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北京市西城区2021—2022学年度高一第一学期期末试卷
数学试卷
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，那么
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）方程组的解集是
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）函数的定义域是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图. 若质量指标值在内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）若，，则一定有
（A）
（B）
（C）
（D）以上答案都不对
（6）已知向量，，那么
（A）
（B）
（C）8
（D）
（7）若，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（9）设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一点（含端点），若，则的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）命题“，”的否定是_____．
（12）右侧茎叶图表示的是甲、乙两人在次综合测评中的
成绩，记甲、乙的平均成绩分别为，则的大
小关系是_____．
（13）若不等式”的解集为，则_____，_____．
（14）如图，在正六边形中，记向量，，
则向量 _____．（用表示）
（15）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“单调增函数”.
对于“单调增函数”，有以下四个结论：
① “单调增函数”一定在上单调递增；
② “单调增函数”一定是“单调增函数”（其中且）；
③ 函数是“单调增函数”（其中 [x] 表示不大于x的最大整数）；
④ 函数 不是“单调增函数”.
其中，所有正确的结论序号是_____．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是. 假设每人答题正确与否是相互独立的.
（Ⅰ）求丙答题正确的概率；
（Ⅱ）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率.
（17）（本小题15分）
设，其中.
（Ⅰ）当时，求函数的图像与直线交点的坐标；
（Ⅱ）若函数有两个不相等的正数零点，求的取值范围；
（Ⅲ）若函数在上不具有单调性，求的取值范围.
（18）（本小题14分）
甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：
甲
6
6
9
9
乙
7
9
（Ⅰ）若乙的平均得分高于甲的平均得分，求的最小值；
（Ⅱ）设，，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，，求的概率；
（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值.（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若对于恒成立，求实数的范围．
（20）（本小题13分）
某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞. 已知该船使用中所需的各种费用（单位：万元）与使用时间，单位：年之间的函数关系式为，该船每年捕捞的总收入为50万元.
（Ⅰ）该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）?
（Ⅱ）若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元?
（21）（本小题15分）
设是实数集的非空子集，称集合且为集合的生成集．
（Ⅰ）当时，写出集合的生成集；
（Ⅱ）若是由个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；
（Ⅲ）判断是否存在个正实数构成的集合，使其生成集，并说明理由.
北京市西城区2021—2022学年度第一学期期末试卷
高一数学答案及评分参考 2022.1
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. C
2. A
3. B
4. B
5. D
6. B
7. A
8. A
9. D
10. D
二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.
11．，
12．
13．；
14．
15．②，③，④
注：第13题第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.
三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
16．（本小题13分）
解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人答题正确分别为事件A，B，C， ………………1分
设丙答题正确的概率为x，即.
由题意，知，. ………………3分
根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得， ………………6分
解得，即丙答题正确的概率为. ………………8分
（Ⅱ）由相互独立事件的概率乘法公式，
得事件：甲、丙都答题错误，且乙答题正确（事件发生）的概率是
.
答：甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率是. ………………13分
17．（本小题15分）
解：（Ⅰ）由，解得 ，. ……………… 2分
所以函数的图像与直线的交点为，. ……………… 4分
（Ⅱ）由题意，方程有两个不等正根，
所以 ……………… 7分
解得.
故当时，函数有两个不相等的正数零点. ……………… 10分
（Ⅲ）二次函数的对称轴方程为. ……………… 12分
由题意，得. ……………… 14分
故的取值范围为． ……………… 15分
18．（本小题14分）
解：（Ⅰ）由题意，得，即. ……………… 2分
又因为，且，
所以，即.
所以当时，的最小值. ……………… 4分
（Ⅱ）设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分”为事件， … 5分
记甲的4局比赛为，，，，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为，，，，各局的得分分别是7，9，6，10.
则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：，，，，，，，，，，， ，，，，. ………… 7分
而事件的结果有8种，它们是：，，，，，，，， ……………… 9分
因此事件的概率. ……………… 11分
（Ⅲ）的可能取值为，，. ……………… 14分
19．（本小题15分）
解：（Ⅰ）由，得， ……………… 2分
解得. ……………… 4分
（Ⅱ）结论：函数为奇函数. ……………… 5分
证明：由函数有意义，得. ……………… 6分
所以函数的定义域为，或. ……………… 7分
因为，
所以为奇函数. ……………… 10分
（Ⅲ）. ……………… 11分
由，得，
根据函数在上单调递增，得.
则.
所以,即的值域为. ……………… 13分
由对于恒成立，
得实数的范围为. ……………… 15分
20．（本小题13分）
解：（Ⅰ）设捕捞n年后，总利润为万元，
则. ……………… 3分
由，解得. ……………… 5分
因为，
所以，即捕捞的第3年开始盈利. ……………… 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得年平均盈利额，…………… 10分
因为，当且仅当时，等号成立，
所以当时，年平均盈利取得最大值.
所以该船为渔业公司带来的收益为万元. ……………… 13分
21.（本小题15分）
解：（Ⅰ）. ……………… 3分
（Ⅱ）记，不妨设. ……………… 4分
则.
所以集合中元素个数大于或等于7． ……………… 6分
又因为若时，集合，且中元素个数为7．
所以集合中元素个数的最小值为7． ……………… 8分
（Ⅲ）结论：不存在集合，使其生成集. ……………… 9分
证明：假设存在集合，使其生成集，…………… 10分
不妨设，其中,
则. ……………… 11分
由，得集合中的最大数为，最小数为. ……… 13分
又因为集合中6个元素的乘积为，
所以，
即，此式显然不成立，
所以假设错误，即不存在集合，使其生成集. …… 15分
9
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