2022年江西省抚州市南城县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −15的相反数是( )
A. 15 B. −5 C. 5 D. 125
2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如图所示的几何体，其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A. 8 B. 7.5 C. 15 D. 无法确定
5. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE=3，OB=5，则CD的长度是( )
A. 9.6
B. 45
C. 53
D. 10
6. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=2，与二次函数y=x2，y=ax2分别交于A、B和C、D，若CD=2AB，则a为( )
A. 4 B. 14 C. 2 D. 12
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 因式分解：a3−4a=______．
8. 第七次全国人口普查数据显示，江西省常住人口约为4518.86万人，将4518.86万用科学记数法表示______．
9. 开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表：
体温(℃)
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
天数(天)
2
3
3
4
1
1
这14天中，小芸体温的众数是______ ℃。
10. 不等式组x+3>11−3x>−2的解集是______．
11. 设x1，x2是关于x的方程x2−3x+k=0的两个根，且x1=2x2，则k= ______ ．
12. 已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦，点P在⊙O上，AB=23.若点P到直线AB的距离为1，则∠PAB的度数为 ．
三、解答题（本大题共12小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题3.0分)
如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE=DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE=BF．
14. (本小题3.0分)
计算9+(4−π)0+(−1)2022−8sin30°．
15. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(2−2xx−2)÷x2−4x2−4x+4，然后选一个你喜欢的x值代入求值．
16. (本小题8.0分)
“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生C.某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？
17. (本小题8.0分)
已知△ABC和△FDE都是等边三角形，点B、C、E、F在同一直线上，请仅用无刻度直尺作图．
(1)在图①中，点C和点E重合，画出线段AD的中点P；
(2)在图②中，点E是线段BF的中点，画一条与AD相等的线段．
18. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43x−2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y=kx在第一象限内的图象相交于点B(m,2)，过点B作BC⊥y轴于点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．
19. (本小题8.0分)
某校体育组为了了解九年级675名学生一分钟跳绳的情况，随机抽查了九年级部分学生进行跳绳测试(单位：个)，根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：
组别
个数段
频数
频率
1
0≤x<80
5
0.1
2
80≤x<140
21
0.42
3
140≤x<170
a
4
170≤x<200
b
(1)表中的数a=______，b=______；
(2)估算该九年级一分钟跳绳测试结果不小于140的人数；
(3)一分钟跳绳测试结果小于80的为不达标，若九年某班不达标的3人中有2个男生、1个女生，现从这3人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．
20. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
(1)求证：∠ADE=∠DFC；
(2)求证：CD=BF．
21. (本小题8.0分)
如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知OA=44cm，OD=120cm，BD=40cm，∠ABC=75°.(结果精确到1cm.参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，2≈1.41，3≈1.73)
(1)求支架顶点A到地面BC的距离．
(2)如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离．
22. (本小题8.0分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD=∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，△ABC的面积为25，求CD的长．
23. (本小题8.0分)
定义：从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．
例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．
(1)【定义感知】
如图1，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=110°，AB=BD．
求证：AD是△ABC的“华丽分割线”．
(2)【问题解决】
①如图2，在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则∠C的度数为______ ．
②如图3，在△ABC中，AB=2，AC=3，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长．
24. (本小题8.0分)
综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为直线x=2，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上C、D两点之间的距离是______ ；
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
(4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−15的相反数是15，
故选：A．
直接利用相反数的定义即可得解．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】A
【解析】解：这个几何体的左视图如下：
故选：A．
根据简单几何体的三视图的画法，画出相应的左视图即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确判断的前提．
4.【答案】B
【解析】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE=DA=3，
∴△BCD的面积=12×5×3=7.5．
故选：B．
过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE=DA=3，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5.【答案】A
【解析】解：∵OE⊥AC于点E．
∴AE=EC．
∵OE=3，OB=5．
∴AE=AO2−OE2=4．
∴AC=8．
∵∠A=∠A，∠AEO=∠AFC．
∴△AEO∽△AFC．
∴AOAC=EOFC，即：58=3FC．
∴FC=245．
∵CD⊥AB．
∴CD=2CF=485=9.6．
故选：A．
根据垂径定理求出AE可得AC的长度，利用△AEO∽△AFC，求出CF，即可求解．
本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．
6.【答案】B
【解析】解：将y=2代入y=x2得2=x2，解得x1=−2，x2=2，
将y=2代入y=ax2得2=ax2，解得x3=−2aa，x4=2aa，
∴AB=22，CD=22aa，
由题意得22aa=42，
解得a=14，
故选：B．
将y=2分别代入y=x2，y=ax2求出AB，CD长度，根据CD=2AB求解．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征.解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
7.【答案】a(a+2)(a−2)
【解析】
【分析】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】
解：a3−4a=a(a2−4)=a(a+2)(a−2)．
故答案为：a(a+2)(a−2)．
8.【答案】4.51886×107
【解析】解：4518.86万=45188600=4.51886×107．
故答案为：4.51886×107．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
9.【答案】36.6
【解析】解：36.6出现的次数最多有4次，所以众数是36.6．
故答案为：36.6．
根据众数的定义就可解决问题．
本题主要考查了众数的定义，正确理解众数的意义是解决本题的关键．
10.【答案】−2
1，得：x>−2，
由1−3x>−2，得：x<1，
则不等式组的解集为−2
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