高考数学三轮冲刺压轴小题18 解析几何与平面向量相结合问题 (解析版)

解析几何与平面向量相结合问题 一．方法综述 向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。它们具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.  二．解题策略 类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题 【例1】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【来源】陕西省西安市长安区2021届高三下学期二模理科数学试题 【答案】A 【解析】依题意， 所以，，设直线的倾斜角为，则为钝角，，结合解得，设，则，， 将点坐标代入双曲线方程得，而， 所以，化简得， ，， ，，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A 【举一反三】 1.（2020南宁模拟）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，，设，由，得，因为在的渐近线上存在点，则， 即 ， 又因为为双曲线，则，故选B． 【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， ，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键． 2.（2020·四川高考模拟（理））已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵圆：，圆：， 动圆满足与外切且与内切，设圆的半径为 ， 由题意得 ∴则的轨迹是以（ 为焦点，长轴长为16的椭圆， ∴其方程为 因为， 即为圆 的切线，要的最小，只要最小，设，则 ，选A. 3．（2020·江西高考模拟（理））过双曲线 的左焦点 ，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】试题分析：因为，所以，由题意，故， ∵，∴为的中点，令右焦点为，则为的中点，则， ∵，所以，∴，∵， ∴在中，， 即，所以离心率． 类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题 【例2】若椭圆上的点到右准线的距离为，过点的直线与交于两点，且，则的斜率为 A． B． C． D． 【来源】江苏省无锡市八校联盟2020-2021学年高三上学期第三次适应性检测数学试题 【答案】B 【解析】解：由题意可得，解得， 所以椭圆，设：,设 因为，所以，由得 则结合，联立消去解得 故选：B. 【点睛】 在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到： ①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”； ②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多. 【举一反三】 1．（2020·四川高考模拟）已知抛物线：的焦点为，点，直线与抛物线交于点（在第一象限内)，与其准线交于点，若，则点到轴距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为．根据三角形相似可得直线的倾斜角为，从而斜率为，进而可求得，于是可求得点的纵坐标，根据点在曲线上可得其横坐标，即为所求． 【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为，设准线与y轴交于点． 过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则， ∴， ∴, ∴直线的倾斜角为， ∴，解得． 又由得，即， ∴． 设，则， ∴， ∴， 又点在第一象限， ∴，即点到轴距离为．故选B． 2.（2020南充模拟）已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（ ） A． 8 B． 4 C． 2 D． 1 【答案】B 【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB的中点，再求出直线PA，PB斜率的表达式， 算出为定值，再由基本不等式求出最小值． 3．（2020·江西高考模拟（理））双曲线（，）的左右焦点为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线分别交及于，两点，若满足，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】 【详解】∵（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2， ∴F1（﹣c，0），F2（c，0）， 双曲线的两条渐近线方程为yx，yx， ∵过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q． ∵， ∴点P是线段F1Q的中点，且PF1⊥OP， ∴过F1的直线PQ的斜率kPQ， ∴过F1的直线PQ的方程为：y（x+c）， 解方程组，得P（，）， ∴|PF1|＝|PQ|＝b，|PO|＝a，|OF1|＝|OF2|＝|OQ|＝c，|QF2|＝2a， ∵tan∠QOF2，∴cos∠QOF2， 由余弦定理，得cos∠QOF21， 即e2﹣e﹣2＝0， 解得e＝2，或e＝﹣1（舍）故选C． 类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程 【例3】已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于，两点，点是线段的中点，以为直径的圆与轴相交于，两点，若，则（ ） A． B． C． D． 【来源】山西省太原市2021届高三一模数学（理）试题 【答案】A 【解析】如图所示： 法1：由抛物线的焦点坐标可得，所以， 所以抛物线的方程为：， 设直线的方程为：，设，，设A在轴上方， 联立，整理可得：， 可得：①， 由，即， 可得，代入①可得：， 所以， 代入抛物线的方程可得：，， 即，， 所以的中点， 所以，即圆的直径为， 所以圆的方程为， 令，可得， 所以，， 所以， 所以， 法2．由法1可得的中点的横坐标为，半径， 所以 故选：A． 【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点的轨迹方程． 【举一反三】 1．（2020·武汉市实验学校高考模拟）以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别是，已知点的坐标为，双曲线上的点，满足，则 （　　） A．2 B．4 C．1 D． 【答案】A 【解析】作出简图如下 ∵椭圆， ∴其顶点坐标为 焦点坐标为（， ∴双曲线方程为 由，可得在与方向上的投影相等，， ∴直线的方程为．即：， 把它与双曲线联立可得 ，轴，又， 所以，即是 的内切圆的圆心， 故选A． 2.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，且λ+μ＝1，得＝， ∴，即，则C、A、B三点共线． 设C（x，y），则C在AB所在的直线上， ∵A（2，1）、B（4，5）， ∴AB所在直线方程为 ，整理得：． 故P的轨迹方程为：．故选：A. 类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题 【例4】已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，直线过A点且与x轴垂直，P为直线上的任意一点，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【来源】数学-学科网2021年高三5月大联考（广东卷） 【答案】A 【解析】由题意可知，，直线的方程为， 设直线，的倾斜角分别为， 由椭圆的对称性，不妨设点P为第二象限的点，即， 则， ， 当且仅当，即时取等号. ，，且满足，则，，∴， 则的最大值为，故的最大值是. 当P为第二或第四象限的点时，的取值范围是； 当P为x轴负半轴上的点时，. 综上可知，的取值范围为， 故选：A. 【点睛】 关键点睛：本题考查直线与椭圆中的根据向量间的线性关系求角的范围的问题，关键在于设出椭圆上的点的坐标，由向量间的线性关系表示所求的角的三角函数，再运用基本不等式求解范围. 【举一反三】 1.（2020锦州一模）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点， 为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 为与的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为， ， ， 向量的夹角为钝角时， ，又，两边除以得，即，解集，又，故选C． 2.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题 【例6】如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为___________． 【答案】 【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答． 【举一反三】已知是以为焦点的抛物线上的两点，点在第一象限且，以为直径的圆与准线的公共点为，则点的纵坐标为（ ） A．1 B． C． D． 【来源】四川省宜宾市2021届高三二模（理科）试题 【答案】D 【解析】 根据抛物线的定义，可得， ∴， ∴， ∴， 即直线的倾斜角为60°， ∴， 与抛物线联立方程： 解得： 设，因为为圆上的点， 故，， ∴ ∴ ∴ ∴. 故选：D. 三．强化训练 一、选择题 1．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，过点的直线为， 由得，直线代入得 则， 即，，所以，故选B 2．（2020烟台市届高三高考一模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A．12 B． C．24 D． 【答案】C 【解析】设，， ∵、分别为双曲线的左、右焦点， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得，， 设，则， 在中可得， 解得， ∴， ∴的面积. 故选：C． 3．（2020·河南高考模拟（理）），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，取点P为右支上的点，设 根据双曲线的定义知： 在三角形中，由余弦定理可得： 又因为 可得 即 又因为 所以 即 4．（2020·山东高考模拟（理））已知直线过抛物线：的焦点，交于，两点，交的准线于点，若，则（ ） A．3 B