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高考数学《数学归纳法》寒假综合复习练习题(含答案)
一、单选题
1.用数学归纳法证明时,由到,左边需要添加的项数为( )
A.1 B.k C. D.
2.用数学归纳法证明不等式:(为正整数,)时,第一步应验证不等式( )
A. B. C. D.
3.用数学归纳法证明:,,当时,左端应在的基础上加上( )
A. B.
C. D.
4.用数学归纳法证明:的过程中,由递推到时等式左边增加的项数为( )
A.1 B. C. D.
5.利用数学归纳法证明等式:,当时,左边的和记作,则当时左边的和记作,则( )
A. B.
C. D.
6.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是( )
A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)
C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)
7.用数学归纳法证明不等式时,从“到”左边需增加的代数式为( )
A. B.
C. D.
8.已知是关于正整数n的命题,现在小杰为了证明该命题,已经证明了命题、、均成立,并对任意的且,在假设成立的前提下,证明了成立,其中m为某个固定的整数,若要用上述证明说明对一切且均成立,则m的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.不存在
9.用数学归纳法证明:“”,设,从到时( )
A. B.
C. D.
10.对于不等式,某同学用数学归纳法证明的过程如下:
①当时,,不等式成立;
②假设当时,不等式成立,即,
则当时,.
故当时,不等式成立.
则下列说法正确的是( )
A.过程全部正确 B.当时的验证不正确
C.当时的归纳假设不正确 D.从到的推理不正确
11.我们学习了数学归纳法的相关知识,知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中,可以证明某个命题对一切正整数n都成立的是( )
①成立,且对任意正整数k,“当时,均成立”可以推出“成立”
②,均成立,且对任意正整数k,“成立”可以推出“成立”
③成立,且对任意正整数,“成立”可以推出“成立且成立”
A.②③ B.①③ C.①② D.①②③
12.数列满足,则以下说法正确的个数( )
①
②;
③对任意正数,都存在正整数使得成立
④
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
13.已知(,)的表达式(,),那么______.
14.已知且,用数学归纳法证明命题:“当且时,”,第一步应验证的不等式为__________.
15.记,在用数学归纳法证明对于任意正整数,的过程中,从到时,不等式左边的比增加了______项.
16.用数学归纳法证明等式时,第(ii)步从n=k到n=k+1时等式左边应添加的项是____
三、解答题
17.已知数列的前n项和,且,.
(1)求
(2)猜想的通项公式,并用数学归纳法证明.
18.设数列满足,.
(1)计算,猜想的通项公式;
(2)用数学归纳法证明上述猜想,并求前项和.
19.已知数列中,,.
(1)求,,,的值;
(2)根据(1)的计算结果,猜想的通项公式,并用数学归纳法证明.
20.在数列中,
(1)求出并猜想的通项公式;
(2)用数学归纳方证明你的猜想.
21.已知数列的前项和为,其中且.
(1)试求:,的值,并猜想数列的通项公式;
(2)用数学归纳法加以证明.
22.已知数列中,,其前项和为,当时,.
(1)计算,,,;
(2)依据(1)的计算结果,猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明.
23.已知数列满足,.
(1)写出数列的前四项;
(2)判断数列的单调性;
(3)求证:.
24.已知无穷数列满足.其中、均为非负实数且不同时为.
(1)若,,且,求的值;
(2)若,,求数列的前项和;
(3)若,,求证:当时,数列是单调递减数列。
参考答案
1.D2.C3.C4.B5.D6.C7.D8.C9.B10.D11.D12.D
13.
14.
15.3
16.
17.(1)赋值法进行求解;(2)猜想,用数学归纳法进行证明
(1)
令得:,
因为,,
解得:,
令得:,即
解得:,
令得:,
即,
解得:
(2)
猜想的通项公式为,证明如下:
当时,,成立,
假设时,成立,
则
则当时,,
即,,
解得:,成立
综上:对任意的都成立.
18.(1)
因为数列满足,,
所以,
,
由此可猜想
(2)
证明:①当时,显然成立,
②假设当时,成立,即,则
当时,
,
所以时也成立,
综合①②可得,
因为,
所以数列是以3为首项,2为公差的等差数列,
所以
19.(1)
因为,,所以.
因为,所以.
因为,所以.
因为,所以.
(2)
根据(1)的计算结果,猜想数列的通项公式为.
证明如下:①当n=1时,等式成立.
②假设当n=k时,成立.
当n=k+1时,.
则n=k+1时,等式成立.
由①②可知,对任意的,.
20.解:(1) ∵,
∴
因此可猜想: ;
(2)当时,,等式成立,
假设时,等式成立,即,
则当时,,
即当时,等式也成立,
综上所述,对任意自然数,.
21.(1)因为且.
所以,解得,
因为,
所以,解得.
由,猜想:.
(2)①当时,等式成立;
②假设当时猜想成立,即
那么,当时,由题设,得,,
所以,,
则.
因此,,
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知:命题对任何都成立.
22.(1)由题意得:,
时,,得,则;
同理,
同理;
故,,,的值依次为;
(2)由(1)的结果,可猜想 ;
证明:①当时,,故此时成立;
②假设时,成立,
则当时,,,
即,
故当时,也成立,
综合①②,当时,.
23.(1)因为数列满足,,
所以,,.
(2)因为,所以,所以.
所以数列为严格增数列.
(3)用数学归纳法证明:
当时,有显然成立;
假设时,命题成立,即.
所以当时,只需证明成立即可.
先证明左边.
由于随的增大而增大,所以有,
只需证,两边平方得:,化简得:,显然成立.
再证右边.
由于随的增大而增大,所以有,
只需证,
两边平方后化简得:,
展开,整理得:,
再平方,左边,
右边,
所以左边<右边.
综上所述:原命题成立,即.
24.(1)解:当,时,则,
因为,则,可得,解得或.
(2)
解:分以下几种情况讨论:
①当,时,,则,
,则,所以,.
当为偶数时,;当为奇数时,.
此时,;
②当,时,且,则数列是等比数列,且首项为,公比为.
若,则;
若且,则.
综上所述,当,时,;
当,时,;
当且,时,.
(3)
解:因为,则且,用数学归纳法证明.
(i)当时,,所以,;
(ii)假设当时,结论成立,即,
当时,,,
所以,
当时,,,,
所以,
因为在上是增函数,所以,所以,
又因为,所以,所以,
所以由(i)(ii)可知,,所以数列是单调递减数列
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