资源描述
临界知识问题
【方法综述】
对于临界知识问题,其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框,在试卷中临时定义一种新知识,要求学生快速处理,及时掌握,并正确运用,充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力,多与函数、平面向量、数列联系考查.
另外,以高等数学为背景,结合中学数学中的有关知识编制综合性问题,是近几年高考试卷的热点之一,常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等.[来源:学+科+网Z+X+X+K]
【解题策略】
类型一 定义新知型临界问题
【例1】(多选)如图所示,设是平面内相交成角的两条数轴,分别是与轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系为反射坐标系,若,则把有序数对叫做向量的反射坐标,记为.在的反射坐标系中,.则下列结论中,错误的是( )
A. B.
C. D.在上的投影向量为
【例2】(多选)斐波那契数列,又称黄金分割数列,它在很多方面与大自然神奇地契合,小到地球上的动植物,如向日葵、松果、海螺的成长过程,大到海浪、飓风、宇宙星系演变,都遵循着这个规律,人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”,在数学上斐波那契数列一般以递推的方式被定义:,,则( )
A.
B.
C.是等比数列
D.设,则
【举一反三】
1.若函数f(x)与g(x)满足:存在实数t,使得f(t)=g'(t),则称函数g(x)为f(x)的“友导”函数.已知函数为函数f(x)=x2lnx+x的“友导”函数,则k的取值
范围是( )
A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,2] C.(1,+∞) D.[2,+∞)
2.用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=若A={1,2},B={x|(x2+ax)·(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)等于( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
3.集合,若对于任意,存在,使得成立,则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
① ②
③ ④
其中是“垂直对点集”的序号是________.
类型二 高等数学背景型临界问题
【例3】已知函数f(x)的图象在点(x0,y0)处的切线为l:y=g(x),若函数f(x)满足∀x∈I(其中I为函数f(x)的定义域,当x≠x0时,[f(x)﹣g(x)](x﹣x0)>0恒成立,则称x0为函数f(x)的“转折点”,已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣2x在区间[0,1]上存在一个“转折点”,则a的取值范
围是( )
A.[0,e] B.[1,e] C.[1,+∞) D.(﹣∞,e]
【例4】设S是实数集R的非空子集,若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:①集合S={a+b|a,b为整数}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集.其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)
【举一反三】
1.定义:如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b),满足,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,如y=x2是[﹣1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点,现有函数f(x)=x3+tx是[﹣1,1]上的平均值函数,则实数t的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域,则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数,,中,与函数不是亲密函数的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
类型三 立体几何中的临界问题
立体几何的高考题中,最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等,除此之外,还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识,如立体几何与其他知识的交汇,面对这些问题,需要有较强的分析判断能力及思维转换能力,还需要我们对这些问题作一些分析归类,加强知识间的联系,才能让所学知识融会贯通.
【例5】如图,在棱长为的正方体中,动点在其表面上运动,且,把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数,给出下列结论:
①;②;③;④
其中正确的结论是:__________.(填上你认为所有正确的结论序号)
【举一反三】
1.点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点,点满足,则动点的轨迹的长度为__________.
2.已知正方体的体积为1,点在线段上(点异于、两点),点为线段的中点,若平面截正方体所得的截面为四边形,则线段的取值范围为( )
A. B. C. D.
【强化训练】
选择题
1.(多选)记表示与实数最接近的整数,数列通项公式为,其前项和为,设,则下列结论正确的是( ).
A. B. C. D.
2.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数.例如:,,已知函数,则函数的值域为( )
A. B. C. D.
3.定义集合运算:A⊙B={,x∈A,y∈B},设集合A={,0,1},B={},则集合A⊙B的所有元素之和为( )
A.1 B.0 C. D.
4.定义:,如,则( )
A.0 B. C. D.1
5.正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,所有棱长均为2,点E,F分别为棱BB1,A1C1的中点,若过点A,E,F作一截面,则截面的周长为( )
A.2+2 B. C. D.
6.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是
A.① B.② C.①② D.①②③
二、填空题
7.艾萨克•牛顿(1643﹣1727),英国皇家学会会长,英国著名物理学家,在数学上也有许多杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)的零点时给出了一个数列{xn}:,我们把该数列称为牛顿数列.如果函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点1和3,数列{xn}为牛顿数列,,且a1=3,xn>3,则数列{an}的通项公式为an= .
8.在某个QQ群中有n名同学在玩一种叫“数字哈哈镜”的游戏.这些同学编号依次为1,2,3,…,n.在哈哈镜中,每个同学看到的像用数对(p,q)表示.规则如下:编号为k的同学看到的像为(ak,ak+1),且满足ak+1﹣ak=k(k∈N*),已知编号为1的同学看到的像为(5,6),则编号为4的同学看到的像为 ;某位同学看到的像为(195,q),其中q的值被遮住了,请你帮这位同学猜出q= .
9.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如图1,线段AB的长度为a,在线段AB上取两个点C,D,使得AC=DB=,以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形,然后去掉线段CD,得到图2中的图形;对图2中的最上方的线段EF作相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形:
记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为Sn,现给出有关数列{Sn}的四个命题:
①数列{Sn}是等比数列;
②数列{Sn}是递增数列;
③存在最小的正数a,使得对任意的正整数n,都有Sn>2018;
④存在最大的正数a,使得对任意的正整数n,都有Sn<2018.
其中真命题的序号是 (请写出所有真命题的序号).
10.正三棱锥P﹣ABC中,PA=AB=4,点E在棱PA上,且PE=3EA.正三棱锥P﹣ABC的外接球为球O,过E点作球O的截面α,α截球O所得截面面积的最小值为 .
11.设集合A={2n|0≤n≤16,n∈N},它共有136个二元子集,如{20,21},{21,22}…等等.记这136个二元子集为B1,B2,B3,…B136,.设,定义S(B1)=|x﹣y|,则S(B1)+S(B2)+S(B3)…+S(B136)= .(结果用数字作答)
12.对于定义在R上的函数f(x),如果存在实数a,使得f(a+x)•f(a﹣x)=1对任意实数x∈R恒成立,则称f(x)为关于a的“τ函数”.已知定义在R上的函数f(x)是关于0和1的“τ函数”,且当x∈[0,1]时,f(x)的取值范围为[1,2],则当x∈[﹣2,2]时,f(x)的取值范围为 .
13.已知f(x)=2x2+2x+b是定义在[﹣1,0]上的函数,若f[f(x)]≤0在定义域上恒成立,而且存在实数x0满足:f[f(x0)]=x0且f(x0)≠x0,则实数b的取值范围是 .
14.由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪,直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机,所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足,,中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,可能成立的是____.
①没有最大元素,有一个最小元素;②没有最大元素,也没有最小元素;
③有一个最大元素,有一个最小元素;④有一个最大元素,没有最小元素.
15.已知二进制和十进制可以相互转化,例如,则十进制数89转化为二进制数为.将对应的二进制数中0的个数,记为(例如:,,,则,,),记,则__________.
16.定义在正实数上的函数,其中表示不小于x的最小整数,如,,当时,函数的值域为,记集合中元素的个数为,则=____.
17.任意实数,,定义,设函数,数列是公比大于0的等比数列,且,,则____.
18.已知集合 ,集合 满足① 每个集合都恰有7个元素 ; ② .集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数,记为(),则 的最大值与最小值的和为_______.
19.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上,且,分别以各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和构成平面区域,则平面区域的“直径”的最大值是__________.
20.普林斯顿大学的康威教授于年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”(Lookandsaysequence),该数列的后一项由前一项的外观产生.以为首项的“外观数列”记作,其中为、、、、、,即第一项为,外观上看是个,因此第二项为;第二项外观上看是个,因此第三项为;第三项外观上看是个,个,因此第四项为,,按照相同的规则可得其它,例如为、、、、、.给出下列四个结论:
①若的第项记作,的第项记作,其中,则,;
②中存在一项,该项中某连续三个位置上均为数字;
③的每一项中均不含数字;
④对于,,的第项的首位数字与的第项的首位数字相同.
其中所有正确结论的序号是___________.
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