中考数学模拟题汇总《解答题》练习题(提升篇)

中考数学模拟题汇总《解答题》练习题(提升篇) （含答案解析） 一．一元一次不等式的应用（共1小题） 1．某学校准备购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元． （1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？ （2）根据学校的实际情况，需购买足球和篮球共96个，并且总费用不超过5720元．问最多可以购买多少个篮球？ 二．二次函数综合题（共6小题） 2．如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B． （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）设点Q（异于C点）是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使S△QAB＝S△CAB．若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝+bx+c与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，AB⊥y轴于点B．△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，连接DE．当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2． （1）求该抛物线的解析式； （2）求证：四边形OBED是矩形； （3）在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当△DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP．使得∠OPD+∠DOE＝90°，求点P的坐标． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2kx+2k2+1与x轴的左交点为A，右交点为B，与y轴的交点为C，对称轴为直线l，对于抛物线上的两点（x1，y1），（x2，y2）（x1＜k＜x2），当x1+x2＝2时，y1﹣y2＝0恒成立． （1）求该抛物线的解析式； （2）点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作MN⊥AC于点N，求线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标； （3）点P是直线l右侧抛物线上的一点，PQ⊥l于点Q，AP交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PQF与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 5．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E． （1）求这个二次函数的表达式： （2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； （3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标． 6．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC． （1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式； （2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； （3）点P是抛物线图象上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，直接写出点P的坐标． 7．如图，已知直线AB：y＝kx+b与抛物线y＝tx﹣t相交于点、点B，点B在x轴上，且对于任意实数x，不等式恒成立． （1）求该抛物线及直线AB的解析式； （2）点M为该抛物线上的一点，过点M作MN⊥x轴于点N，过点A作AH⊥x轴于点H，当以点M、N、B为顶点的三角形与△AHB相似，直接写出满足条件的全部点M的横坐标，并选取其中两种情况写出解答过程； （3）试问，在抛物线y＝tx﹣t上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△AOB的面积的2倍？如果存在，请直接写出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 三．四边形综合题（共2小题） 8．如图甲，在△ABC中．∠ACB＝90°．AC＝4．BC＝3．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动．同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动．它们的速度均为每秒钟1个单位长度．连接PQ，设运动时间为t秒钟（0＜t＜4）． （1）设△APQ的面积为S，当实数t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？ （2）在（1）的前提下．当S取得最大值时．把此时的△APQ沿射线AC以每秒钟1个单位长度的速度平移，当点A平移至与点C重合时停止，写出平移过程中，△APQ与△ABC的重叠部分面积y与平移时间x的函数解析式，并写出对应的x的取值范围； （3）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求实数t的值． 9．在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F． （1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC； （2）如图2，当AD＝25，且AE＜DE时，求的值； （3）如图3，当BE•EF＝108时，求BP的值． 四．圆的综合题（共5小题） 10．如图，AB是圆O的直径，弦CD与AB交于点H，∠BDC＝∠CBE． （1）求证：BE是圆O的切线； （2）若CD⊥AB，AC＝2，BH＝3，求劣弧BC的长； （3）如图，若CD∥BE，作DF∥BC，满足BC＝2DF，连接FH、BF，求证：FH＝BF． 11．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，E是BC的中点，连接AC，AE，DE，DE交AC于点F，且此时∠AED＝90°． （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）求证：以BC为直径的⊙E与AD相切； （3）对角线AC交⊙E于点G，AB＝6，BC＝8，求AF的长． 12．如图1，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F． （1）求证：△BFN∽△BCP； （2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写作法）； ②随着点P在CD上运动，当①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，如图3，若AB＝4，求DP的长． （3）在②的条件下，点Q是⊙O上的动点，则AQ的最小值为 　 　． 13．如图，在等边△ABC中，M是边BC延长线上一点，连接AM交△ABC的外接圆于点D，延长BD至N，使得BN＝AM，连接CN、MN， （1）猜想△CMN的形状，并证明你的结论； （2）请你证明CN是⊙O的切线； （3）若AD：AB＝3：4，BN＝8，求等边△ABC的面积． 14．如图，已知点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，点D是弧AB上一点，连接并延长BD交过点A且平行于BC的射线于点E． （1）求证：DA平分∠CDE； （2）判断直线AE与⊙O的位置关系，并证明； （3）若DE＝3，BD＝6，AD＝5，求AC的长． 五．相似三角形的判定与性质（共1小题） 15．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），CE的延长线交AD于点F，连接AE． （1）求证：△ABE∽△FDE； （2）当BE＝3DE时，求tan∠1的值． 参考答案与试题解析 一．一元一次不等式的应用（共1小题） 1．某学校准备购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元． （1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？ （2）根据学校的实际情况，需购买足球和篮球共96个，并且总费用不超过5720元．问最多可以购买多少个篮球？ 【解答】解：（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元， 根据题意得：， 解得：， 答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元； （2）设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球， 根据题意得：80a+50（96﹣a）≤5720， 解得：a≤， ∵a是整数， ∴a≤30， 答：最多可以购买30个篮球． 二．二次函数综合题（共6小题） 2．如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B． （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）设点Q（异于C点）是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使S△QAB＝S△CAB．若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4， 把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3； （2）存在， 如图2，连接OP， 设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3）， S△PAB＝S△OBP+S△AOP﹣S△AOB ＝•3x+•3（﹣x2+2x+3）﹣×3×3 ＝﹣x2+x ＝﹣（x2﹣3x+﹣） ＝﹣（x﹣）2+， ∵﹣＜0， ∴当x＝时，△PAB的面积最大，此时P（，）； （3）存在， 分两种情况： ①当Q在AB的上方时，如图3，过点C作CD∥AB，交抛物线于Q，连接QB，QA，此时S△ACB＝S△QAB， 设CD的解析式为：y＝﹣x+m， 把C（1，4）代入得：4＝﹣1+m， ∴m＝5， ∴﹣x2+2x+3＝﹣x+5， 解得：x1＝1，x2＝2， ∵点Q与点C不重合， ∴Q（2，3）； ②当Q在AB的下方时， 由①知：直线CD与y轴的交点为（0，5），即直线AB向上平移2个单位， ∴将直线AB向下平移2个单位得到y＝﹣x+1， ∴﹣x2+2x+3＝﹣x+1， 解得：x1＝，x2＝， ∴Q（，）或（，）． 综上，点Q的坐标是（2，3）或（，）或（，）． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝+bx+c与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，AB⊥y轴于点B．△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，连接DE．当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2． （1）求该抛物线的解析式； （2）求证：四边形OBED是矩形； （3）在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当△DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP．使得∠OPD+∠DOE＝90°，求点P的坐标． 【解答】（1）解：∵当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2， ∴抛物线与x轴的两个交点为（2，0），（﹣，0）， ∴， 解得， ∴y＝﹣x﹣1； （2）证明：由（1）可知D（2，0），C（0，﹣1）， ∴OD＝2，OC＝1， ∵AB⊥y轴， ∴△ABC是直角三角形， ∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE， ∴OB⊥BE，AB＝OB， 设A（﹣m，m）， ∴m＝m2﹣m﹣1， 解得m＝﹣1或m＝， ∴A（﹣1，1）， ∴BO＝1， ∴BC＝BE＝2， ∴BE＝OD， ∵∠BOD＝90°， ∴BE∥OD， ∴四边形OBED是矩形； （3）∵E（2，1）， ∴直线OE的解析式为y＝x， 设N（n，0），则F（n，n）， ∴S＝×DN×FN＝×（2﹣n）×n＝﹣（n﹣1）2+， ∵N在线段OD上， ∴0≤n≤