高考数学三轮冲刺压轴小题16 立体几何中探索性问题 (解析版)

立体几何中探索性问题 一．方法综述 立体几何在高考中突出对考生空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力等核心素养的考查。考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法。 对于探索性问题（是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题）是近几年高考命题的热点，问题一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比探索型。现进行归纳整理，以便对此类问题有一个明确的思考方向和解决办法。 二．解题策略 类型一 空间平行关系的探索 【例1】（2020·眉山外国语学校高三期中（理））在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是__________ ①存在点，使得平面平面； ②存在点，使得平面平面； ③的面积可能等于； ④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得 【答案】①②③④ 【解析】①如图所示，当是中点时，可知也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知， 且，所以平面， 又平面，所以平面平面，故正确； ②如图所示，取靠近的一个三等分点记为，记，，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点， 则为中点，又为中点，所以，且，，，所以平面平面，且平面， 所以平面，故正确； ③如图所示，作，在中根据等面积得：， 根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形， 则，故正确； ④如图所示，设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，，当时，解得：，故正确. 故答案为 ①②③④ 【点评】.探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论。平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本。 【举一反三】 1．（2020·黑龙江大庆实验中学高三（文））如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题： ①四棱锥的体积恒为定值； ②存在点，使得平面； ③对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面； ④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值. 其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号） 【答案】①②④ 【解析】对①,,又三棱锥底面 不变,且因为∥底面,故到底面的距离即上的高长度不变.故三棱锥体积一定,即四棱锥的体积恒为定值,①正确. 对②,因为,且长方体,故四边形为正方形, 故.要平面则只需,又,故只需面. 又平面,故只需即可.因为,故当 时存在点,使得,即平面.故②正确. 对③,当在时总有与平面相交,故③错误. 对④,四边形的周长,分析即可. 将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为使得截面四边形的周长取得最小值时的唯一点.故④正确. 故答案为：①②④ 2.（2020北京西城区高三期末）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：平面ACF⊥平面BDEF； （Ⅱ）若过直线BD的一个平面与线段AE和AF分别相交于点G和H（点G与点A，E均不重合）， 求证：EF∥GH； （Ⅲ）判断线段CE上是否存在一点M，使得平面BDM∥平面AEF？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由． 【答案】见解析 解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD． 又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD， 且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF． 又AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BDEF． （Ⅱ）证明：∵EF∥BD，EF⊂平面AEF，BD⊄平面AEF，∴BD∥平面AEF， 又BD⊂平面BDGH，平面AEF∩平面BDGH=GH， ∴BD∥GH，又BD∥EF，∴GH∥EF． （Ⅲ）解：线段CE上存在一点M，使得平面BDM∥平面AEF，此时． 以下给出证明过程．证明：设CE的中点为M，连接DM，BM， 因为BD∥EF，BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以BD∥平面AEF．设AC∩BD=O，连接OM， 在△ACE中，因为OA=OC，EM=MC，所以OM∥AE， 又因为OM⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，所以OM∥平面AEF． 又因为OM∩BD=O，OM，BD⊂平面BDM，所以平面BDM∥平面AEF． 类型二　空间垂直关系的探索 【例2】（2020·上海市控江中学高三（理））已知矩形, , ,将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折的过程中( ) A．存在某个位置,使得直线和直线垂直 B．存在某个位置,使得直线和直线垂直 C．存在某个位置,使得直线和直线垂直 D．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直 【答案】A 【解析】如图所示：作于，于 翻折前，易知存在一个状态使，满足，，平面，平面，故正确错误； 若和垂直，平面，平面，不成立，故错误； 若和垂直，故平面，平面，，因为 ，故不成立，故错误； 故选： 【举一反三】 1．（2020·合肥市第六中学高三（理））已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ）． A．当时，存在某个位置，使得 B．当时，存在某个位置，使得 C．当时，存在某个位置，使得 D．时，都不存在某个位置，使得 【答案】C 【解析】 立体几何中探索性问题 ∵，∴若存在某个位置，使得直线，则平面，则，在中，，，则由直角边小于斜边可知，，即，结合选项可知只有选项中时，存在某个位置，使得，故选． 【方法点晴】本题主要考查翻折问题、线面垂直与线线垂直转换的应用以及空间想象能力，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理，本题中，先根据线线垂直得到线面垂直，在根据线面垂直得到线线垂直，从而得到，进而得到结果. 2．（2020·安徽合肥一中高三期末）在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是__________． ①存在点，使得平面平面； ②存在点，使得平面平面； ③若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得； ④的面积可能等于. 【答案】①②③ 【解析】由正方体性质可得平面，平面，所以， 是平面内两条相交直线，所以平面，平面， ，同理可证，是平面内两条相交直线， 所以平面，平面，所以平面平面， 当为直线与平面的交点时，满足平面平面，所以①正确； 根据①证明方法同理可证：， 可以证得平面，平面，所以平面平面， 所以②正确； 设，， 当时，，得：，即时，满足，所以③正确； ，均为直角三角形，， 的最小值为，此时，面积取得最小值， ，的面积不可能等于，所以④说法错误. 故答案为：①②③ 3．（2020·四川高三月考）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面. （1）当为何值时，平面？证明你的结论； （2）若在边上至少存在一点，使，求的取值范围. 【答案】（1），证明见详解；（2） 【解析】（1）当时，四边形为正方形，则. 因为平面，平面， 所以， 又，平面，平面 所以平面. 故当时，平面. （2）设是符合条件的边上的点. 因为平面，平面 所以， 又，，平面，平面 所以平面， 因为平面，所以. 因此，点应是以为直径的圆和边的一个公共点. 则半径， 即.所以. 类型三　空间角与距离的探索 【例3】（2020·重庆市松树桥中学校高三月考）如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题： 异面直线与间的距离为定值； 三棱锥的体积为定值； 异面直线与直线所成的角为定值； 二面角的大小为定值． 其中真命题有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】对于①，异面直线与间的距离即为两平行平面和平面间的距离，即为正方体的棱长，为定值．故①正确． 对于②，由于，而为定值，又P∈AD1，AD1∥平面BDC1，所以点P到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥的体积为定值．故②正确． 对于③，由题意得在正方体中，B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故这两条异面直线所成的角为．故③正确； 对于④，因为二面角P−BC1−D的大小，即为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角的大小为定值．故④正确． 综上①②③④正确．选D． 【举一反三】 1．（2020·浙江学军中学高三期末）正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】考虑相对运动，让四面体ABCD保持静止，平面绕着CD旋转，故其垂线也绕着CD旋转，如下图所示,取AD的中点F，连接EF，则 则也可等价于平面绕着EF旋转，在中，易得如下图示，将问题抽象为如下几何模型，平面的垂线可视为圆锥的底面半径EP，绕着圆锥的轴EF旋转，显然则设BE与平面所成的角为， 则可得 2．（2020·全国高三月考（理））如图，已知等边三角形中，，为的中点，动点在线段上（不含端点），记，现将沿折起至，记异面直线与所成的角为，则下列一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正三角形的边长为， 如图，在等边三角形中，过作的垂线，垂足为， 过作，垂足为， 因为，则，且，故， 所以， ，故，又. 将沿折起至，则. 因，，，故平面， 因，故平面， 平面， 所以，又为异面直线、所成的角， 而，因，故， 故选A. 【点睛】折叠过程中空间中角的大小比较，关键是如何把空间角转化为平面角，同时弄清楚在折叠过程各变量之间的关系（可利用解三角形的方法来沟通）. 3.（2020·北京高三期末）在边长为的等边三角形中，点分别是边上的点，满足且，将沿直线折到的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（ ） A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面 B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面 C．若，当二面角为直二面角时， D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为 【答案】D 【解析】对于A，假设存在，使得平面，如图1所示， 因为平面，平面平面，故，但在平面内，是相交的，故假设错误，即不存在，使得平面，故A错误. 对于B，如图2， 取的中点分别为，连接， 因为为等边三角形，故， 因为，故 所以均为等边三角形，故，， 因为，，，故共线， 所以，因为，故平面， 而平面，故平面平面， 若某个位置，满足平面平面，则在平面的射影在上，也在上，故在平面的射影为，所以， 此时，这与矛盾，故B错误. 对于C，如图3（仍取的中点分别为，连接） 因为，所以为二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，故，所以， 而，故平面，因平面，故. 因为，所以. 在中，， 在中，，故C错. 对于D，如图4（仍取的中点分别为，连接）， 作在底面上的射影，则在上. 因为，所以且，所以其. 又 ， 令，则， 当时，；当时，. 所以在为增函数，在为减函数，故. 故D正确.故选：D. 【点睛】本题考查平面图形的折叠问题、折叠过程的线面、面面关系的判断以及体积最值的计算，解题注意折叠前面变化的量与不变量的量，而线面、面面关系的判断