资源描述
求解曲线的离心率的值或范围问题
一.方法综述
离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:
①根据题意求出的值,再由离心率的定义椭圆、
双曲线直接求解;
②由题意列出含有的方程(或不等式),借助于椭圆、双曲线消去b,
构造的齐次式,求出;
③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;
④根据圆锥曲线的统一定义求解.
解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用,如椭圆上的点的横坐标等.
二.解题策略
类型一 直接求出或求出与的比值,以求解
【例1】椭圆的左右焦点分别为,,过点的直线l交椭圆C于A,B两点,已知,,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
【来源】河北省秦皇岛市2021届高三二模数学试题
【答案】A
【解析】设,
因为,
所以,所以,
因为,所以,所以,
设中点为H,则,,,
代入数据并整理得:,
等式两边同除以得:,解得:或(舍).
故选:A.
【方法点睛】求椭圆离心率或其范围的方法:
(1)根据题意求出的值,再由离心率的定义直接求解.
(2)由题意列出含有的方程(或不等式),借助于消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用,如椭圆上的点的横坐标等.
【举一反三】
1.(2020兰州模拟)平面直角坐标系xOy中,双曲线:的两条渐近线与抛物线C:交于O,A,B三点,若的垂心为的焦点,则的离心率为
A. B. C.2 D.
【答案】B
【解析】联立渐近线与抛物线方程得,,抛物线焦点为,
由三角形垂心的性质,得,即,
所以,所以,所以,所以的离心率为.故选:B.
2.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于点,,且,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【来源】江西省九江市2021届高三高考数学(理)二模试题
【答案】A
【解析】过作于点,设,
因为直线的倾斜角为,所以在直角三角形中,,,
由双曲线的定义可得,所以,
同理可得,所以,即,
所以,因此,
在直角三角形中,,
所以,所以,则.
故选:A.
类型二 构造的齐次式,解出
【例2】在平面直角坐标系中,点,分别是双曲线:(,)的左,右焦点,过点且与直线:垂直的直线交的右支于点,设直线上一点(在第二象限)满足,且,则双曲线的离心率的值为( )
A. B. C. D.2
【来源】江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题
【答案】A
【解析】由题意可知,设直线的方程为,则设,,
因为,,且,所以,
即,解得,所以,所以,
,,则
,即
,解得,所以,
因为点在双曲线上,所以代入双曲线方程可得,,即,解得,,故选:A
【举一反三】
1.(2020·重庆八中高三)已知双曲线,点A、F分别为其右顶点和右焦点,若,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意,故,,两边除以得,解得.
2.(2020·广东南海中学高考模拟)是P为双曲线上的点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且PF2⊥F1F2,PF1与y轴交于Q点,O为坐标原点,若四边形OF2PQ有内切圆,则C的离心率为_____.
【答案】2
【解析】设,可得,则四边形的内切圆的圆心为,
半径为的方程为,圆心到直线的距离等于,
即,化简得,,答案为.
3.(2020·黑龙江大庆中学高三(理))过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,为虚轴的一个端点,且为钝角三角形,则此双曲线离心率的取值范围为______.
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点F1(﹣c,0),
令x=﹣c,可得y=±=±,可得A(﹣c,),B(﹣c,﹣),
设D(0,b),可得=(c,b﹣),=(0,﹣),=(﹣c,﹣b﹣),
由△ABD为钝角三角形,可能∠DAB为钝角,可得<0,即为0﹣•(b﹣)<0,化为a>b,即有a2>b2=c2﹣a2,可得c2<2a2,即e=<,又e>1,可得1<e<,可得△ADB中,∠ADB为钝角,可得<0,即为c2﹣(+b)(﹣b)<0,化为c4﹣4a2c2+2a4>0,
由e=,可得e4﹣4e2+2>0,又e>1,可得e>.
综上可得,e的范围为(1,)∪(.+∞).
类型三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形
【例3】如图,已知双曲线的左、右焦点分别为,,过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点,若的内切圆半径为,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
【来源】湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考(七)数学试题
【答案】A
【解析】设双曲线的左、右焦点分别为,,
设双曲线的一条渐近线方程为,可得直线的方程为,与双曲线联立,可得,,
设,,
由三角形的等面积法可得,
化简可得,①
由双曲线的定义可得,②
在三角形中,为直线的倾斜角),
由,,可得,
可得,③
由①②③化简可得,
即为,
可得,则.
故选:C.
【举一反三】
1.(2020·辽宁实验中学高三期末(理))设双曲线的左、右焦点分别为,过的直线与双曲线的右支交于两点,若,且是的一个四等分点,则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.5
【答案】B
【解析】若,则可设,因为是的一个四等分点;
若,则,但此时,再由双曲线的定义,得,得到,这与矛盾;
若,则,由双曲线的定义,得,则此时满足,
所以 是直角三角形,且 ,
所以由勾股定理,得,得,故选B.
2.已知圆在椭圆的内部,点为上一动点.过作圆的一条切线,交于另一点,切点为,当为的中点时,直线的斜率为,则的离心率为( )
A. B. C. D.
【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷 理科数学 全国卷Ⅰ(第七模拟)
【答案】C
【解析】设,,,则,.
将,的坐标分别代入的方程,得,
两式相减,得,
所以,即.
当为的中点时,,则,故.
如图,设为的左顶点,连接,则,所以,整理得,解得或(舍去),则,所以,所以,故的离心率.
故选:C.
3.(2020·湖北高三期末)已知双曲线C:右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B,F为其右焦点,若,设,且,则双曲线C离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为,连接,,,可得四边形为矩形,
设,,即有,
且,,,
,
由,可得,
则,可得,即有,
则,即有.故答案为:.
类型四 利用平面几何性质或圆锥曲线性质
【例4】(2020·四川高三期末(理))已知双曲线:(,)的左、右顶点分别为,,左焦点为,为上一点,且轴,过点的直线与线段交于点,与轴交于点,直线与轴交于点,若(为坐标原点),则的离心率为( )
A.3 B.2 C. D.
【答案】A
【解析】∵,
∴,又∵,
∴,而,
∴,
∴,
∴离心率,故选:A.
【例5】已知,分别是双曲线的左、右焦点,点在双曲线右支上且不与顶点重合,过作的角平分线的垂线,垂足为.若,则该双曲线离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图所示:
,是双曲线的左右焦点,延长交于点,
是的角平分线,
,
又点在双曲线上,
,,
又是的中点,是的中点,
是的中位线,
,
即,
在中,,,,
由三角形两边之和大于第三边得:,
两边平方得:,
即,
两边同除以并化简得:,
解得:,
又,
,
在中,由余弦定理可知,,
在中,,
即,
又,
解得:,
又,
,
即,
,
综上所述:.
故选:B.
【方法点睛】
求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出,,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关, ,的齐次式,结合转化为,的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以 或转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得 (的取值范围).
【举一反三】
1.(2020·四川高三期末)双曲线的左、右焦点分别为是左支上一点,且,直线与圆相切,则的离心率为__________.
【答案】
【解析】
设直线与圆相切于点 ,则 ,
取的中点 ,连接 ,
由于,则 ,
由,则,即有,
由双曲线的定义可得,即,即,
,即,,即,则.
2.(2020·山东高考模拟)过双曲线1(a>b>0)右焦点F的直线交两渐近线于A,B两点,∠OAB=90°,O为坐标原点,且△OAB内切圆半径为,则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】因为,所以双曲线的渐近线如图所示,
设内切圆圆心为,则在平分线上,过点分别作于,于,由得四边形为正方形,由焦点到渐近线的距离为得,又,所以,,所以,所以,得..
3.(2020·湖北高三期末(理))已知F1,F2是双曲线的左右焦点,若直线与双曲线C交于P,Q两点,且四边形F1PF2Q是矩形,则双曲线的离心率为
【答案】
【解析】
由题意,矩形的对角线长相等,把代入,
可得 ,
∴
∴4a2b2=(b2-3a2)c2,
∴4a2(c2-a2)=(c2-4a2)c2,
∴e4-8e2+4=0,
∵e>1,∴ 故选:B.
4.(2020永州模拟)已知为坐标原点,是椭圆的左焦点,分别为椭圆的左、右顶点和上顶点,为上一点,且轴,过点的直线与直线交于,若直线与线段交于点,且,则椭圆的离心率为_____.
【答案】
【解析】由题意,作出图像如下:
因为是椭圆的左焦点,所以,又轴,所以,
因为分别为椭圆的左、右顶点和上顶点,直线与线段交于点,且,
所以,,
由题意易得,,
所以,,
因此,整理得,
所以离心率为.
【指点迷津】1.对于求离心率的题,重要的是根据几何关系,或代数关系建立关于或的等式,再进一步求出离心率.
2.常构建等式的方法有:(1)利用圆锥曲线定义(2)利用几何关系(3)利用点在曲线上.
3. 本题由题意作出图形,先由是椭圆的左焦点,得到的坐标,求出的长度,根据,表示出的长度,再由,表示出的长度,列出等式,求解即可得出结果.
三.强化训练
1.(2020吉林长春市实验中学高三)如图,F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标原点O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A,B两点,若△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为( )
A. B.2
C. D.
【答案】D
【解析】连接,依题意知:,,所以
.
2.(2020安徽铜陵模拟)已知,分别为椭圆的左、右焦点,点是椭圆上位于第二象限内的点,延长交椭圆于点,若,且,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】PF2⊥PQ且|PF2|=|PQ|,可得△PQF2为等腰直角三角形,
设|PF2|=t,则|QF2|= ,由椭圆的定义可得|PF1|=2a﹣t,
则t=2(2﹣)a,
在直角三角形PF1F2中,可得t2+(2a﹣t)2=4c2,
4(6﹣4)a2+(12﹣8)a2=4c2,
化为c2=(9﹣6)a2,
可得e== .故选A.
3.(2020银川一模)椭圆的左右焦点为,,若在椭圆上存在一点,使得的内心I与重心满足,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设,又,,则的重心.因为∥
所以内心I的纵坐标为.即内切圆半径为.由三角形面积,,及椭圆定义
得,解得,故选D.
4.(2020·甘肃兰州一中高三)已知椭圆与双曲线有相同的焦点,若点是与在第一象限内的交点,且,设与的离心率分别为,则的取值范围是(
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