高考数学三轮冲刺压轴小题27 临界知识问题 (原卷版)

临界知识问题 【方法综述】 对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查. 另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等.[来源:学+科+网Z+X+X+K] 【解题策略】 类型一 定义新知型临界问题 【例1】（多选）如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【例2】（多选）斐波那契数列，又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合，小到地球上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列一般以递推的方式被定义：，，则（ ） A． B． C．是等比数列 D．设，则 【举一反三】 1．若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）＝g'（t），则称函数g（x）为f（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）＝x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值 范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，2] C．（1，+∞） D．[2，+∞） 2.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于(　　) A． 1 B． 3 C． 5 D． 7 3.集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ① ② ③ ④ 其中是“垂直对点集”的序号是________. 类型二 高等数学背景型临界问题 【例3】已知函数f（x）的图象在点（x0，y0）处的切线为l：y＝g（x），若函数f（x）满足∀x∈I（其中I为函数f（x）的定义域，当x≠x0时，[f（x）﹣g（x）]（x﹣x0）＞0恒成立，则称x0为函数f（x）的“转折点”，已知函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2x在区间[0，1]上存在一个“转折点”，则a的取值范 围是（　　） A．[0，e] B．[1，e] C．[1，+∞） D．（﹣∞，e] 【例4】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 【举一反三】 1．定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2.若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数，，中，与函数不是亲密函数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 类型三 立体几何中的临界问题 立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通. 【例5】如图，在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论： ①；②；③；④ 其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号） 【举一反三】 1.点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点满足，则动点的轨迹的长度为__________． 2.已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【强化训练】 选择题 1．（多选）记表示与实数最接近的整数，数列通项公式为，其前项和为，设，则下列结论正确的是（ ）． A． B． C． D． 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 3．定义集合运算：A⊙B=｛，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛，0，1｝，B=｛｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ） A．1 B．0 C． D． 4.定义：，如，则（ ） A．0 B． C． D．1 5．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（　　） A．2+2 B． C． D． 6．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A．① B．② C．①② D．①②③ 二、填空题 7．艾萨克•牛顿（1643﹣1727），英国皇家学会会长，英国著名物理学家，在数学上也有许多杰出贡献．牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）的零点时给出了一个数列{xn}：，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1和3，数列{xn}为牛顿数列，，且a1＝3，xn＞3，则数列{an}的通项公式为an＝　　． 8．在某个QQ群中有n名同学在玩一种叫“数字哈哈镜”的游戏．这些同学编号依次为1，2，3，…，n．在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）表示．规则如下：编号为k的同学看到的像为（ak，ak+1），且满足ak+1﹣ak＝k（k∈N*），已知编号为1的同学看到的像为（5，6），则编号为4的同学看到的像为　　；某位同学看到的像为（195，q），其中q的值被遮住了，请你帮这位同学猜出q＝　　． 9．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形： 记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题： ①数列{Sn}是等比数列； ②数列{Sn}是递增数列； ③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn＞2018； ④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn＜2018． 其中真命题的序号是　　（请写出所有真命题的序号）． 10.正三棱锥P﹣ABC中，PA＝AB＝4，点E在棱PA上，且PE＝3EA．正三棱锥P﹣ABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，α截球O所得截面面积的最小值为　　． 11．设集合A＝{2n|0≤n≤16，n∈N}，它共有136个二元子集，如{20，21}，{21，22}…等等．记这136个二元子集为B1，B2，B3，…B136，．设，定义S（B1）＝|x﹣y|，则S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝　　．（结果用数字作答） 12．对于定义在R上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）•f（a﹣x）＝1对任意实数x∈R恒成立，则称f（x）为关于a的“τ函数”．已知定义在R上的函数f（x）是关于0和1的“τ函数”，且当x∈[0，1]时，f（x）的取值范围为[1，2]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）的取值范围为　　． 13．已知f（x）＝2x2+2x+b是定义在[﹣1，0]上的函数，若f[f（x）]≤0在定义域上恒成立，而且存在实数x0满足：f[f（x0）]＝x0且f（x0）≠x0，则实数b的取值范围是　　． 14．由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是____． ①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素. 15．已知二进制和十进制可以相互转化，例如，则十进制数89转化为二进制数为.将对应的二进制数中0的个数，记为（例如：，，，则，，），记，则__________． 16．定义在正实数上的函数，其中表示不小于x的最小整数，如，，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则=____. 17．任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则____. 18．已知集合 ，集合 满足① 每个集合都恰有7个元素 ; ② ．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则 的最大值与最小值的和为_______. 19．定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________． 20．普林斯顿大学的康威教授于年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”(Lookandsaysequence)，该数列的后一项由前一项的外观产生.以为首项的“外观数列”记作，其中为、、、、、，即第一项为，外观上看是个，因此第二项为；第二项外观上看是个，因此第三项为；第三项外观上看是个，个，因此第四项为，，按照相同的规则可得其它，例如为、、、、、.给出下列四个结论： ①若的第项记作，的第项记作，其中，则,； ②中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字； ③的每一项中均不含数字； ④对于，，的第项的首位数字与的第项的首位数字相同. 其中所有正确结论的序号是___________. 8 / 8