高考数学历年真题专题分类汇编《《6年高考4年模拟》第六章数列第一节等差数列等比数列的概念及求和

【数 学 精 品】2 01 3版6年 高 考4年 模 拟 第 六 章 数 列笫 一 节 等 差 数 列、等 比 数 列 的 概 念 及 求 和第 一 部 分 六 年 高 考 题 荟 萃2 0XX年 高 考 风一、选择题1.1 2 01 2 高考重庆理1】在等差数列 4 中，a2=l,%=5则%的前5项和$5 =A.7 B.1 5 C.2 0 D.2 5【答案】B【解 析】因 为 私=1，4=5，所 以 卬+/=/+4=6，所 以 数 列 的 前 5 项和$55(。+%)5(72+a4)5-:-=-=-=X O2 2 2=1 5,选 B.2.1 2 01 2 高考浙江理7】设 S,是公差为d (d W O)的无穷等差数列 an 1 的前n 项和，则下列命题错误的是A.若 d 0,则数列 S n 有最大项B.若数列 S n )有最大项，则 d 0D.若对任意“e N*,均有S“0,则数列(Sn 是递增数列【答案】C【解析】选项C 显然是错的，举出反例：一1,0,1,2,3,满足数列 5“是递增数列,但是S.0 不成立.故选C。3.2 01 2 图考新课标理51已知。“为等比数列，4+%=2，a5 a6 8 ,则q +q。=()(A)7 5 (C)-5 (0)-7【答案】D【解 析】因 为 4 为 等 比 数 列，所 以 a5 a6 =4%=-8 ,又%+%=2，所以a4=4,%=2 或 4=2,%=4 .若 =4，=-2 ,解得 =8,aQ=1 ,。1+。1 0=一 7；若。4=-2,。7=4，解得。()=-8,a=1,仍有q+%o=-7,综上选 D.4.1 2 01 2 高考上海理 1 8 设s i n ,Sn=,+a-,+a“，在 S 1，S 2,，Sg 中，n 2 5正数的个数是()A.2 5 B.5 0 C.7 5 D.1 00【答案】D【解析】当 1W 2 4 时，an 0,当 2 6 W W4 9时，*0,当 7 6 W/1 W99时，an 0,但其绝对值要小于5 1 W 0。【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的1 4 项的和为0,这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.5.1 2 01 2 高考辽宁理6】在等差数列 如 中，已知4 4+*=1 6,则该数列前1 1 项和S i 产(A)5 8 (B)8 8 (C)1 4 3 (D)1 7 6【答案】B【解析】在等差数列中，4+41=%+%=6,二s”=1 1 x(3+“)=88,答案为B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。6 1 2 0 1 2 高考福建理2】等差数列 4,中，ai+a5=1 0,a4=7,则数列 a/的公差为A.l B.2 C.3 D.4【答案】B.考点：等差数列的定义。难度：易。分析：本题考查的知识点为等差数列的通项公式%+(-1)4。【解析】法 1：由 等 差 中 项 的 性 质 知 的=%爱=5,又.4=7,%=2.故选B.法 2：d=27.1 2 01 2 高考安徽理4】公比为蚯等比数列 4 的各项都是正数，且生 卬=1 6 ,则l o g 2%=()(A)4 (B)5 (C)6 (D)7【答案】B【解析】I=1 6 a；=1 6%=4 =a%=%X/=3 2 l o g2 al 6=5 .8 1 2 01 2 高考全国卷理5】已知等差数列 a0 的前n项和为Sn,a5=5,S5=1 5,则数列的 前 1 00项和为1 00 99(A)(B)1 01 1 01【答案】A991 01(C)(D)1 001 00【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前项和的公式的运用，以及裂项求和的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。【解 析】由 牝=5,5=15,得 6 =1,4=1,所 以%=1+(-1)=，所以1 1 1111 1 1 ,1 10 0-1-=-1-1-1-=1-=-,选 A.4 的 oo/oi 1 2 2 3 10 0 10 1 10 1 10 1二、填空题9.(20 12高考浙江理13】设公比为q (q 0)的等比数列 a,J 的前n项和为S n。若 S 2=3 a z+2,S 4=3 a 4+2,则 q=。【答案】:2【解析】将$2=3 4+2,S 4=3+2两个式子全部转化成用4，q表示的式子.即(4+%=3+2 两式作差得：府+4/=34 _1),即：2相y-3=0,14+44+%4+。闻+2解之得：4=；或 g=-1(舍去).10.120 12高考新课标理16数列仅“满足。，用+(-1)%=2 一 1,则。“的前6()项和为【答案】183 0【解析】由4+|+(-1)。“=2-1得，%+2=(-1)“区用+2 +1=(-l)n(-l)n-a“+2 n-l +2 n+l=-%+(-1)(2-1)+2 +1,即 J+a”=(-l)n 0,44,2+片 0知q 0,下面用反证法证明q=l若4 1,则 q=l o g q 时，an+=aqn 4 1,与（*）矛盾。Q%若O V q V l,则可 二生。2 1，当 l o g q,时，4+1=4闯”1，与（*）矛q 盾。综上所述，9=1。，册=/N*）,/.1 t Z j 1,于是仄b2 V b3。%又由“e=即%=a+b,得2=|%：也 一：才 t；.仇,b2,中至少有两项相同，与仿 与 矛盾。.，.。=夜。【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】（1）根据题设“的=普辿和/,=1 +%,求 出 如 _=1 +1%，从而（,2 z 、2证 明 也.%=1而得证。an+/n /(2)根据基本不等式得到1 3.记数列|的前/项和为S“.当 M=时,$=|4|=4；当=2 时，2 =|4|+1%|=5 ；当 心 3 时，S =2 +1 /I +1%I +1 I =5 +(3 x 3 7)+(3 x 4 7)+(3/?7)=5 +(一 2)2 +(3 -7)324,=n2:2-+10.当=2 时，满足此式.2n =1,综上，S =M ,|1n-+10,n 1.12 217.2 012 高考广东理19(本小题满分14分)设数列 a,J 的前n项和为S n，满足2 S“=a,m 一2 +1,ndN,，且 a”a2+5,a 3 成等差数列.(1)求 小的值；(2)求数列 a j 的通项公式.1 1 1 3(3)证明：对一切正整数n,有 1-1-1-.a a2 an 2【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.【解析】(1)2 S“=an+l-2+l+1,2 S,m =a,.-2,+2+1 相减得：+2=3 an+2n+12 s l=%-3%=2 q +3,/=3 a,+4=6 q +13a a2+5,生 成等差数列 q +%=2(a2+5)q =1(2)q =1,。2 =5 得 ”+i=3。+2 对 N*均成立%=34+2”=%+2*3(%+2 )得。+2 =7 +7 =_ +=+=-1 3(3)当？7 =1 时，一=1 (1)2 2。3 2 x 2 o%2 =-!-1 1 1,11 1,113%a2 an 22 23 2 2 2 21 1 3由上式得：对一切正整数，有一+(2 产 W=黑(。2+-2)=0,因此，对任意k e N+,Sk+2,Sk,SE成等差数列。19.12012高考重庆理2 1(本小题满分12分,(I)小问5 分,(I I)小问7 分.)设 数 列 的 前”项和S“满足5+)=a2s“+%,其中a2H o.(I)求证：|a“|是首项为1的等比数列；n(I I)若 4 -1,求证：S 一 1且。2。0，由(1)知，4=1，4=27,所以要证的不等式化为：1 +a)+a/+)(之 3)即证：1 +。2+/2+a2 ）（，2-2）当。2=1 时，上面不等式的等号成立。当1%1 时，出-1 与 W f T，=a，1 n-）同为正；因此当。2 -1 且。2 0 1 时，总 有（WT）（出 一1），即+2 1 +W，（=3,1 n-）o上面不等式对r 从 1 到 1 求和得，2（4+42+2n-r）（n-l）（l+2n）由此得 1 +。2+4 2+a2 （l+2）n综上，当时有*”），当且仅当2 或%=1 时等号成立。2 0.【2 0 1 2 高考江西理1 61 （本小题满分1 2 分）1 ,已知数列 a n 的前n 项和S,=一一n2+kn,左e N*,且 S”的最大值为8.2（1）确定常数k,求 a n；9-2 a（2）求数列 2 的前n项和Tn。【答案】解：（1）当“=ZeN*时，=-,2 +如取最大值，即8 =一 4公+炉=4人 2,2 2 29 7 9故=4,从而。=S-S _ 二万一（2 2）,又q=S=Q,所以。二万一/.、e”,9-2 a n.2 3 n-1 n（1）因为勿=-；=广，雹=+4+2=1+耳+齐+7 T +而ll ye e -3 1 1 n/1 n,几+2所以 7；=2 7；7；=2 +1 +/+7-7=4-=4-q-【点评】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用%=，1 _ 来实现。0 与 S”的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意户14=S“-S,I不能用来求解首项q，首项4 一般通过q =E来求解.运用错位相减法求数列的 前 项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列.2 1.1 2 0 1 2 高考湖南理1 9（本小题满分1 2 分）已知数列 a,J 的各项均为正数，记 A(Z 7)=ai+az+.+&,B(n)=a2+a3+.+a,C()=&+&+.+a,r2,n=,2,.(1)若a=1,a2=5,且对任意W N*,三个数/),8()，C)组成等差数列，求数列 4 的通项公式.(2)证明：数列 a是公比为。的等比数列的充分必要条件是：对任意“e N*,三个数/()，B(/?),C(n)组成公比为 0 知，A(),B(),C(“)均大于 0 ,于是B(n)_a2+a .：+an+式4+。#.+a _)=:一 =q,A()4+。步 +。“a a+2.+a/JC()_ 4+a/.+%+q(.a2+a.+a,l+L)=-=q,B(n)a2+a#+a +a+g +.3+n+,即驷=及 =q,所以三个数A(),8(),C(“)组成公比为q的等比数列.A()B()(2)充分性：若对于任意 e N*,三个数A(“),B(),C()组成公比为4的等比数列，则3(“A q 4 立，()，于是 C(n)-B(n)=qB(n)-A(可，得 an+2-a2=q an+x-ay),即a“+2-qa“+ra-由 =1 有 5(1)=qA(y),即 a2=qa,从而 aI I+2-qan+l=0.因为4,0,所 以 吐=&=q,故数列 4是首项为q,公比为q的等比数列，%+i%综上所述，数列 ,是公比为4的等比数列的充分必要条件是：对 任 意n N*,三个数4(),8 5),。()组成公比为4的等比数列.点评本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.2 2.【2 0 1 2 高考山东理2 0】本小题满分1 2 分)在等差数列%中，/+%+%=8 4,佝=73.(I)求数列 凡 的通项公式；(I I)对任意meN*,将数列 见 中落入区间(9 ,9 2 )内的项的个数记为勾，求数列也,的前m项和Sm.【答案】解：(I )因为 q是一个等差数列，所以 a3+a4+a5=3 a4=84，即 4 =2 8 .所 以，数列仅“的公差。=会/21 2 s=9 ,所 以,a,=a4+