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专题强化二十三 电磁感应中的电路及图象问题
目标要求 1.掌握电磁感应中电路问题的求解方法.2.会计算电磁感应电路问题中电压、电流、电荷量、热量等物理量.3.能够通过电磁感应图象,读取相关信息,应用物理规律求解问题.
题型一 电磁感应中的电路问题
1.电源和电阻
2.解决电磁感应中的电路问题的基本步骤
(1)“源”的分析:用法拉第电磁感应定律算出E的大小,用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向(感应电流方向是电源内部电流的方向),从而确定电源正负极,明确内阻r.
(2)“路”的分析:根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路.
(3)根据E=Blv或E=n,结合闭合电路欧姆定律、串并联电路知识、电功率、焦耳定律等相关关系式联立求解.
3.电磁感应中电路知识的关系图
切割磁感线的导体棒的电路问题
例1 如图1,由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd,固定在水平面内且处于方向竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中.一接入电路电阻为R的导体棒PQ,在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动,滑动过程中PQ始终与ab垂直,且与线框接触良好,不计摩擦.在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )
图1
A.PQ中电流先增大后减小
B.PQ两端电压先减小后增大
C.PQ上拉力的功率先减小后增大
D.线框消耗的电功率先减小后增大
答案 C
解析 设PQ左侧电路的电阻为Rx,则右侧电路的电阻为3R-Rx,所以外电路的总电阻为R外=,外电路电阻先增大后减小,再根据闭合电路欧姆定律可得PQ中的电流I=先减小后增大,路端电压先增大后减小,故A、B错误;由于导体棒做匀速运动,拉力等于安培力,即F=BIl,拉力的功率P=BIlv,故先减小后增大,所以C正确;外电路的总电阻R外=,最大值为R,小于导体棒的电阻R,又外电阻先增大后减小,由电源的输出功率与外电阻的关系图象可知,线框消耗的电功率先增大后减小,故D错误.
磁通量变化的线圈的电路问题
例2 (多选)在如图2甲所示的虚线框内有匀强磁场,设图甲所示磁场方向为正,磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示.边长为l、电阻为R的正方形均匀线框abcd有一半处在磁场中,磁场方向垂直于线框平面,此时线框ab边的发热功率为P,则( )
图2
A.线框中的感应电动势为
B.线框中感应电流为2
C.线框cd边的发热功率为
D.c、d两端电势差Ucd=
答案 BD
解析 由题图乙可知,在每个周期内磁感应强度随时间均匀变化,线框中产生大小恒定的感应电流,设感应电流为I,则对ab边有,P=I2·R,得I=2,选项B正确;由闭合电路欧姆定律得,感应电动势为E=IR=2,根据法拉第电磁感应定律得E==·l2,由题图乙知,=,联立解得E=,故选项A错误;线框的四边电阻相等,电流相等,则发热功率相等,都为P,故选项C错误;由楞次定律判断可知,线框中感应电流方向为逆时针,则c端电势高于d端电势,Ucd=E=,故选项D正确.
1.(转动切割及电路分析)如图3所示,竖直平面内有一金属环,半径为a,总电阻为R(指剪开拉直时两端的电阻),磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面,与环的最高点A连接的长度为2a、电阻为的导体棒AB,由水平位置紧贴环面摆下,当摆到竖直位置时,B点的线速度大小为v,则这时导体棒AB两端的电压大小为( )
图3
A. B.
C. D.Bav
答案 A
解析 当摆到竖直位置时,导体棒AB产生的感应电动势为:E=B·2a=2Ba=Bav,圆环被导体棒分为两个半圆环,两半圆环并联,并联电阻R并==,电路电流:I==,AB两端的电压为UAB=IR并=.
题型二 电磁感应中的电荷量的计算
计算电荷量的导出公式:q=
在电磁感应现象中,只要穿过闭合回路的磁通量发生变化闭合回路中就会产生感应电流,设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q,则根据电流定义式I=及法拉第电磁感应定律E=,得q=IΔt=Δt=Δt=.
例3 (2018·全国卷Ⅰ·17)如图4,导体轨道OPQS固定,其中PQS是半圆弧,Q为半圆弧的中点,O为圆心.轨道的电阻忽略不计.OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆,M端位于PQS上,OM与轨道接触良好.空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场,磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ);再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ).在过程Ⅰ、Ⅱ中,流过OM的电荷量相等,则等于( )
图4
A. B. C. D.2
答案 B
解析 在过程Ⅰ中,根据法拉第电磁感应定律,有
E1==
根据闭合电路欧姆定律,有I1=
且q1=I1Δt1
在过程Ⅱ中,有
E2==
I2=
q2=I2Δt2
又q1=q2,即=
所以=.
2.(电磁感应中电荷量的计算)(2019·江苏卷·14)如图5所示,匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈,线圈平面与磁场垂直.已知线圈的面积S=0.3 m2、电阻R=0.6 Ω,磁场的磁感应强度B=0.2 T.现同时向两侧拉动线圈,线圈的两边在Δt=0.5 s时间内合到一起.求线圈在上述过程中
图5
(1)感应电动势的平均值E;
(2)感应电流的平均值I,并在图中标出电流方向;
(3)通过导线横截面的电荷量q.
答案 (1)0.12 V (2)0.2 A 电流方向见解析图
(3)0.1 C
解析 (1)感应电动势的平均值E=
磁通量的变化ΔФ=BΔS
联立可得E=,代入数据得E=0.12 V;
(2)平均电流I=
代入数据得I=0.2 A(电流方向见图);
(3)电荷量q=IΔt
代入数据得q=0.1 C.
题型三 电磁感应中的图象问题
1.解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键.
2.解题步骤
(1)明确图象的种类,即是B-t图还是Φ-t图,或者E-t图、I-t图等;对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况,还常涉及E-x图象和i-x图象;
(2)分析电磁感应的具体过程;
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系;
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式;
(5)根据函数关系式,进行数学分析,如分析斜率的变化、截距等;
(6)画图象或判断图象.
3.常用方法
(1)排除法:定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化),特别是分析物理量的正负,以排除错误的选项.
(2)函数法:根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系,然后由函数关系对图象进行分析和判断.
动生问题的图象
例4 (2018·全国卷Ⅱ·18)如图6,在同一水平面内有两根平行长导轨,导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域,区域宽度均为l,磁感应强度大小相等、方向交替向上向下.一边长为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动.线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是( )
图6
答案 D
解析 设线路中只有一边切割磁感线时产生的感应电流为i.
线框位移
等效电路的连接
电流
0~
I=2i(顺时针)
~l
I=0
l~
I=2i(逆时针)
~2l
I=0
分析知,只有选项D符合要求.
感生问题的图象
例5 将一段导线绕成如图7甲所示的闭合回路,并固定在水平面(纸面)内.回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中.回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ,以向里为磁场Ⅱ的正方向,其磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示.用F表示ab边受到的安培力,以水平向右为F的正方向,能正确反映F随时间t变化的图象是( )
图7
答案 B
解析 根据B-t图象可知,在0~时间内,B-t图线的斜率为负且为定值,根据法拉第电磁感应定律E=nS可知,该段时间圆环区域内感应电动势和感应电流是恒定的,由楞次定律可知,ab中电流方向为b→a,再由左手定则可判断ab边受到向左的安培力,且0~时间内安培力恒定不变,方向与规定的正方向相反;在~T时间内,B-t图线的斜率为正且为定值,故ab边所受安培力大小仍恒定不变,但方向与规定的正方向相同.综上可知,B正确.
3.(感生问题的图象)(2019·山东济宁市第二次摸底)如图8甲所示,在线圈l1中通入电流i1后,在l2上产生的感应电流随时间变化的规律如图乙所示,l1、l2中电流的正方向如图甲中的箭头所示.则通入线圈l1中的电流i1随时间t变化的图象是下列选项图中的( )
图8
答案 D
解析 因为感应电流大小不变,根据法拉第电磁感应定律得:I===,而线圈l1中产生的磁场变化是因为电流发生了变化,所以I=∝,所以线圈l1中的电流均匀改变,A、C错误;根据题图乙,0~时间内感应电流磁场向左,所以线圈l1产生的磁场向左减小,或向右增大,B错误,D正确.
4.(动生问题的图象)如图9所示,直角三角形ADC区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场,AD边长为2L,直角三角形导线框abc与直角三角形ADC相似,ab边长为L,∠ACD=∠acb=30°,线框在纸面内,且bc边和DC边在同一直线上,bc边为导线,电阻不计,ab边和ac边由粗细均匀的金属杆弯折而成.现用外力使线框以速度v匀速向右运动通过磁场区域,则线框在通过磁场的过程中,Uab随时间变化的关系图象正确的是( )
图9
答案 B
解析 本题可以采用排除法,根据右手定则可知,线框进入磁场和出磁场的过程中,a点电势均低于b点电势,Uab均为负值、不为零,由此排除A、C、D选项.
课时精练
1.如图1所示,在一磁感应强度B=0.5 T的匀强磁场中,垂直于磁场方向水平放置着两根相距L=0.1 m的平行金属导轨MN和PQ,导轨电阻忽略不计,在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R=0.3 Ω的电阻.导轨上垂直放置着金属棒ab,其接入电路的电阻r=0.2 Ω.当金属棒在水平拉力作用下以速度v=4.0 m/s向左做匀速运动时( )
图1
A.ab棒所受安培力大小为0.02 N
B.N、Q间电压为0.2 V
C.a端电势比b端电势低
D.回路中感应电流大小为1 A
答案 A
解析 ab棒产生的感应电动势E=BLv=0.2 V,感应电流I==0.4 A,ab棒受到的安培力F=BIL=0.02 N,A正确,D错误;N、Q之间的电压U=E=0.12 V,B错误;由右手定则得a端电势较高,C错误.
2.如图2所示,由均匀导线制成的半径为R的圆环,以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的匀强磁场,当圆环运动到图示位置(∠aOb=90°)时,a、b两点的电势差为( )
图2
A.BRv B.BRv
C.BRv D.BRv
答案 D
解析 当圆环运动到题图所示位置时,圆环切割磁感线的有效长度为R,产生的感应电动势为E=BRv,a、b两点的电势差Uab=E=BRv,故选D.
3.下列四个选项图中,虚线上方空间都存在方向垂直纸面向里的匀强磁场.A、B中的导线框为正方形,C、D中的导线框为直角扇形.各导线框均绕垂直纸面的轴O在纸面内匀速转动,转动方向如箭头所示,转动周期均为T.从线框处于图示位置时开始计时,以在OP边上从P点指向O点的方向为感应电流i的正方向.则在如图A、B、C、D所示的四个情景中,产生的感应电流i随时间t的变化规律如图3中i-t图象所示的是( )
图3
答案 C
解析 由题图i-t图象可知感应电流在一段时间恒定,根据I=,可知l不变,即导线框应为扇形
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