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中考数学模拟题汇总《锐角三角函数》练习题
(含答案)
一、填空题
1.如图,正方形ABCD中,将线段BC绕点C顺时针旋转60°得到线段CE,连接BE、DE,若正方形边长为2,则图中阴影部分的面积是 _____.
2.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构,是市民周末休闲的好去处.如图,如果该摩天轮的直径为88米,最高点距地面100米,匀速运行一圈所需的时间是18分钟.但受周边建筑物影响,如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期,那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为________分钟.
二、解答题
3.计算:.
4.计算:.
5.计算:.
6.计算:.
7.计算:.
8.计算:.
9.(如图,△ABC中,∠ACB=90°,点D为AB边中点,过D点作AB的垂线交BC于点E,在直线DE上截取DF,使DF=ED,连接AE、AF、BF.
(1)求证:四边形AEBF是菱形;
(2)若cos∠EBF=,BF=5,连接CD,求CD的长.
10.如图,在矩形中,,相交于点O,,.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,求四边形的面积.
11.如图,在△ABC中,BA=BC,BD平分∠ABC交AC于点D,点E在线段BD上,点F在BD的延长线上,且DE=DF,连接AE,CE,AF,CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若BA⊥AF,AD=4,,求BD和AE的长.
12.如图,在四边形ABCD中,,,垂足为O,过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形;
(2)若AC=4,AD=2,,求BC的长.
13.如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E,过点C作CFEB交AB的延长线于点F.
(1)求证:四边形BFCE是矩形;
(2)连接AC,若AB=BE=2,,求AC的长
14.如图,BE是⊙O直径,点A是⊙O外一点:OA⊥OB,AP切⊙O于点P,连接BP交AO于点C.
(1)求证:∠PAO=2∠PBO;
(2)若⊙O的半径为5,,求BP的长.
15.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,连接AC、BC,过O作OF∥AC,交BC于G,交DC于F.
(1)求证:∠DCB=∠DOF;
(2)若tan∠A=,BC=4,求OF、DF的长.
16.如图,为的直径,C为上一点,和过点C的切线互相垂直,垂足为D.
(1)求证:平分;
(2)若,,求的长.
17.如图,是的外接圆,AB是的直径,点D为的中点,的切线DE交OC延长线于点E.
(1)求证:;
(2)连接BD交AC于点P,若,,求DE和BP的长.
18.(2022·北京西城·一模)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点F在弧BC上,AF与CD交于点G,点H在DC的延长线上,且HG=HF,延长HF交AB的延长线于点M.
(1)求证:HF是⊙O的切线;
(2)若,BM=1,求AF的长.
19.如图1,⊙I与直线a相离,过圆心I作直线a的垂线,垂足为H,且交⊙I于P,Q两点(Q在P,H之间).我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”,把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”.
(1)如图2,在平面直角坐标系xOy中,点E的坐标为(0,4),半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A,B,C,D.
①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点__________________(填“A”,“B”,“C”或“D”),⊙O关于直线m的“特征数”为_____________;
②若直线n的函数表达式为,求⊙O关于直线n的“特征数”;
(2)在平面直角坐标系xOy、中,直线l经过点M(1,4),点F是坐标平面内一点,以F为圆心,为半径作⊙F.若⊙F与直线l相离,点N(–1,0)是⊙F关于直线l的“远点”,且⊙F关于直线l的“特征数”是,直接写出直线l的函数解析式.
20.(2022·北京朝阳·一模)在平面直角坐标系中,对于直线,给出如下定义:若直线与某个圆相交,则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”.
(1)如图1,的半径为1,当k=1,b=1时,直接写出直线关于的“圆截距”;
(2)点M的坐标为,
①如图2,若的半径为1,当时,直线关于的“圆截距”小于,求k的取值范围;
②如图3,若的半径为2,当k的取值在实数范围内变化时,直线关于的“圆截距”的最小值为2,直接写出b的值.
21.我们规定:在平面直角坐标系中,如果点到原点的距离为,点到点的距离是的整数倍,那么点就是点的倍关联点.
(1)当点的坐标为时,
①如果点的2倍关联点在轴上,那么点的坐标是 ;
②如果点是点的倍关联点,且满足,.那么的最大值为________;
(2)如果点的坐标为,且在函数的图象上存在的2倍关联点,求的取值范围.
22.在平面直角坐标系中,的半径为2.对于直线和线段BC,给出如下定义:若将线段BC沿直线l翻折可以得到的弦(,分别是B,C的对应点),则称线段BC是以直线l为轴的的“关联线段”.例如:在图1中,线段BC的是以直线l为轴的的“关联线段”.
(1)如图2,点,,,,,的横、纵坐标都是整数.在线段,,中,以直线l为轴的的“关联线段”是______;
(2)△ABC是边长为a的等边三角形,点,若BC是以直线l为轴的的“关联线段”,求a的值;
(3)如果经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”,直接写出这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围.
参考答案
1.
【解析】
【分析】
由旋转的性质可知 ,,,,到边上的高;到边上的高,根据,计算求解即可.
【详解】
解:由题意知 ,
∵
∴
∴到边上的高;到边上的高
∴
故答案为: .
【点睛】
本题考查了旋转的性质,正方形的性质,正弦等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.
2.12
【解析】
【分析】
先计算出圆的底端距离地面的距离为12,从而得到圆的底部到弦的距离为22,从而计算出弦所对的圆心角,用弧长公式计算劣弧的长,周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长,除以运动速度即可.
【详解】
解:如下图所示,
根据题意,得OC=44,CD=AD-AC=100-88=12,ED=34,
∴CE=ED-CD=34-12=22,
∴OE=OC-CE=44-22=22,
在直角三角形OEF中,sin∠OFE==,
∴∠OFE=30°,
∴∠FOE=60°,
∴∠FOB=120°,
∴,
∵圆转动的速度为,
∴最佳观赏时长为÷=12(分钟),
故答案为:12.
【点睛】
本题考查了垂径定理,弧长公式,特殊角的三角函数,解题的关键是熟练掌握弧长公式,灵活运用特殊角的三角函数.
3.
【解析】
【分析】
根据特殊角三角函数值,负整数指数幂,绝对值,以及二次根式的性质进行求解即可.
【详解】
解:
.
【点睛】
本题主要考查了特殊角三角函数值,负整数指数幂,绝对值,以及二次根式的性质,实数的运算,熟知相关计算法则是解题的关键.
4.5
【解析】
【分析】先根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂及二次根式的性质进行化简计算,再按照从左到右的运算顺序计算即可.
【详解】
原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算,涉及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂及二次根式的性质,熟练掌握运算法则及顺序是解题的关键.
5.
【解析】
【分析】根据特殊三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的法则、二次根式的化简进行计算即可.
【详解】
解:
=2×-4 +1-
=-4 +1-
【点睛】本题考查了特殊三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的法则、二次根式的运算等知识,熟练掌握运算法则是解题的关键.
6.-1
【解析】
【分析】根据实数的计算,把各个部分的值求出来进行计算即可.
【详解】
解:原式=
=
=-1.
【点睛】
本题考查了实数的混合运算,准确记忆特殊角的锐角三角函数值、绝对值化简、零指数幂、二次根式的化简是解题的关键.
7.
【解析】
【分析】先分别根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值的性质及0指数幂的计算法则,计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
【详解】
解:原式.
【点睛】本题考查的是实数的运算,熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质是解答此题的关键.
8.3
【解析】【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案.
【详解】解:原式
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值、实数运算,正确化简各数是解题关键.
9.(1)见解析
(2)25
【解析】
【分析】(1)根据菱形的判定条件:对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行证明即可;
(2)先证明∠AEC=∠EBF,从而求出CE=3,,BC =8,利用勾股定理求出AB的长,即可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长.
(1)解:∵D是AB的中点,
∴AD=BD,
∵DE=DF,
∴四边形AEBF是平行四边形,
∵EF⊥AB,
∴四边形AEBF是菱形;
(2)解:∵四边形AEBF是菱形,
∴,AE=BF=BE=5,
∴∠AEC=∠EBF,
∵∠ACB=90°,
∴,
∴CE=3,
∴,BC=CE+BE=8,
∴,
∵D是AB的中点,∠ACB=90°,
∴.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定,勾股定理,解直角三角形,直角三角形斜边上的中线,熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键.
10.(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)根据矩形的性质得出OA=OB,进而利用菱形的判定解答即可;
(2)根据菱形的性质及面积公式,解直角三角形即可求得.
(1)证明:,
四边形AEBO是平行四边形
又四边形ABCD是矩形
,,
四边形AEBO是菱形
(2)解:如图:连接EO,交AB于点F
四边形ABCD是矩形
,,
又
是等边三角形,
四边形AEBO是菱形
,
四边形的面积为:
【点睛】本题考查了矩形的性质,菱形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,解直角三角形,作出辅助线是解决本题的关键.
11.(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)由等腰三角形的性质得到,再由菱形的判定定理即可得到结论;
(2)先求出 ,由勾股定理得出BD的长度,解直角三角形求出AF的长度,再由菱形的性质即可求解.
(1) BA=BC,BD平分∠ABC
DE=DF
四边形AECF是菱形;
(2),BA⊥AF
,BA=BC
AD=4
在 中,
四边形AECF是菱形
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值,熟练掌握知识点是解题的关键.
12.(1)证明见解析
(2)BC的长为
【解析】
【分析】(1)先判定,再根据题中所给的条件即可利用平行四边形判定定理证出;
(2)根据三角函数值设,,利用平行四边形性质得到平行及线段相等,从而根据确定的相似比代值求解即可.
(1)证明:,,
,
,
在四边形ABCD中,,
四边形ACED是平行四边形;
(2)解:在中,,设,,
在中,,,,
,
,即,解得(舍弃)或,
.
【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数
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