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中考数学模拟题汇总《解答题》练习题(提升篇)
(含答案解析)
一.一元一次不等式的应用(共1小题)
1.某学校准备购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同,每个篮球的价格相同),若购买2个足球和3个篮球共需340元,购买5个足球和2个篮球共需410元.
(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元?
(2)根据学校的实际情况,需购买足球和篮球共96个,并且总费用不超过5720元.问最多可以购买多少个篮球?
二.二次函数综合题(共6小题)
2.如图,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使S△PAB面积最大,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)设点Q(异于C点)是抛物线上的一个动点,是否存在一点Q,使S△QAB=S△CAB.若存在,直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=+bx+c与x轴的正半轴交于点D,与y轴交于点C,点A在抛物线上,AB⊥y轴于点B.△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE,连接DE.当+bx+c<0时,x的取值范围是﹣<x<2.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求证:四边形OBED是矩形;
(3)在线段OD上找一点N,过点N作直线m垂直x轴,交OE于点F,连接DF,当△DNF的面积取得最大值时,求点N的坐标,在此基础上,在直线m上找一点P,连接OP、DP.使得∠OPD+∠DOE=90°,求点P的坐标.
4.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=﹣x2+2kx+2k2+1与x轴的左交点为A,右交点为B,与y轴的交点为C,对称轴为直线l,对于抛物线上的两点(x1,y1),(x2,y2)(x1<k<x2),当x1+x2=2时,y1﹣y2=0恒成立.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点,过点M作MN⊥AC于点N,求线段MN的最大值,并求出此时点M的坐标;
(3)点P是直线l右侧抛物线上的一点,PQ⊥l于点Q,AP交直线l于点F,是否存在这样的点P,使△PQF与△ACO相似?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
5.二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C,顶点为E.
(1)求这个二次函数的表达式:
(2)如图①,D是该二次函数图象的对称轴上一个动点,当BD的垂直平分线恰好经过点C时,求点D的坐标;
(3)如图②,P是该二次函数图象上的一个动点,连接OP,取OP中点Q,连接QC,QE,CE,当△CEQ的面积为12时,求点P的坐标.
6.如图,抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知A,C两点坐标分别是A(1,0),C(0,﹣2),连接AC,BC.
(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式;
(2)将△ABC沿BC所在直线折叠,得到△DBC,点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上,若点D在对称轴上,请求出点D的坐标;若点D不在对称轴上,请说明理由;
(3)点P是抛物线图象上的一动点,当∠PCB=∠ABC时,直接写出点P的坐标.
7.如图,已知直线AB:y=kx+b与抛物线y=tx﹣t相交于点、点B,点B在x轴上,且对于任意实数x,不等式恒成立.
(1)求该抛物线及直线AB的解析式;
(2)点M为该抛物线上的一点,过点M作MN⊥x轴于点N,过点A作AH⊥x轴于点H,当以点M、N、B为顶点的三角形与△AHB相似,直接写出满足条件的全部点M的横坐标,并选取其中两种情况写出解答过程;
(3)试问,在抛物线y=tx﹣t上是否存在点Q,使得△QAB的面积等于△AOB的面积的2倍?如果存在,请直接写出点Q的坐标,如果不存在,请说明理由.
三.四边形综合题(共2小题)
8.如图甲,在△ABC中.∠ACB=90°.AC=4.BC=3.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动.同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动.它们的速度均为每秒钟1个单位长度.连接PQ,设运动时间为t秒钟(0<t<4).
(1)设△APQ的面积为S,当实数t为何值时,S取得最大值?S的最大值是多少?
(2)在(1)的前提下.当S取得最大值时.把此时的△APQ沿射线AC以每秒钟1个单位长度的速度平移,当点A平移至与点C重合时停止,写出平移过程中,△APQ与△ABC的重叠部分面积y与平移时间x的函数解析式,并写出对应的x的取值范围;
(3)如图乙,连接PC,将△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,当四边形PQP′C为菱形时,求实数t的值.
9.在矩形ABCD中,AB=12,P是边AB上一点,把△PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点是点G,过点B作BE⊥CG,垂足为E且在AD上,BE交PC于点F.
(1)如图1,若点E是AD的中点,求证:△AEB≌△DEC;
(2)如图2,当AD=25,且AE<DE时,求的值;
(3)如图3,当BE•EF=108时,求BP的值.
四.圆的综合题(共5小题)
10.如图,AB是圆O的直径,弦CD与AB交于点H,∠BDC=∠CBE.
(1)求证:BE是圆O的切线;
(2)若CD⊥AB,AC=2,BH=3,求劣弧BC的长;
(3)如图,若CD∥BE,作DF∥BC,满足BC=2DF,连接FH、BF,求证:FH=BF.
11.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,E是BC的中点,连接AC,AE,DE,DE交AC于点F,且此时∠AED=90°.
(1)求证:△ABE∽△ECD;
(2)求证:以BC为直径的⊙E与AD相切;
(3)对角线AC交⊙E于点G,AB=6,BC=8,求AF的长.
12.如图1,将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,顶点B恰好与CD边上的动点P重合(点P不与点C,D重合),折痕为MN,点M,N分别在边AD,BC上,连接MB,MP,BP,BP与MN相交于点F.
(1)求证:△BFN∽△BCP;
(2)①在图2中,作出经过M,D,P三点的⊙O(要求保留作图痕迹,不写作法);
②随着点P在CD上运动,当①中的⊙O恰好与BM,BC同时相切,如图3,若AB=4,求DP的长.
(3)在②的条件下,点Q是⊙O上的动点,则AQ的最小值为 .
13.如图,在等边△ABC中,M是边BC延长线上一点,连接AM交△ABC的外接圆于点D,延长BD至N,使得BN=AM,连接CN、MN,
(1)猜想△CMN的形状,并证明你的结论;
(2)请你证明CN是⊙O的切线;
(3)若AD:AB=3:4,BN=8,求等边△ABC的面积.
14.如图,已知点O是△ABC的外接圆的圆心,AB=AC,点D是弧AB上一点,连接并延长BD交过点A且平行于BC的射线于点E.
(1)求证:DA平分∠CDE;
(2)判断直线AE与⊙O的位置关系,并证明;
(3)若DE=3,BD=6,AD=5,求AC的长.
五.相似三角形的判定与性质(共1小题)
15.如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上任意一点(BE>DE),CE的延长线交AD于点F,连接AE.
(1)求证:△ABE∽△FDE;
(2)当BE=3DE时,求tan∠1的值.
参考答案与试题解析
一.一元一次不等式的应用(共1小题)
1.某学校准备购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同,每个篮球的价格相同),若购买2个足球和3个篮球共需340元,购买5个足球和2个篮球共需410元.
(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元?
(2)根据学校的实际情况,需购买足球和篮球共96个,并且总费用不超过5720元.问最多可以购买多少个篮球?
【解答】解:(1)设购买一个足球需要x元,购买一个篮球需要y元,
根据题意得:,
解得:,
答:购买一个足球需要50元,购买一个篮球需要80元;
(2)设购买a个篮球,则购买(96﹣a)个足球,
根据题意得:80a+50(96﹣a)≤5720,
解得:a≤,
∵a是整数,
∴a≤30,
答:最多可以购买30个篮球.
二.二次函数综合题(共6小题)
2.如图,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使S△PAB面积最大,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)设点Q(异于C点)是抛物线上的一个动点,是否存在一点Q,使S△QAB=S△CAB.若存在,直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)如图1,设抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)2+4,
把A(3,0)代入解析式求得a=﹣1,
∴y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3,
当x=0时,y=3,
∴B(0,3),
设直线AB的解析式为:y=kx+b,
把A(3,0),B(0,3)代入y=kx+b中,得:,
解得:,
∴直线AB的解析式为:y=﹣x+3;
(2)存在,
如图2,连接OP,
设P(x,﹣x2+2x+3)(0<x<3),
S△PAB=S△OBP+S△AOP﹣S△AOB
=•3x+•3(﹣x2+2x+3)﹣×3×3
=﹣x2+x
=﹣(x2﹣3x+﹣)
=﹣(x﹣)2+,
∵﹣<0,
∴当x=时,△PAB的面积最大,此时P(,);
(3)存在,
分两种情况:
①当Q在AB的上方时,如图3,过点C作CD∥AB,交抛物线于Q,连接QB,QA,此时S△ACB=S△QAB,
设CD的解析式为:y=﹣x+m,
把C(1,4)代入得:4=﹣1+m,
∴m=5,
∴﹣x2+2x+3=﹣x+5,
解得:x1=1,x2=2,
∵点Q与点C不重合,
∴Q(2,3);
②当Q在AB的下方时,
由①知:直线CD与y轴的交点为(0,5),即直线AB向上平移2个单位,
∴将直线AB向下平移2个单位得到y=﹣x+1,
∴﹣x2+2x+3=﹣x+1,
解得:x1=,x2=,
∴Q(,)或(,).
综上,点Q的坐标是(2,3)或(,)或(,).
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=+bx+c与x轴的正半轴交于点D,与y轴交于点C,点A在抛物线上,AB⊥y轴于点B.△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE,连接DE.当+bx+c<0时,x的取值范围是﹣<x<2.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求证:四边形OBED是矩形;
(3)在线段OD上找一点N,过点N作直线m垂直x轴,交OE于点F,连接DF,当△DNF的面积取得最大值时,求点N的坐标,在此基础上,在直线m上找一点P,连接OP、DP.使得∠OPD+∠DOE=90°,求点P的坐标.
【解答】(1)解:∵当+bx+c<0时,x的取值范围是﹣<x<2,
∴抛物线与x轴的两个交点为(2,0),(﹣,0),
∴,
解得,
∴y=﹣x﹣1;
(2)证明:由(1)可知D(2,0),C(0,﹣1),
∴OD=2,OC=1,
∵AB⊥y轴,
∴△ABC是直角三角形,
∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE,
∴OB⊥BE,AB=OB,
设A(﹣m,m),
∴m=m2﹣m﹣1,
解得m=﹣1或m=,
∴A(﹣1,1),
∴BO=1,
∴BC=BE=2,
∴BE=OD,
∵∠BOD=90°,
∴BE∥OD,
∴四边形OBED是矩形;
(3)∵E(2,1),
∴直线OE的解析式为y=x,
设N(n,0),则F(n,n),
∴S=×DN×FN=×(2﹣n)×n=﹣(n﹣1)2+,
∵N在线段OD上,
∴0≤n≤
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