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南通市如皋市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 反比例函数y＝﹣图象位于（ ）
A 第一、三象限 B. 第一、四象限
C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
2. 将三个相同的正方体搭成如图所示的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知为锐角，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4. 抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为（ ）
A. x＝1 B. x＝﹣1 C. x＝2 D. y轴
5. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，，∠AOB＝36°，则∠CED的度数为（ ）
A. 72° B. 36° C. 18° D. 16°
6. 如图，坡角为α的斜坡AB长5米，若tanα＝，则BC的长为（ ）
A. 米 B. 5米 C. 10米 D. 5米
7. 如图，网格中的每个小正方形边长为1，点A，B都在小正方形的顶点上，线段AB与网格线MN交于点C，则AC的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，且DEBC，EFAB．如果△ADE的面积为2，△CEF的面积为8，则四边形BFED的面积是（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
9. 点A（m，y1），B（n，y2）均在抛物线y＝（x﹣h）2+7上，若|m﹣h|＞|n﹣h|，则下列说法正确的是（ ）
A. y1+y2＝0 B. y1﹣y2＝0 C. y1﹣y2＜0 D. y1﹣y2＞0
10. 在平面直角坐标系xOy中，以P（0，﹣1）为圆心，PO为半径作圆，M为⊙P上一点，若点N的坐标为（3a，4a+4），则线段NM的最小值为（ ）
A 2 B. 2 C. 4 D. 2
二、填空题（本大题共8小题．11～12每小题3分．13～18每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位上）
11. 如图，△AOB与△COD是位似图形，且OA＝AC，则与的相似比为_____．
12. 若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为_____（结果保留π）．
13. 如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点．若OM＝1，则AB的长为_____．
14. 已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是____．（结果保留π）
15. 《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步．问句中容方几何．”其大意是：如图，Rt的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为____．
16. 如图，将等腰直角三角形ABC沿底边BC所在直线平移，当点B移到点C处时，连接BD，则tan∠DBC＝_____．
17. 二次函数y＝x2﹣2mx+2m+3的顶点纵坐标为p，当m≥2时，p的最大值为 _____．
18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点M（1，2），交边BC于点N，若点B关于直线MN的对称点B′恰好在x轴上，则OC的长为_____．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：tan60°﹣2cos30°+sin45°；
（2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC=，解这个直角三角形．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与反比例函数y＝（x＞0）的图像交于A（1，m）和点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）写出当x＞0时，关于x的不等式＜﹣x+5的解集．
21. 如图，某施工队要测量索道BC的长度．已知索道BC在直线AC上，DE∥AC，AD⊥AC，AD＝60m，DE＝40m．施工队从点D处看向B．测得仰角为45°，再从点E处看向C，测得仰角为53°，求索道BC的长（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
22. 某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
（1）该企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？
23. 如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于点C，交⊙O于D．
（1）求证AE平分∠BAC；
（2）若OA＝5，EC＝4，求AD的长．
24. 已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线y＝x+t于点Q．
①若点P在第二象限内，t＝3，PQ＝6，求点P的坐标；
②若恰好存在三个点P，使得PQ＝，求t的值．
25. 数学兴趣小组开展实践探究活动，将三角形ABC纸片沿某条直线折叠，使其中一个角的顶点落在一边上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AB上点N重合，求BM的长
（2）如图2，若∠ACB＝2∠A，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AC上的点N重合，
①求AC长；
②若O是AC的中点，P为线段ON上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，与相交于点，则的取值范围为．
26. 对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，记作d（P，Q）．
（1）记二次函数y＝x2﹣2x+3的图象为图形P，则d（x轴，P）＝ ；
（2）如图1，已知反比例函数的图象为图形Q，直线l的函数解析式为,若d（1，Q）＝，求b的值；
（3）如图2，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（0，4），C（3，﹣2），⊙T的圆心为（t，0），半径为2，若d（⊙T，△ABC）＝m，当时，求t的取值范围．
答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 反比例函数y＝﹣图象位于（ ）
A. 第一、三象限 B. 第一、四象限
C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限．
【详解】解：∵y＝﹣，k＝﹣1＜0，
∴函数图象过二、四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题关键是明确反比例函数y＝，k＞0，图象位于一、三象限；k＜0，图象位于二、四象限．
2. 将三个相同的正方体搭成如图所示的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可．
【详解】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查了三种视图中的主视图，正确理解主视图的定义，树立空间观念是解题关键．
3. 已知为锐角，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得α的值．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握几个特殊角的三角函数值是解题的关键．
4. 抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为（ ）
A. x＝1 B. x＝﹣1 C. x＝2 D. y轴
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 进行计算即可以得出答案．
【详解】解：抛物线y＝﹣x2+2x中，a=-1，b=2，
抛物线y＝﹣x2+2的对称轴是直线．
故选A．
【点睛】此题考查了抛物线的对称轴的求法，能够熟练运用公式法求解，也能够运用配方法求解．
5. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，，∠AOB＝36°，则∠CED的度数为（ ）
A. 72° B. 36° C. 18° D. 16°
【答案】C
【解析】
【分析】点A，B，C，D，E在⊙O上，，∠AOB＝36°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠CED的度数．
【详解】解：点A，B，C，D，E在⊙O上，，∠AOB＝36°，
∴．
故选C．
【点睛】此题考查了圆周角定理．熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半这一定理是解题的关键．
6. 如图，坡角为α的斜坡AB长5米，若tanα＝，则BC的长为（ ）
A. 米 B. 5米 C. 10米 D. 5米
【答案】B
【解析】
【分析】设BC＝x米，根据正切的定义用x表示出AC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设BC＝x米，
∵tanα＝，
∴＝，
∴AC＝2x米，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即（5）2＝x2+（2x）2，
解得：x1＝5，x2＝﹣5（舍去），
则BC＝5米，
故选：B．
【点睛】本题考查度数解直角三角形的应用—坡度坡角问题，准确掌握正切的定义是解题的关键．
7. 如图，网格中的每个小正方形边长为1，点A，B都在小正方形的顶点上，线段AB与网格线MN交于点C，则AC的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用A字模型相似三角形证明△ANC∽△ADB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：
AB= =5，
∵CN//BD，
∴∠ANC=∠ADB，∠ACN=∠ABD，
∴△ANC∽△ADB，
∴，
∴，
∴AC=，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
8. 如图所示，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，且DEBC，EFAB．如果△ADE的面积为2，△CEF的面积为8，则四边形BFED的面积是（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件证明．相似三角形面积比等于相似比的平方可得，设，则，．再证明，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可得结论．
【详解】解：，，
，，，
，
．
，
而，，
，
设，则，．
则，
设；
，
，
，
即，
解得：，
即四边形的面积为8．
故选：B．
【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．
9. 点A（m，y1），B（n，y2）均在抛物线y＝（x﹣h）2+7上，若|m﹣h|＞|n﹣h|，则下列说法正确的是（ ）
A. y1+y2＝0 B. y1﹣y2＝0 C. y1﹣y2＜0 D. y1﹣y2＞0
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．
【详解】解： y＝（x﹣h）2+7
抛物线的开口向上，对称轴为x=h，
|m﹣h|＞|n﹣h|，
点A与对称轴的距离大于点B与对称轴的距离，
y
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