中考数学模拟题汇总《锐角三角函数》练习题

中考数学模拟题汇总《锐角三角函数》练习题 （含答案） 一、填空题 1．如图，正方形ABCD中，将线段BC绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接BE、DE，若正方形边长为2，则图中阴影部分的面积是 _____． 2．京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处．如图，如果该摩天轮的直径为88米，最高点距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟．但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为________分钟．     二、解答题 3．计算：． 4．计算：． 5．计算：． 6．计算：． 7．计算：． 8．计算：． 9．（如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF． (1)求证：四边形AEBF是菱形； (2)若cos∠EBF＝，BF＝5，连接CD，求CD的长． 10．如图，在矩形中，，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 11．如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF． (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的长． 12．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E． (1)求证：四边形ACED是平行四边形； (2)若AC=4，AD=2，，求BC的长． 13．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，过点C作CFEB交AB的延长线于点F． (1)求证：四边形BFCE是矩形； (2)连接AC，若AB=BE=2，，求AC的长 14．如图，BE是⊙O直径，点A是⊙O外一点：OA⊥OB，AP切⊙O于点P，连接BP交AO于点C． (1)求证：∠PAO=2∠PBO； (2)若⊙O的半径为5，，求BP的长． 15．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F． (1)求证：∠DCB＝∠DOF； (2)若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的长． 16．如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 17．如图，是的外接圆，AB是的直径，点D为的中点，的切线DE交OC延长线于点E． (1)求证：； (2)连接BD交AC于点P，若，，求DE和BP的长． 18．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M． (1)求证：HF是⊙O的切线； (2)若，BM=1，求AF的长． 19．如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”． (1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D． ①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_____________； ②若直线n的函数表达式为，求⊙O关于直线n的“特征数”； (2)在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（–1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，直接写出直线l的函数解析式． 20．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． (1)如图1，的半径为1，当k=1,b=1时，直接写出直线关于的“圆截距”； (2)点M的坐标为， ①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围； ②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值． 21．我们规定：在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为，点到点的距离是的整数倍，那么点就是点的倍关联点． (1)当点的坐标为时， ①如果点的2倍关联点在轴上，那么点的坐标是 ； ②如果点是点的倍关联点，且满足，．那么的最大值为________； (2)如果点的坐标为，且在函数的图象上存在的2倍关联点，求的取值范围． 22．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线和线段BC，给出如下定义：若将线段BC沿直线l翻折可以得到的弦（，分别是B，C的对应点），则称线段BC是以直线l为轴的的“关联线段”．例如：在图1中，线段BC的是以直线l为轴的的“关联线段”． (1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，以直线l为轴的的“关联线段”是______； (2)△ABC是边长为a的等边三角形，点，若BC是以直线l为轴的的“关联线段”，求a的值； (3)如果经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，直接写出这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围． 参考答案 1． 【解析】 【分析】 由旋转的性质可知 ，，，，到边上的高；到边上的高，根据，计算求解即可． 【详解】 解：由题意知 ， ∵ ∴ ∴到边上的高；到边上的高 ∴ 故答案为：   ． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．12 【解析】 【分析】 先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可． 【详解】 解：如下图所示， 根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34， ∴CE=ED-CD=34-12=22， ∴OE=OC-CE=44-22=22， 在直角三角形OEF中，sin∠OFE==， ∴∠OFE=30°， ∴∠FOE=60°， ∴∠FOB=120°， ∴， ∵圆转动的速度为， ∴最佳观赏时长为÷=12（分钟）， 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，解题的关键是熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数． 3． 【解析】 【分析】 根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，以及二次根式的性质进行求解即可． 【详解】 解： ． 【点睛】 本题主要考查了特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，以及二次根式的性质，实数的运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 4．5 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂及二次根式的性质进行化简计算，再按照从左到右的运算顺序计算即可． 【详解】 原式 【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂及二次根式的性质，熟练掌握运算法则及顺序是解题的关键． 5． 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的法则、二次根式的化简进行计算即可． 【详解】 解： ＝2×－4 ＋1－ ＝－4 ＋1－ 【点睛】本题考查了特殊三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的法则、二次根式的运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．-1 【解析】 【分析】根据实数的计算，把各个部分的值求出来进行计算即可． 【详解】 解：原式= = =-1． 【点睛】 本题考查了实数的混合运算，准确记忆特殊角的锐角三角函数值、绝对值化简、零指数幂、二次根式的化简是解题的关键． 7． 【解析】 【分析】先分别根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值的性质及0指数幂的计算法则，计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】 解：原式． 【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质是解答此题的关键． 8．3 【解析】【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值、实数运算，正确化简各数是解题关键． 9．(1)见解析 (2)25 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定条件：对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行证明即可； （2）先证明∠AEC=∠EBF，从而求出CE=3，，BC =8，利用勾股定理求出AB的长，即可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长． (1)解：∵D是AB的中点， ∴AD=BD， ∵DE=DF， ∴四边形AEBF是平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴四边形AEBF是菱形； (2)解：∵四边形AEBF是菱形， ∴，AE=BF=BE=5， ∴∠AEC=∠EBF， ∵∠ACB=90°， ∴， ∴CE=3， ∴，BC=CE+BE=8， ∴， ∵D是AB的中点，∠ACB=90°， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键． 10．(1)见解析 (2) 【解析】 【分析】(1)根据矩形的性质得出OA=OB，进而利用菱形的判定解答即可； (2)根据菱形的性质及面积公式，解直角三角形即可求得． (1)证明：， 四边形AEBO是平行四边形 又四边形ABCD是矩形 ，， 四边形AEBO是菱形 (2)解：如图：连接EO，交AB于点F 四边形ABCD是矩形 ，， 又 是等边三角形， 四边形AEBO是菱形 ， 四边形的面积为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键． 11．(1)见解析 (2) 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由菱形的判定定理即可得到结论； （2）先求出 ，由勾股定理得出BD的长度，解直角三角形求出AF的长度，再由菱形的性质即可求解． (1) BA=BC，BD平分∠ABC DE=DF 四边形AECF是菱形； (2)，BA⊥AF ，BA=BC AD=4 在 中， 四边形AECF是菱形 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 12．(1)证明见解析 (2)BC的长为 【解析】 【分析】（1）先判定，再根据题中所给的条件即可利用平行四边形判定定理证出； （2）根据三角函数值设，，利用平行四边形性质得到平行及线段相等，从而根据确定的相似比代值求解即可． (1)证明：，， ， ， 在四边形ABCD中，， 四边形ACED是平行四边形； (2)解：在中，，设，， 在中，，，， ， ，即，解得（舍弃）或， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数