高考数学三轮冲刺压轴小题17 求解曲线的离心率的值或范围问题 (解析版)

求解曲线的离心率的值或范围问题 一．方法综述 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况： ①根据题意求出的值，再由离心率的定义椭圆、 双曲线直接求解； ②由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于椭圆、双曲线消去b， 构造的齐次式，求出； ③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解； ④根据圆锥曲线的统一定义求解． 解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等． 二．解题策略 类型一 直接求出或求出与的比值，以求解 【例1】椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【来源】河北省秦皇岛市2021届高三二模数学试题 【答案】A 【解析】设， 因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 设中点为H，则，，， 代入数据并整理得：， 等式两边同除以得：，解得：或(舍). 故选：A. 【方法点睛】求椭圆离心率或其范围的方法： （1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解． （2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等． 【举一反三】 1.（2020兰州模拟）平面直角坐标系xOy中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C：交于O，A，B三点，若的垂心为的焦点，则的离心率为　　 A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】联立渐近线与抛物线方程得，，抛物线焦点为， 由三角形垂心的性质，得，即， 所以，所以，所以，所以的离心率为．故选：B． 2．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【来源】江西省九江市2021届高三高考数学（理）二模试题 【答案】A 【解析】过作于点，设， 因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，， 由双曲线的定义可得，所以， 同理可得，所以，即， 所以，因此， 在直角三角形中，， 所以，所以，则. 故选：A. 类型二 构造的齐次式，解出 【例2】在平面直角坐标系中，点，分别是双曲线：(，)的左，右焦点，过点且与直线：垂直的直线交的右支于点，设直线上一点(在第二象限)满足，且，则双曲线的离心率的值为（ ） A． B． C． D．2 【来源】江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题 【答案】A 【解析】由题意可知，设直线的方程为，则设，， 因为，，且，所以， 即，解得，所以，所以， ，，则 ，即 ，解得，所以， 因为点在双曲线上，所以代入双曲线方程可得，，即，解得，，故选：A 【举一反三】 1.（2020·重庆八中高三）已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，故，，两边除以得，解得. 2．（2020·广东南海中学高考模拟）是P为双曲线上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于Q点，O为坐标原点，若四边形OF2PQ有内切圆，则C的离心率为_____． 【答案】2 【解析】设，可得，则四边形的内切圆的圆心为， 半径为的方程为，圆心到直线的距离等于， 即，化简得，，答案为. 3．（2020·黑龙江大庆中学高三（理））过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】设双曲线的左焦点F1（﹣c，0）， 令x=﹣c，可得y=±=±，可得A（﹣c，），B（﹣c，﹣）， 设D（0，b），可得=（c，b﹣），=（0，﹣），=（﹣c，﹣b﹣）， 由△ABD为钝角三角形，可能∠DAB为钝角，可得＜0，即为0﹣•（b﹣）＜0，化为a＞b，即有a2＞b2=c2﹣a2，可得c2＜2a2，即e=＜，又e＞1，可得1＜e＜，可得△ADB中，∠ADB为钝角，可得＜0，即为c2﹣（+b）（﹣b）＜0，化为c4﹣4a2c2+2a4＞0， 由e=，可得e4﹣4e2+2＞0，又e＞1，可得e＞． 综上可得，e的范围为（1，）∪（．+∞）． 类型三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形 【例3】如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【来源】湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（七）数学试题 【答案】A 【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，， 设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，与双曲线联立，可得，， 设，， 由三角形的等面积法可得， 化简可得，① 由双曲线的定义可得，② 在三角形中，为直线的倾斜角）， 由，，可得， 可得，③ 由①②③化简可得， 即为， 可得，则． 故选：C． 【举一反三】 1．（2020·辽宁实验中学高三期末（理））设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D．5 【答案】B 【解析】若，则可设，因为是的一个四等分点； 若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾； 若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足, 所以 是直角三角形，且 , 所以由勾股定理，得，得,故选B. 2．已知圆在椭圆的内部，点为上一动点.过作圆的一条切线，交于另一点，切点为，当为的中点时，直线的斜率为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷 理科数学 全国卷Ⅰ（第七模拟） 【答案】C 【解析】设，，，则，. 将，的坐标分别代入的方程，得， 两式相减，得， 所以，即. 当为的中点时，，则，故. 如图，设为的左顶点，连接，则，所以，整理得，解得或（舍去），则，所以，所以，故的离心率. 故选：C. 3．（2020·湖北高三期末）已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，，可得四边形为矩形， 设，，即有， 且，，， ， 由，可得， 则，可得，即有， 则，即有．故答案为：． 类型四 利用平面几何性质或圆锥曲线性质 【例4】（2020·四川高三期末（理））已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴，又∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴离心率，故选：A． 【例5】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示： ，是双曲线的左右焦点，延长交于点， 是的角平分线， ， 又点在双曲线上， ，， 又是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 即， 在中，，，， 由三角形两边之和大于第三边得：， 两边平方得：， 即， 两边同除以并化简得：， 解得：， 又， ， 在中，由余弦定理可知，， 在中，， 即， 又， 解得：， 又， , 即， ， 综上所述：. 故选：B. 【方法点睛】 求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关， ，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 【举一反三】 1．（2020·四川高三期末）双曲线的左、右焦点分别为是左支上一点，且，直线与圆相切，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 设直线与圆相切于点 ，则 ， 取的中点 ,连接 ， 由于,则 ， 由，则，即有， 由双曲线的定义可得，即，即， ,即，，即，则. 2．（2020·山东高考模拟）过双曲线1（a＞b＞0）右焦点F的直线交两渐近线于A，B两点，∠OAB＝90°，O为坐标原点，且△OAB内切圆半径为，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【解析】因为，所以双曲线的渐近线如图所示， 设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，，所以，所以，得.. 3．（2020·湖北高三期末（理））已知F1,F2是双曲线的左右焦点，若直线与双曲线C交于P,Q两点，且四边形F1PF2Q是矩形，则双曲线的离心率为 【答案】 【解析】 由题意，矩形的对角线长相等，把代入， 可得 ， ∴ ∴4a2b2=（b2-3a2）c2， ∴4a2（c2-a2）=（c2-4a2）c2， ∴e4-8e2+4=0， ∵e＞1，∴ 故选：B． 4.（2020永州模拟）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，为上一点，且轴，过点的直线与直线交于，若直线与线段交于点，且，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】由题意，作出图像如下： 因为是椭圆的左焦点，所以，又轴，所以， 因为分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，直线与线段交于点，且， 所以，， 由题意易得，， 所以，， 因此，整理得, 所以离心率为. 【指点迷津】1.对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于或的等式，再进一步求出离心率. 2.常构建等式的方法有：（1）利用圆锥曲线定义（2）利用几何关系（3）利用点在曲线上. 3. 本题由题意作出图形，先由是椭圆的左焦点，得到的坐标，求出的长度，根据，表示出的长度，再由，表示出的长度，列出等式，求解即可得出结果. 三．强化训练 1．（2020吉林长春市实验中学高三）如图，F1，F2分别是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为(　　) A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】连接，依题意知：，，所以 . 2.（2020安徽铜陵模拟）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第二象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形， 设|PF2|＝t，则|QF2|＝ ，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a﹣t， 则t＝2（2﹣）a， 在直角三角形PF1F2中，可得t2+（2a﹣t）2＝4c2， 4（6﹣4）a2+（12﹣8）a2＝4c2， 化为c2＝（9﹣6）a2， 可得e＝＝ ．故选A. 3.（2020银川一模）椭圆的左右焦点为，，若在椭圆上存在一点，使得的内心I与重心满足，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，又，，则的重心.因为∥ 所以内心I的纵坐标为.即内切圆半径为.由三角形面积，，及椭圆定义 得，解得，故选D. 4．（2020·甘肃兰州一中高三）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是(