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专题08 函数的极值
1.函数的极小值:
函数y=f(x)在点x=x0的函数值f(x0)比它在点x=x0附近其他点的函数值都小,f′(x0)=0;而且在点x=x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.则x0叫做函数y=f(x)的极小值点,f(x0)叫做函数y=f(x)的极小值.如图1.
图1 图2
2.函数的极大值:
函数y=f(x)在点x=x0的函数值f(x0)比它在点x=x0附近其他点的函数值都大,f′(x0)=0;而且在点x=x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.则x0叫做函数y=f(x)的极大值点,f(x0)叫做函数y=f(x)的极大值.如图2.
3.极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.
对极值的深层理解:
(1)极值点不是点;
(2)极值是函数的局部性质;
(2)按定义,极值点xi是区间[a,b]内部的点(如图),不会是端点a,b;
(3)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.
(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”;函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小,在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”.一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值,极大值与极小值没有必然的联系,即极小值不一定比极大值小,极大值不一定比极小值大;
(5)使f′(x)=0的点称为函数f(x)的驻点,可导函数的极值点一定是它的驻点.驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如f(x)=x3的导数f′(x)=3x2在点x=0处有f′(0)=0,即x=0是f(x)=x3的驻点,但从f(x)在(-∞,+∞)上为增函数可知,x=0不是f(x)的极值点.因此若f′(x0)=0,则x0不一定是极值点,即f′(x0)=0是f(x)在x=x0处取到极值的必要不充分条件,函数y=f′(x)的变号零点,才是函数的极值点;
(6)函数f(x)在[a,b]上有极值,极值也不一定不唯一.它的极值点的分布是有规律的,如上图,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]内的极大值点、极小值点是交替出现的.
考点一 根据函数图象判断极值
【方法总结】
由图象判断函数y=f(x)的极值
(1)y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标为x0,可得函数y=f(x)的可能极值点x0;
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f′(x)≤0,右侧f′(x)≥0,那么f(x0)是极小值.
【例题选讲】
[例1](1)函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)( )
A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点
C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点
答案 C 解析 设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1,x2,x3,x4.当x<x1时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x1<x<x2时,f′(x)<0,f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点,故选C.
(2)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
答案 D 解析 由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-22时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.
(3)函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示,x1,x2是函数y=f(x)的两个极值点,则x+x等于( )
2
A. B. C. D.
答案 C 解析 因为函数f(x)的图象过原点,所以d=0.又f(-1)=0且f(2)=0,即-1+b-c=0且8+4b+2c=0,解得b=-1,c=-2,所以函数f(x)=x3-x2-2x,所以f′(x)=3x2-2x-2.由题意知x1,x2是函数f(x)的极值点,所以x1,x2是f′(x)=0的两个根,所以x1+x2=,x1x2=-,所以x+x=(x1+x2)2-2x1x2=+=,故选C
(4)已知函数y=的图象如图所示(其中f′(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数),则以下说法错误的是( )
A.f′(1)=f′(-1)=0 B.当x=-1时,函数f(x)取得极大值
C.方程xf′(x)=0与f(x)=0均有三个实数根 D.当x=1时,函数f(x)取得极小值
答案 C 解析 由图象可知f′(1)=f′(-1)=0,A说法正确.当x<-1时,<0,此时f′(x)>0;当-10,此时f′(x)<0,故当x=-1时,函数f(x)取得极大值,B说法正确.当01时,>0,此时f′(x)>0,故当x=1时,函数f(x)取得极小值,D说法正确.故选C.
(5)(多选)函数y=f(x)导函数的图象如图所示,则下列选项正确的有( )
A.(-1,3)为函数y=f(x)的递增区间 B.(3,5)为函数y=f(x)的递减区间
C.函数y=f(x)在x=0处取得极大值 D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值
3
答案 ABD 解析 由函数y=f(x)导函数的图象可知,f(x)的单调递减区间是(-∞,-1),(3,5),单调递增区间为(-1,3),(5,+∞),所以f(x)在x=-1,5取得极小值,在x=3取得极大值,C错误.故选A、B、D.
(6) (2018·全国Ⅲ)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( )
答案 D 解析 当x=0时,y=2,排除A,B.由y′=-4x3+2x=0,得x=0或x=±,结合三次函数的图象特征,知原函数在(-1,1)上有三个极值点,所以排除C,故选D.
【对点训练】
1.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1.答案 A 解析 由题意知在x=-1处f′(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正.
2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数g(x)=xf′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立
的是( )
A.f(x)有两个极值点 B.f(0)为函数的极大值
C.f(x)有两个极小值 D.f(-1)为f(x)的极小值
2.答案 BC 解析 由题图知,当x∈(-∞,-2)时,g(x)>0,∴f′(x)<0,当x∈(-2,0)时,g(x)<0,∴
4
f′(x)
>0,当x∈(0,1)时,g(x)<0,∴f′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,∴f′(x)>0.∴f(x)在(-∞,-2),(0,1)上单调递减,在(-2,0),(1,+∞)上单调递增.故AD错误,BC正确.
3.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则x+x等于( )
A. B. C. D.
3.答案 C 解析 由题中图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数f(x)的极值点,所以1
+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,所以f(x)=x3-3x2+2x,所以f′(x)=3x2-6x+2,x1,x2是方程3x2-6x+2=0的两根,所以x1+x2=2,x1·x2=,∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2=4-2×=.
4.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则=________.
4.答案 1 解析 f′(x)=3ax2+2bx+c,由图象知,方程f′(x)=0的两根为-1和2,则有
即∴===1.
5.(多选)函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则以下命题错误的是( )
A.-3是函数y=f(x)的极值点 B.-1是函数y=f(x)的最小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零
5.答案 BD 解析 根据导函数的图象可知当x∈(-∞,-3)时,f′(x)<0,当x∈(-3,+∞)时,f′(x)≥0,
∴函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,则-3是函数y=f(x)的极值点,∵函数y=f(x)在(-3,+∞)上单调递增,∴-1不是函数y=f(x)的最小值点,∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,∴y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零.故错误的命题为BD.
5
考点二 求已知函数的极值
【方法总结】
求函数的极值或极值点的步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;
④检查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右两侧的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
【例题选讲】
[例1](1)函数f(x)=x2e-x的极大值为__________,极小值为________.
答案 4e-2 0 解析 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=-e-xx(x-2).当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f′(x)<0;当x∈(0,2)时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增.故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.
(2)设函数f(x)=+lnx,则( )
A.x=为f(x)的极大值点 B.x=为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点
答案 D 解析 f′(x)=-+=(x>0),当0<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0,所以x=2为f(x)的极小值点.
(3)已知函数f(x)=2ef′(e)lnx-,则f(x)的极大值点为( )
A. B.1 C.e D.2e
答案 D 解析 f′(x)=-,故f′(e)=,故f(x)=2lnx-,令f′(x)=->0,解得02e,故f(x)在(0,2e)上递增,在(2e,+∞)上递减,∴x=2e时,f(x)取得极大值2ln 2,则f(x)的极大值点为2e.
(4)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)·(x-1)k(k=1,2),则( )
A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B.当k=1时,f(
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