新高考二轮复习多选题与双空题满分训练专题3函数及其性质多选题（教师版）

专题3 函数及其性质多选题 新高考地区专用 1．已知函数，则（       ） A．的定义域为R B． 是奇函数 C．在上单调递减 D． 有两个零点 【答案】BC 【详解】对：的定义域为，错误； 对：，且定义域关于原点对称，故是奇函数，正确； 对：当时，，单调递减，正确； 对：因为，，所以无解，即没有零点，错误． 故选：. 2．已知函数，则（       ） A．的图象关于直线对称 B．在上为减函数 C．有4个零点 D．，使 【答案】AB 【详解】解：定义域为， 因为，其中与关于轴对称，即的图象关于轴对称， 将 向右平移个单位得到，即关于对称， 又 关于直线对称，故函数的图象关于直线对称，故A正确； 当时，则， 所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，故B正确； 所以当时在处取得极大值即最大值，又因为，根据对称性可得，所以只有2个零点，故C错误； 由，所以不存在，使，故D错误； 故选：AB 3．已知函数，则(   ) A．，，成等差数列 B．，，成等差数列 C．，，成等比数列 D．，，成等比数列 【答案】ABD 【详解】A：，， 则，由等差中项的应用知， 成等差数列，所以A正确； B：，，， 则，由等差中项的应用知， 成等差数列，所以B正确； C：，， 则，，成等差数列，又，所以C错误； D：，，， 则，由等比中项的应用知， 成等比数列，所以D正确. 故选：ABD. 4．已知、，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，因为， 所以，，当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，，B对； 对于C选项，取，，则 ，此时，C错； 对于D选项，令，其中， 则，所以，函数在上为增函数， 因为，则，D对. 故选：ABD. 5．已知（e为自然对数的底数），则（       ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，所以，，． 对，，这三个数先取自然对数再除以，则，，, 设，则，由，解得， 所以在上单调递增，故， 即，则，故， 故选：AD． 6．已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（       ） A．是以2为周期的周期函数 B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数有3个零点 【答案】BD 【详解】依题意，为偶函数， 且，有，即关于对称， 则 ， 所以是周期为4的周期函数，故A错误； 因为的周期为4，关于对称， 所以是函数的一个对称中心，故B正确； 因为的周期为4，则，， 所以，故C错误； 作函数和的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数有3个零点，故D正确. 故选：BD. 7．已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（       ） A．图象关于直线对称 B． C．的最小正周期为4 D．对任意都有 【答案】ABD 【详解】由的对称中心为，对称轴为， 则也关于直线对称且，A、D正确， 由A分析知：，故， 所以， 所以的周期为4，则，B正确； 但不能说明最小正周期为4，C错误； 故选：ABD 8．若函数的图象与的图象关于y轴对称，则（       ） A． B．θ的值可以是 C．函数f(x)在单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可以得到g(x)的图象 【答案】AC 【详解】因为， 由题意，所以，即， 所以，θ的值不可以是，， 当时，，由正弦函数的单调性知函数f(x)在单调递减； 将的图象向右平移个单位长度可得，得不到g(x)的图象. 故选：AC 9．已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（       ） A．在上单调递减 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】方法一：对于A，若，符合题意，故错误， 对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确， 对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，， 由题意，得，关于直线对称， 易得奇函数的一个周期为4，，故C正确， 由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注） 且的一个周期为4，所以，故D正确． 备注：，即，所以， 等式两边对x求导得，， 令，得，所以． 方法二：对于A，若，符合题意，故错误， 对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确， 对于C，将中的x代换为， 得，所以， 可得，两式相减得，， 则，，…，， 叠加得， 又由，得， 所以，故正确， 对于D，将的两边对x求导，得， 令得，，将的两边对x求导，得，所以， 将的两边对x求导，得， 所以，故正确． 故选：BCD 10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（       ） A． B．在上为减函数 C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有个实数解 【答案】CD 【详解】为奇函数，，即， 关于点对称；为偶函数，，即， 关于对称；由，得：， ，即是周期为的周期函数； 对于A，，A错误； 对于C，，即， 关于点成中心对称，C正确； 对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示， 由图象可知：在上单调递增，B错误； 方程的解的个数，等价于与的交点个数， ，， 结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确. 故选：CD. 11．若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（       ） A．函数的图象关于点对称 B．2是函数的一个周期 C． D． 【答案】AC 【详解】函数是奇函数，， 函数图象关于点对称，故A正确； 函数是周期为2，所以的周期为4，故B错误； 函数是周期为2的奇函数， ，故C正确； ，无法判断的值，故D错误. 故选：AC. 12．已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（       ） A． B．有3个零点 C．的对称中心是 D． 【答案】ABD 【详解】由题设，，且， 所以，整理得， 故，可得，故， 又，即，A正确；有3个零点，B正确； 由，则，所以关于对称，C错误； ，D正确. 故选：ABD 13．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且．则下列选项中说法不正确的有（       ） A．为奇函数 B．周期为2 C． D．是奇函数 【答案】BC 【详解】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，即；所以， 所以函数的周期，所以选项A正确、B错误； ，故选项C错误； 对选项D：所以是奇函数，D正确. 故选：BC. 14．已知函数，则下列结论正确的是（       ） A．函数的一个周期为 B．函数在上单调递增 C．函数的最大值为 D．函数图象关于直线对称 【答案】ABD 【详解】由知，A正确； 由在上单调递增及复合函数的单调性知，在上单调递增，由在上单调递减，可知在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B正确； 当时，，故函数的最大值取不是，故C错误； 关于直线对称，故D正确. 故答案为：ABD 15．已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（       ） A．是以4为周期的周期函数 B． C．函数有3个零点 D．当时， 【答案】ACD 【详解】依题意，为偶函数，且关于对称， 则 ， 所以是周期为4的周期函数，A正确. 因为的周期为4，则，， 所以，B错误； 作函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C正确； 当时，，则，D正确. 故选：ACD 16．已知函数，则下列说法正确的是（       ） A．是偶函数 B．在（0，+∞）上单调递减 C．是周期函数 D．≥-1恒成立 【答案】AD 【详解】的定义域为R， 则为偶函数.故选项A判断正确； 时，，恒成立，则为上增函数. 故选项B判断错误；选项C判断错误；又为偶函数，则为上减函数 又，则的最小值为.故选项D判断正确； 故选：AD 17．已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（       ） A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减 C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点 【答案】BC 【详解】因为，取，得，故，又是偶函数，所以，所以，故，即的一个周期为12，故A项错误；又在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，由周期性可知，在区间上单调递减，故B项正确；因为是偶函数，所以的图像关于y轴对称，由周期性可知的图像关于直线对称，故C项正确；因为在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，，由周期性可知，在区间上，，而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，又，所以在区间上有337个零点，由为偶函数，可知在区间上有674个零点，故D项错误． 故选：BC项． 18．已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】CD 【详解】设，则在R上单调递增， 因为，则， 设，则，即，所以， 设，，当，当， 则在单调递减，在单调递增， ，即，所以，即，故的取值可以是3和4. 故选：CD. 19．对于偶函数，下列结论中正确的是（       ） A．函数在处的切线斜率为 B．函数恒成立 C．若 则 D．若对于恒成立，则的最大值为 【答案】BD 【详解】因为为偶函数，所以，所以； 对于选项， 因为 所以 所以 所以函数在处的切线斜率为 故选项正确； 对于选项， 令 则 当时， 所以单调递减，所以 即   所以 因为为偶函数，所以函数恒成立. 故选项正确； 对于选项， 令 则 当时， 所以在上单调递减，所以 即在上恒成立，因此函数在上单调递减. 又所以 故选项错误； 对于选项，因为函数在上单调递减，所以函数在上也单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 即的最大值为 故选项正确； 故选：. 20．已知函数，则（       ） A．是奇函数 B．的图象关于点对称 C．有唯一一个零点 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】对于A，由得：，即定义域为，不关于原点对称， 为非奇非偶函数，A错误；对于B，，， ，图象关于点对称，B正确； 对于C，当时，； 在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减； 在上单调递增，在上单调递减； 在上单调递减；由知：图象关于对称，在上单调递减； 当时，，，，在上无零点； 当时，，， ，使得，则在上有唯一零点； 综上所述：有唯一一个零点，C正确； 对于D，由C知：在和上单调递减， 又时，；时，； ①当，即时，由得：，解得：（舍）或； ②当时，不等式组无解，不合题意； ③当，即时，，，满足题意； ④当，即时，，，不合题意； 综上所述：的解集为：，D正确. 故选：BCD. 21．已知定义在R上的函数的图象连续不间断，当时，，且当时，，则下列说法正确的是（       ） A． B．在上单调递减 C．若，则 D．若是的两个零点，且，则 【答案】ACD 【详解】对于A，在中令，则，所以，故A正确； 对于B，当时，，对两边求导，则， 所以时，， 所以，令，，， 所以在上单调递增，所以B错； 对于C，由B知，在上单调递增，上单调递减，由知不可能均大于等于1，否则，则，这与条件矛盾，舍去. ①若，则，满足条件，此时，；’ ②若，则，而，则 ， 所以，而，所以，C正确； 对于D，由在上单调递增，上单调递减，知， 注意到，，，所以， 若，