九年级寒假培优讲义(三)

一元二次方程解法、一判别式模 块 一课前检测1.代 数 式 万 7 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（）A.x22.下列函数中,B.x2y 随x 的增大而减小的是（)C.x -2D.x O)转化为 o v +“=J/,即转化为 o r+=J浣或 o x +”=-薪？进行2.配方法用配方法解一元二次方程的步骤如下：(1)把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边(2)根据等式的性质把二次项的系数化为“1”(3)把方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式。b +4 a c 23公式法x二一 一-,此法的前提是b -4 a c 02 a4.分解因式法：一般采取十字相乘法分解因式。典型例题【例 3】（直接开方法）（1）（2 x-l =9；（配方法）（2）4x 2-8x+l=0；(公 式 法)(3)X2+2V 3X+3=0；(因式 分 解 法)(4)4X2-12X+5=()【巩固】用适当的形式解下列方程:(1)2(x-2)2=50；(2)x (x+2)=5(x-2)(3)x2+2 x=2 4x x2(4)2x2-V T 7 x+l =0(5)3x2-2x-l=0(6)3x2-4x -2=0模块四一元二次方程的判别式，：知识点睛1.一元二次方程以2+bx +c=0(。n 0)只有当系数a、b、c满足条件 =/-4a c 2 0时才有实数根.这里一 4a c叫做一元二次方程根的判别式.2.判别式与根的关系：(1)当A =Z/4a c 0时，方程有两个不相等的实数根.(2)当 =b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.(3)当 八=一4 C 0时，关 于x的方程:任+m)+(/一机/2 晶x=0有两个相等的实数根。求证：A A B C为直角三角形。(2)已知、b、c是三角形的三边长，求证：从犬+(6+,2-/a+,2=0没有实数根真题解析 例7 已知关于x的 方 程x2-(2k+l)x+4(k-)=0 2(1)求证：无 论k为何值，方程总有实数根(2)若等腰AABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求4 A B C的周 长 例8已知关于无的方程。机)幺_2a+1 =0有两个不相等的实数根.(1)求 2的取值范围；(2)若?为整数，且 加3,a是上述方程的一个根，求代数式2 a-3。一 竺 土1+3的值.4课后作业【习 题 1】若 0 是关于X的一元二次方程（m l）x2+5x+m2-3m+2=0的一根，则 m 值为（）A.1 B.0 C.1 或 2 D.2 习题2方程x2+ax+l=0和 x2-x-a=O有一个公共根，则 a 的 值 是（）A.0 B.1 C.2 D.32 1【习题3已知a 是方程x2+x-2015=0的一个根，则 J 的 值 为（a-1 a-a)1A.2014 B.2015 C.-2014D.2015【习题4】若关于X的方程以 2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a 的取值范围是什 么？【习 题 5关 于 x 的一元二次方程（1=0有两个不相等的实数根，求上的 取值范围.【习 题 6若 关 于 x 的 方 程 ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，求 实 数 a 的取值范围.【习题7 (1)(x+1)2=5(2)(2x+l)2=49【习题 8(1)x2-3x+l=0(2)5x2-8x+2=0【习题 9 (1)2X2-7 3X-3=0L x6*+血=0 2【习题 10 (1)5X2-8X-4=0(2)x2-x-m2+3m-2=0元二次方程根与系数的关系模 块 一 课 前 检 测1.方程。+1)。-2)=。+1)的 解 是()A.2 B.3 C.-1,2D.-1,32.A.己知x=2是 方 程 加=。（/）的解，则它的另一根为（B.0C.一2D.不能确定3.A.C.一元二次方程x2-2 x-l=0的根的情况为（）有两个相等的实数根 只有一个实数根B.有两个不相等的实数根D.没有实数根4.A.已知(62+几2)(加+4+2)=15,B.-5则 加+层的值为（C.-3 或 5)D.-5 或 3235.用配方法解关于x的方程x，+p x+g=（）时，此方程可变为（）.0)2=-4q A.(x+)-2 4C.*/)2 =左 出 2 4B.(X 4-K)2 _ 4”p2D.(a/44q-p426.（2014武汉）在一次中学生田径运动会上，参加跳高的15名运动员的成绩如表:成绩（m）1.501.601.651.701.751.80人数124332那么这些运动员跳高成绩的众数是.7.若方 程K 9 x+1 8=O的两根恰好是一个等腰三角形的两边长，则此三角形的周长为8.已知关于x的一元二次方程（w+l）%2 2（?一l）x+m =0有实根，则 用 的 取值范围是模块二根与系数关系(韦达定理)知识点睛一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)：若龙,工2是卖手X的一元二次方程Q%+hx+C=0(。W 0)的两个根，则方程的两个根 bx,x 和系数a,c有如下关系：x +x =-_,x-x=.1 2 12 a 2 aE G:先阅读，再填空解题：(1)方程 fx 12=0 的根是：X I =-3,1 2=4,则+冗2=1,X 1-X 2=-12；i 7 3(2)方程 2 f 7 x+3=0 的根是：xi=X 2=3,则 X I+、2=刈处=2 2 2(3)方程X2 3 x+1 =0的根是：X=,工 2=.则为+即=,X-X 2=(4)根 据 以 上(1)(2)(3)你能否猜出：如果关于X的一元二次方程优2+，?x+=0 (加翔且团、P为常数)的两根为为、X 2,那 么汨+工2、处处与系数小、几、P有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由.典型例题【例 1】设 X X 2 是方程2 x 2-3 x-3=0的两个实数根，则 三+三的值为X2 X(2)已知实数a、b (a#b)分别满足a 2-3 a+石=0,b2-3 b+5=0,试求V a +V bV b V a的值;(3)设 方 程 4 f-7x-3 =0 的两个根为为、占，不解方程求下列各式的值(X|-3)(电-3)；x .+x；占一而1 2【巩固】(1)已知一元二次方程y 2-3 y+1=0的两个实数根分别为力、y z，则(y l)(y2-l)的值为；(2)已知关于x的方程x 2-(a+b)x+a b-2=0.x i、X 2 是此方程的两个实数根，现给出三个 结论：x#X 2；X|X 2 a b；x i2+X 22 a2+b2,则正确结论的序号是模块三 判别式与韦达定理1 知识点睛判别式与韦达定理的应用主要体现在含参一元二次方程中，含参一元二次方程处理办法：二次项系数不为0;判别式大于或者等于0;根与系数的关系参与计算；结合实际情况进行答案的取舍。例如：(a-1)X2-2X+1 =0,首先a,接着 2 0,之后进行根与系数关系的应用。实际情况一般指根必须为非负数，或者三角形三边需要满足三边关系。典型例题【例 2】(I)设x、x是 方 程X2-2 Q +1)X+%2+2=0的 两 个 不 同 的 实 根，且I 2(X,+1)(9+1)=8,则 k 的值是.(2)如果关于x的一元二次方程2 x 2-2 x+3 m-I=0有两个实数根x1(x2,且它们满足不等式X i?.V1,则实数m的取值范围是_ _ _ _ _X+X 2-3(3)若 关 于 x的一元二次 方 程(k-1)x2+(k2-l)x+(k-1)2=0的两根分别为a,(3,且 c?+/?=4,求 k 的值.(4)若关于x的一元二次方程x2-(a+3)x+a2+8a=0的两个实数根分别为4和 b,求 a b 的 值.(5)已知关于x的一元二次 方 程 x 2-2 x+m+2=0有两个不等的实数根X 1和 x2 求 m的取值范围；若|XI-X2|=2,求 m的值.【巩固】(1)若方程x2+p x +l =0 的一个根为1-四，则 它 的 另 一 根 等 于,p 等于_ _ _ _ _ _ _ _ _(2)关 于 x的 方 程 x?+(m-1)x+m 2-3=0的两个实数根互为倒数，求 m的值.(3)已知关于 x 的方程 x 2+2(a-l )x+a 2-7a-4=0 的两根为 x i、X 2,且满足XX2-3XI-3X2-2=0.求 a 的值.能力提升【例 J 3 已 知 m,n是 方 程 x 2+3 x+l=0的两根求(m+5-1 6).2 m1 0 /值；5-m 3-m m(2)求目+后 的 值。f+y2-2 x =0【例 4】已知方程组(fc r-y-女=0(X、)，为未知数)求证：不论女为何实数，方程组朦套眄个曲的实数解 设方程组的两个不同的实数解为，和一 天求证：(XI 1 I 2-x)2+(y-y产是一个常数 2 1 2【例 5】已知关于x的方程/-2 蛆+3 m=0 的两个实根是x、x且(X-X)2=16。如果 1 2 I 2关 于 x的另一个方程元2 一 2 a+6 m-9=0 的两个实数根都在X、文之间，求 m的值。I 2真题解析 例 6 已知I X),X 2 是 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2-2 (m+1)x+m 2+5=O 的两实数 根.(1)若(x i-1)(X 2-1)=2 8,求 m 的值；(2)已知等腰4ABC的 一 边 长 为 7,若 X”X 2 恰好是aABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.【例7 1已 知 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2-(2 k+l )x+k 2+2 k=0有 两 个 实 数 根 x i，X 2.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k使 得 X I 3 2-修2 _ 也2 2 0成立？若存在，请 求 出 k的值；若不 存在，请说明理由.课后作业【习 题 1】方程x J 5 x +2 =0 的两个解分别为x、x,则 x +x-xr 的值为()1 2 12 12A.-7 B.-3 C.7 D.3【习 题 2】设 尤，龙毡一元二次方程2 3 x 2 =0 的两个实数根，则上2+3 x x +4 2的 1 2 1 1 2 2值为.【习题3】已知关于X的方程*2-(k+l)x +火+2 =0 的两个实数根的平方和等于6,求女的 值.【习题4】已知关于x 的方程x 2+2(a-l )x+a 2-7a-4=()的两根为X L，且满足XIX2-3X3X2-2=0.求C I+；)对 的值.a 2-4 a【习题5】已知：A B C 的 两 边 A B、A C 的 长 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2-(2 k+3)x+k 2+3 k+2=0 的两个实数根，第 三 边 B C 的 长 为 5.试问：k 取何值时，A B C 是以 B C 为斜边的直角三角形？【习 题6 1已知关于x 的一元二次方程x2-2 x+m=0,有两个不相等的实数根.（I）求 实 数 m的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是X 1,X 2，求代数式X/+X 2 2-X I X 2 的 值.【习题7 已 知 X I，X 2 是 一 元 二 次 方 程（a-6）x2+2 a x+a=0 的两个实数根.（1）是否存在实数a,使-x i+x IX 2=4+X 2 成立？若存在，求 出 a的值；若不存在,请你说明理由；（2）求 使（xi +1 ）（x2+l）为负整数的实数a的整数值.馆一元二次方程 应用题模 块 一课前检测1.若关于x 的一元二次方程(mD f+Z r+M 1=()有一根为Q,求 另 一 根 及 的 值2.己知关于x 的方程必一(2&+l)x+4伙=)=02(1)求证：无 论 z 为何值，方程总有实数根(2)若等腰4A B C 的一边长。=4,另两边长仄c 恰好是这个方程的两个根，求4A B C 的周 长3.如图，在四边形 ABCD 中，AD=5,CD=4,ZABC=ZACB=ZA D C=45,则对角线 BD 的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _B模块二利润 销售