下概念：若l xX 2闫y i.l，则点P,与点P2的“非常距离”为l xX 2 l；若I x f l V I y i M，则点P i与点P 2的“非常距离”为历伙1.例如：点P i(1,2),点P 2 (3,5),因为I 1-3I V I 2-5 I,所以点P i与点P 2的“非常距离”为1 2-5 1=3,也就是图1中线段PQ与线段P 2 Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线RQ与垂直于x轴的直线P 2 Q交点.(1)已知点A(-；,0),B为y轴上的一个动点，若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标；直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；3(2)已知C是直线y=x+3上的一个动点，4如图2,点D的坐标是(0,1),求 点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；如图3,E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及点评：本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件.本题中的“非常距离”的概念是正确解题的关键.对应训练：(2012分州)请你规定一种适合任意非零实数a,b 的新运算“ab”，使得下列算式成立：7 41 2=2 1=3,(-3)(-4)=(-4)(-3)=-,(-3)5=5(-3)=-,.6 15你规定的新运算ab=(用 a,b 的一个代数式表示).考点五：阅读材料题型中的新概念 9(15.(2012常州)平面上有两条直线AB、CD相交于点O,且/BOD=150。(如图)，现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：(1)点 O 的“距离坐标”为(0,0)；(2)在直线CD 上，且到直线A B的距离为p(p 0)的点的“距离坐标”为(p,0)；注I线 A B 上，且到直线CD 的距离为q(q 0)的点的“距离坐标”为(0,q)；(3)到直线AB、CD 的距离分别为p,q(p0,q 0)的点的“距离坐标”为(p,q).设 M 为此平面上的点，其“距离坐标”为(ni,n),根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：(1)画出图形(保留画图痕迹)：满足m=l,且 n=0的点M 的集合；满足m=n的点M 的集合；(2)若点M 在过点O 且与直线CD垂直的直线1上，求 m 与 n 所满足的关系式.(说明：图中01长为一个单位长)备用图点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含 30度角的直角三角形的应用，主要考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.对应训练：（2012钦州）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x,y）,若规定以下两种变换：f(x,y)=(y,x).如 f(2,3)=(3,2)；g(x,y)=(-x,-y),如 g(2,3)=(-2,-3).按照以上变换有：f(g(2,3)=f(-2,-3)=(3,2),那 么 g(f(6,7)等 于()A.(7,6)B.(7,-6)C.(-7,6)D.(-7,-6)中考真题训练1、(2012六盘水)概念：f(a,b)=(b,a),g(m,n)(-m,-n).例如 f(2,3)=(3,2),g(-1,-4)=(1,4).则观f(5,6)等 于()A.(-6,5)B.(-5,-6)C.(6,-5)D.(-5,6)2、（2012丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围城三角形，其棵数3,6,9,1 2,.称为三角形数.类似地，图 2 中的4,8,12,1 6,称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形OOOOoO2oO1OOOOA.2010 B.2012 C.2014 D.20163、（2012常德）规定用符号血 表示一个实数m的整数部分，例如：2 =0,3.10=3.按此规定 伍+13的值为.4、（2011安徽蚌埠）若 x 表示不超过x 的最大整数（如 =3,-2 1 =3 等，则1 1 1 1 12-71x2 J 3-V2x3 2012-72011x20125、（2 0 1 2 自贡）如图，AABC是正三角形，曲线C D E F 叫做正三角形的渐开线，其中弧C D、弧 D E、弧 E F 的圆心依次是A、B、C,如果A B=1,那么曲线C D E F 的长是6、（2 0 1 2 泉州）在A ABC中,P 是 AB上的动点（P 异于A、B）,过 点 P 的直线截A A B C,使截得的三角形与A A B C 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的 ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）.（1）如图，ZA=9 0,Z B=Z C,当 B P=2 PA 时，P 5）、P（12）都是过点P 的A A B C 的相似线（其中 h_ L B C,b A C）,此外，还有条;(2)如图，ZC=9 0 BPZB=3 0 ,当 一BA时，P（lx）截得的三角形面积为4ABC面积的工.4图7、（2 0 1 2 铜仁地区）如图,概念:图在直角三角形ABC中，锐角a的邻边与对边的比叫做角a的余切,1好+H n 角的邻边记作 c t a n a,即 c t a n a=-角的对边AT,根据上述角的余切概念，解下列问题:BC(1)c t a n 3 0=3（2）如图，已知t a n A=,其中N A为锐角，试求c t a n A 的值.48、(2 0 1 2台州)概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线 段P Q长度的最小值叫做线段a与线段b的距离.已知O(0,0),A (4,0),B (m,n),C (m+4,n)是平面直角坐标系中四点.(1)根据上述概念，当m=2,n=2时，如 图1,线段B C与线段O A的距离是；当m=5,n=2时，如图2,线 段B C与线段O A的距离(即线段A B长)为；(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上，线段B C与线段O A的距离记为d,求d关于m的函数解析式.(3)当m的值变化时，动线段B C与线段O A的距离始终为2,线段B C的中点为M,求出点M随线段B C运动所围成的封闭图形的周长；点D的坐标 为(0,2),m 0,n 0,作MN Lx轴，垂足为H,是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与A A O D相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.图2图3图1