高考数学《数学归纳法》寒假综合复习练习题（含答案）

高考数学《数学归纳法》寒假综合复习练习题（含答案） 一、单选题 1．用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为（    ） A．1 B．k C． D． 2．用数学归纳法证明不等式：（为正整数，）时，第一步应验证不等式（    ） A． B． C． D． 3．用数学归纳法证明：，，当时，左端应在的基础上加上（    ） A． B． C． D． 4．用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（    ） A．1 B． C． D． 5．利用数学归纳法证明等式：，当时，左边的和记作，则当时左边的和记作，则（    ） A． B． C． D． 6．用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从“n=k”到“n=k+1”，左边需增添的代数式是（    ） A．(2k+1)+(2k+2) B．(2k-1)+(2k+1) C．(2k+2)+(2k+3) D．(2k+2)+(2k+4) 7．用数学归纳法证明不等式时，从“到”左边需增加的代数式为（    ） A． B． C． D． 8．已知是关于正整数n的命题，现在小杰为了证明该命题，已经证明了命题、、均成立，并对任意的且，在假设成立的前提下，证明了成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明对一切且均成立，则m的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．不存在 9．用数学归纳法证明：“”，设，从到时（    ） A． B． C． D． 10．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下： ①当时，，不等式成立； ②假设当时，不等式成立，即， 则当时，． 故当时，不等式成立． 则下列说法正确的是（    ） A．过程全部正确 B．当时的验证不正确 C．当时的归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 11．我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题对一切正整数n都成立的是（    ） ①成立，且对任意正整数k，“当时，均成立”可以推出“成立” ②，均成立，且对任意正整数k，“成立”可以推出“成立” ③成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立且成立” A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 12．数列满足，则以下说法正确的个数（    ） ① ②； ③对任意正数，都存在正整数使得成立 ④ A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 13．已知（，）的表达式（，），那么______． 14．已知且，用数学归纳法证明命题：“当且时，”，第一步应验证的不等式为__________. 15．记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了______项. 16．用数学归纳法证明等式时，第（ii）步从n=k到n=k+1时等式左边应添加的项是____ 三、解答题 17．已知数列的前n项和，且，． (1)求 (2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 18．设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明上述猜想，并求前项和． 19．已知数列中，，． (1)求，，，的值； (2)根据（1）的计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 20．在数列中， （1）求出并猜想的通项公式； （2）用数学归纳方证明你的猜想. 21．已知数列的前项和为，其中且. (1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法加以证明. 22．已知数列中，，其前项和为，当时，. (1)计算，，，； (2)依据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明. 23．已知数列满足，. (1)写出数列的前四项； (2)判断数列的单调性； (3)求证：. 24．已知无穷数列满足．其中、均为非负实数且不同时为． (1)若，，且，求的值； (2)若，，求数列的前项和； (3)若，，求证：当时，数列是单调递减数列。 参考答案 1．D2．C3．C4．B5．D6．C7．D8．C9．B10．D11．D12．D 13． 14． 15．3 16． 17.（1）赋值法进行求解；（2）猜想，用数学归纳法进行证明 (1) 令得：， 因为，， 解得：， 令得：，即 解得：， 令得：， 即， 解得： (2) 猜想的通项公式为，证明如下： 当时，，成立， 假设时，成立， 则 则当时，， 即，， 解得：，成立 综上：对任意的都成立. 18．（1） 因为数列满足，， 所以， ， 由此可猜想 （2） 证明：①当时，显然成立， ②假设当时，成立，即，则 当时， ， 所以时也成立， 综合①②可得， 因为， 所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以 19．(1) 因为，，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． (2) 根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式为． 证明如下：①当n＝1时，等式成立． ②假设当n＝k时，成立． 当n＝k+1时，． 则n＝k+1时，等式成立． 由①②可知，对任意的，． 20．解：(1) ∵， ∴ 因此可猜想: ； (2)当时，，等式成立， 假设时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立， 综上所述，对任意自然数，. 21．（1）因为且. 所以，解得， 因为， 所以，解得. 由，猜想：. （2）①当时，等式成立； ②假设当时猜想成立，即 那么，当时，由题设，得，， 所以，， 则. 因此，， 所以. 这就证明了当时命题成立. 由①②可知：命题对任何都成立. 22．（1）由题意得：， 时，，得，则； 同理， 同理； 故，，，的值依次为； （2）由（1）的结果，可猜想 ； 证明：①当时，，故此时成立； ②假设时，成立， 则当时，，， 即， 故当时，也成立， 综合①②，当时,. 23．（1）因为数列满足，， 所以，，. （2）因为，所以，所以. 所以数列为严格增数列. （3）用数学归纳法证明： 当时，有显然成立； 假设时，命题成立，即. 所以当时，只需证明成立即可. 先证明左边. 由于随的增大而增大，所以有， 只需证，两边平方得：，化简得：，显然成立. 再证右边. 由于随的增大而增大，所以有， 只需证， 两边平方后化简得：， 展开，整理得：， 再平方，左边， 右边， 所以左边<右边. 综上所述：原命题成立，即. 24．(1)解：当，时，则， 因为，则，可得，解得或. (2) 解：分以下几种情况讨论： ①当，时，，则， ，则，所以，. 当为偶数时，；当为奇数时，. 此时，； ②当，时，且，则数列是等比数列，且首项为，公比为. 若，则； 若且，则. 综上所述，当，时，； 当，时，； 当且，时，. (3) 解：因为，则且，用数学归纳法证明. （i）当时，，所以，； （ii）假设当时，结论成立，即， 当时，，， 所以， 当时，，，， 所以， 因为在上是增函数，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以由（i）（ii）可知，，所以数列是单调递减数列