高考数学三轮冲刺压轴小题21 导数中的构造函数 (解析版)

导数中的构造函数 近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，一下问题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结． 【方法综述】 以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“、、”等特征式、解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题． 方法总结： 和与积联系：，构造； ，构造； ，构造；………………… ，构造；，构造．等等． 减法与商联系：如，构造； ，构造；………………… ，构造． ，构造，，构造，……………… ，构造， 奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。（可通过定义得到）构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。 【解答策略】 类型一、巧设“”型可导函数 【例1】已知不相等的两个正实数x，y满足，则下列不等式中不可能成立的是（ ） A． B． C． D． 【来源】广东省佛山市2021届高三下学期二模数学试题 【答案】B 【解析】由已知，因为2log4x＝log2x， 所以原式可变形 令，， 函数 与均为上的增函数，且，且， 当时，由，则，可得， 当时，由，则，可得， 要比较x与y的大小，只需比较 与的大小， 设，则 ，故在上单调递减， 又，， 则存在使得， 所以当时，，当时，， 又因为， 所以当时，，当时，正负不确定， 故当时，，所以，故， 当时，正负不定，所以与的正负不定， 所以均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可能． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等关系的判断，主要考查了对数的运算性质以及对数函数性质的运用，解答本题的关键是要比较x与y的大小，只需比较 与的大小，，设，求导得出其单调性，从而得出的大小可能性． 【举一反三】 1．若实数，满足，则（ ） A． B． C． D． 【来源】浙江省宁波市镇海中学2021届高三下学期5月模拟数学试题 【答案】C 【解析】，， ，， 在单调递减，在单调递增， ， 恒成立，时取等号， ， ， ， ，又（不等式取等条件）， 解得：， ， 故选：C. 2．（2020·河北高考模拟（理））设奇函数在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 得：，构造函数，故g（x）在单调递减，由函数为奇函数可得g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减，故选D 点睛：本题解题关键为函数的构造，由要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解； 3．（2020·山西高考模拟（理））定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用已知条件求得，即函数为增函数，而，由此求得，进而求得不等式的解集. 【详解】构造函数，依题意可知，即函数在上单调递增.所求不等式可化为，而，所以，解得，故不等式的解集为. 【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件的应用.通过观察分析所求不等式，转化为，可发现对于，它的导数恰好可以应用上已知条件.从而可以得到解题的思路. 4．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））定义在上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 在定义域上是增函数，且， ， 可转化成，得到 ，又，可以得到，故选D 5．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】，则，而，且，∴，即在上单调递减，不等式可化为，即，故，解得：，故解集为：． 类型二 巧设“”型可导函数 【例】已知定义在上的图象连续的函数的导数是，，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第七模拟） 【答案】A 【解析】当时，，即有． 令，则当时，，故在上单调递增． ∵， ∴关于直线对称，故在上单调递减， 由等价于，则，得． ∴的解集为． 故选：A. 【举一反三】 1．（2020锦州模拟）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D． 【解析】令，则为奇函数，且当时，恒成立，即函数在，上单调递减，又，则，则可化为或，则或．故选D． 2．（2020·陕西高考模拟）已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 ，则， 所以 即，选A. 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 3．（2020·海南高考模拟）已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意设，则，所以函数在上单调递增，所以，即．故选B． 4．（2020·青海高考模拟（理））已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当 成立（是函数的导数），若，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则当，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即为偶函数，为奇函数，因此当，即为上单调递减函数，因为，而，所以，选A. 5.（2020南充质检）是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是（） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】构造函数，则．又是定义在上的奇函数，所以为奇函数，且当时，，在上函数单减， ．又，所以有的解集．故选C． 点睛：本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题．求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”以构造恰当的函数；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数． 6．（2020荆州模拟）设函数是奇函数()的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】设，当时，，在上为减函数，且， 当时，，，，； 当时，，，，， ∵为奇函数， ∴当时，，；当时，，． 综上所述：使得成立的的取值范围是 【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有与的积或商，与的积或商，与的积或商，与的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式． 7．（2020·河北高考模拟）已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ） A． B． C．为减函数 D．为增函数 【答案】A 【解析】令，则由题意，得，所以函数 在上单调递增，又因为，所以当时，，则，当时，，则，而恒成立，则；所以；故选A. 点睛：本题的难点在于如何利用构造函数。 8．已知为上的连续可导函数，且，则函数在上的零点个数为__________． 【答案】0． 【解析】令函数，因为，所以函数在上单调递增，则函数在上也单调递增，且，故该函数在上无零点，应填答案． 点评：解答本题的关键是构造函数，然后借助导数的有关知识判定函数的单调性，从而确定函数与轴没有一个交点， 即函数的零点的个数是0． 类型三 巧设“”型可导函数 【例3】已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【来源】广东省汕头市2021届高三三模数学试题 【答案】D 【解析】令，则，所以不等式等价转化为不等式，即，构造函数，则， 由题意，，所以为R上的增函数， 又，所以， 所以，解得，即，所以， 故选：D. 【举一反三】 1．定义在上的连续函数的导函数为，且成立，则下列各式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题 【答案】C 【解析】由题可得，所以， 设则，所以在上单调递减，且 由可得，所以，，所以选项A､B错误，选项C正确. 把代入，可得，所以选项D错误，故选：C. 2．（2020·江西高考模拟（理））已知定义在上的函数，恒为正数的符合，则的取值范围为（ ） A． B． C．() D． 【答案】D 【解析】令，则， 所以，选D. 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 3．（2020·辽宁高考模拟）已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以， 设，， 可知是上的增函数，， 当时，，又，所以， 所以不等式的解集为，故选C. 3．（2020·四川高考模拟）下列四个命题：①；②；③；④，其中真命题的个数是（ ）（为自然对数的底数） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】构造函数，，当时，， 当时，，所以函数在时单调递增，在时单调递减， 而，所以，化简得故①错误， 而，所以，即，化简可得故②正确， 因为，所以，化简可得 ，故③正确， 因为当时取最大值，若④成立，可得，即，显然不成立，故错误，综上可知选B. 4.（2020遵义模拟）设函数是奇函数的导函数，，且当时，，则使得成立的的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】设，则的导数为：， ∵当x＞0时，， 即当x＞0时，恒大于0， ∴当x＞0时，函数为增函数， ∵为奇函数，∴函数为定义域上的偶函数 又∵， ∵， ∴当x＞0时，＞0，当x＜0时，＜0， ∴当x＞0时，，当x＜0时，， ∴x＞1或－1＜x＜0． 故使得成立的x的取值范围是，故答案为：A． 5．（2020咸阳一模）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】令，∴。 ∵，为偶函数 ∴在上单调递减． 或，选A． 6．（2020正定一中模拟）设是函数，的导数，且满足，若是锐角三角形，则（） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】∵，时， ∴在上递增，又A，B，C是锐角， ∴，，，， ∴， ∴，故选D． 【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题．联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数． 7．（2020衡水金卷）设偶函数定义在上，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（） A． B． C． D．