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第3讲 圆周运动
目标要求 1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系.2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法.3.会分析圆周运动的向心力来源,掌握圆周运动的动力学问题的分析方法,掌握圆锥摆模型.
考点一 圆周运动的运动学问题
1.描述圆周运动的物理量
定义、意义
公式、单位
线速度(v)
①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量
②是矢量,方向和半径垂直,和圆周相切
①v=(定义式)=(与周期的关系)
②单位:m/s
角速度(ω)
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量
②是矢量,但不研究其方向
①ω=(定义式)=(与周期的关系)
②单位:rad/s
③ω与v的关系:v=ωr
周期(T)
转速(n)
频率(f)
①周期是做匀速圆周运动的物体沿圆周运动一周所用的时间,周期的倒数为频率
②转速是单位时间内物体转过的圈数
①T==(与频率的关系)
②T的单位:s
n的单位:r/s、r/min
f的单位:Hz
向心加速度(an)
①描述线速度方向变化快慢的物理量
②方向指向圆心
①an==ω2r=r=ωv
②单位:m/s2
2.匀速圆周运动
(1)定义:如果物体沿着圆周运动,并且线速度的大小处处相等,所做的运动就是匀速圆周运动.
(2)特点:加速度大小不变,方向始终指向圆心,是变加速运动.
(3)条件:合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心.
1.匀速圆周运动是匀变速曲线运动.( × )
2.物体做匀速圆周运动时,其线速度是不变的.( × )
3.物体做匀速圆周运动时,其合外力是变力.( √ )
4.匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比.( × )
1.对公式v=ωr的理解
当ω一定时,v与r成正比.
当v一定时,ω与r成反比.
2.对an==ω2r的理解
在v一定时,an与r成反比;在ω一定时,an与r成正比.
3.常见的传动方式及特点
(1)皮带传动:如图甲、乙所示,皮带与两轮之间无相对滑动时,两轮边缘线速度大小相等,即vA=vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动:如图甲、乙所示,两轮边缘接触,接触点无打滑现象时,两轮边缘线速度大小相等,即vA=vB.
(3)同轴转动:如图所示,绕同一转轴转动的物体,角速度相同,ωA=ωB,由v=ωr知v与r成正比.
考向1 圆周运动物理量的分析和计算
例1 (多选)如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图.已知质量为60 kg的学员在A点位置,质量为70 kg的教练员在B点位置,A点的转弯半径为5.0 m,B点的转弯半径为4.0 m,则学员和教练员(均可视为质点)( )
A.线速度大小之比为5∶4
B.周期之比为5∶4
C.向心加速度大小之比为4∶5
D.受到的合力大小之比为15∶14
答案 AD
解析 学员和教练员一起做圆周运动的角速度相等,根据v=rω,知半径之比为5∶4,则线速度大小之比为5∶4,A正确;学员和教练员做圆周运动的角速度相等,根据T=,知周期相等,B错误;学员和教练员做圆周运动的角速度相等,半径之比为5∶4,根据a=rω2,则向心加速度大小之比为5∶4,C错误;所受合力提供做圆周运动所需向心力,根据F=ma,向心加速度大小之比为5∶4,质量之比为6∶7,则所受合力大小之比为15∶14,D正确.
考向2 圆周传动问题
例2 如图所示,B和C是一组塔轮,即B和C半径不同,但固定在同一转轴上,其半径之比为RB∶RC=3∶2,A轮的半径大小与C轮相同,它与B轮紧靠在一起,当A轮绕过其中心的竖直轴转动时,由于摩擦力作用,B轮也随之无滑动地转动起来.a、b、c分别为三轮边缘的三个点,则a、b、c三点在运动过程中的( )
A.线速度大小之比为3∶2∶2
B.角速度之比为3∶3∶2
C.转速之比为2∶3∶2
D.向心加速度大小之比为9∶6∶4
答案 D
解析 A、B靠摩擦传动,则边缘上a、b两点的线速度大小相等,即va∶vb=1∶1,选项A错误;B、C同轴转动,则边缘上b、c两点的角速度相等,即ωb=ωc,转速之比==,选项B、C错误;对a、b两点,由an=得==,对b、c两点,由an=ω2r得==,故aa∶ab∶ac=9∶6∶4,选项D正确.
考向3 圆周运动的多解问题
例3 如图所示为一个半径为5 m的圆盘,正绕其圆心做匀速转动,当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候,在其圆心正上方20 m的高度有一个小球正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出,取g=10 m/s2,不计空气阻力,要使得小球正好落在A点,则( )
A.小球平抛的初速度一定是2.5 m/s
B.小球平抛的初速度可能是2.5 m/s
C.圆盘转动的角速度一定是π rad/s
D.圆盘转动的加速度可能是π2 m/s2
答案 A
解析 根据h=gt2可得t==2 s,则小球平抛的初速度v0==2.5 m/s,A正确,B错误;根据ωt=2nπ(n=1、2、3、…),解得圆盘转动的角速度ω==nπ rad/s(n=1、2、3、…),圆盘转动的加速度为a=ω2r=n2π2r=5n2π2 m/s2(n=1、2、3、…),C、D错误.
考点二 圆周运动的动力学问题
1.匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果
向心力产生向心加速度,只改变速度的方向,不改变速度的大小.
(2)大小
Fn=m=mrω2=mr=mωv.
(3)方向
始终沿半径方向指向圆心,时刻在改变,即向心力是一个变力.
2.离心运动和近心运动
(1)离心运动:做圆周运动的物体,在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下,就做逐渐远离圆心的运动.
(2)受力特点(如图)
①当F=0时,物体沿切线方向飞出,做匀速直线运动.
②当0mrω2时,物体逐渐向圆心靠近,做近心运动.
(3)本质:离心运动的本质并不是受到离心力的作用,而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力.
3.匀速圆周运动与变速圆周运动合力、向心力的特点
(1)匀速圆周运动的合力:提供向心力.
(2)变速圆周运动的合力(如图)
①与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at,改变线速度的大小,当at与v同向时,速度增大,做加速圆周运动,反向时做减速圆周运动.
②指向圆心的分力Fn提供向心力,产生向心加速度an,改变线速度的方向.
1.做匀速圆周运动的物体,当所受合外力突然减小时,物体将沿切线方向飞出.( × )
2.摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动,这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故.( × )
3.向心力可以是物体受到的某一个力,也可以是物体受到的合力.( √ )
4.变速圆周运动的向心力不指向圆心.( × )
1.向心力来源
向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的合力或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.
2.匀速圆周运动的向心力来源
运动模型
向心力的来源图示
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
圆锥摆
飞车走壁
飞机水平转弯
火车转弯
3.变速圆周运动的向心力
如图所示,当小球在竖直面内摆动时,半径方向的合力提供向心力,FT-mgcos θ=m,如图所示.
4.圆周运动动力学问题的分析思路
考向1 圆周运动的动力学问题
例4 如图所示,一个圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的竖直轴匀速转动,角速度为ω,盘面上有一质量为m的物块随圆盘一起做匀速圆周运动,已知物块到转轴的距离为r,下列说法正确的是( )
A.物块受重力、弹力、向心力作用,合力大小为mω2r
B.物块受重力、弹力、摩擦力、向心力作用,合力大小为mω2r
C.物块受重力、弹力、摩擦力作用,合力大小为mω2r
D.物块只受重力、弹力作用,合力大小为零
答案 C
解析 对物块进行受力分析可知物块受重力、圆盘对它的支持力及摩擦力作用.物块所受的合力等于摩擦力,合力提供向心力.根据牛顿第二定律有F合=Ff=mω2r,选项A、B、D错误,C正确.
例5 如图所示,内壁光滑的竖直圆桶,绕中心轴做匀速圆周运动,一物块用细绳系着,绳的另一端系于圆桶上表面圆心,且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动,则( )
A.绳的张力可能为零
B.桶对物块的弹力不可能为零
C.随着转动的角速度增大,绳的张力保持不变
D.随着转动的角速度增大,绳的张力一定增大
答案 C
解析 当物块随圆桶做匀速圆周运动时,绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡,因此绳的张力为一定值,且不可能为零,故A、D错误,C正确;当绳的水平分力恰好提供向心力的时候,圆桶对物块的弹力恰好为零,故B错误.
例6 (2020·全国卷Ⅰ·16)如图,一同学表演荡秋千.已知秋千的两根绳长均为10 m,该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg.绳的质量忽略不计.当该同学荡到秋千支架的正下方时,速度大小为8 m/s,此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A.200 N B.400 N
C.600 N D.800 N
答案 B
解析 取该同学与踏板为研究对象,到达最低点时,受力如图所示,设每根绳子中的平均拉力大小为F.
由牛顿第二定律知:2F-mg=,
取g=9.8 m/s2,代入数据得F=405 N,故每根绳子平均承受的拉力约为405 N,
选项B正确.
考向2 圆锥摆模型
例7 (2022·辽宁六校联考)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动.如图甲所示,其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长);如图乙所示,小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动,但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同(连接D球的绳较长),则下列说法错误的是( )
A.小球A、B角速度相等
B.小球A、B线速度大小相同
C.小球C、D向心加速度大小相同
D.小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
答案 B
解析 对题图甲A、B分析:设绳与竖直方向的夹角为θ,小球的质量为m,小球A、B到悬点O的竖直距离为h,则mgtan θ=mω2lsin θ,解得ω==,所以小球A、B的角速度相等,线速度大小不相同,故A正确,B错误;对题图乙C、D分析:设绳与竖直方向的夹角为θ,小球的质量为m,绳长为L,绳上拉力为FT,则有mgtan θ=ma,FTcos θ=mg得a=gtan θ,FT=,所以小球C、D向心加速度大小相同,小球C、D受到绳的拉力大小也相同,故C、D正确.
例8 如图所示,质量相等的甲、乙两个小球,在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动,甲在乙的上方.则( )
A.球甲的角速度一定大于球乙的角速度
B.球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C.球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期
D.球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力
答案 B
解析 对小球受力分析,小球受到重力和支持力,它们的合力提供向心力,设支持力与竖直方向夹角为θ,根据牛顿第二定律有mgtan θ=m=mRω2,解得v= ,ω=,球甲的轨迹半径大,则球甲的角速度一定小于球乙的角速度,球甲的线速度一定大于球乙的线速度,故A错误,B正确;根据T=,因为球甲的角速度一定小于球乙的角速度,则球甲的运动周期一定大于球乙的运动周期,故C错误;因为支持力FN=,结合牛顿第三定律,球甲对筒壁的压力一定等于球乙对筒壁的压力,故D错误.
例9 如图所示,质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来,使小球a在竖直平面内来回摆动,小球b在水平面内做匀速圆周运动,连接小球b
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