新高考二轮复习多选题与双空题满分训练专题5导数多选题（教师版）

专题5 导数多选题 新高考地区专用 1．对于函数，下列说法正确的是（       ） A．在处取得最小值 B． C．有两个不同的零点 D．对任，函数有三个零点 【答案】ABD 【详解】根据题意，，令，解得； 令，解得和；所以函数在单调递增， 在和单调递减；所以函数的极小值为，极大值为； 对于A：当时，，当时，恒成立， 所以函数的极小值即为函数的最小值，所以在处取得最小值，故A正确； 对于B：因为函数在单调递减，所以，即，即 所以，故B正确； 对于C：因为恒成立，所以令，即，解得， 故函数只有一个零点，故C不正确； 对于D：令，即在有三个零点， 易知不论为何值，必为其中一个零点，所以在时，只需有两个零点即可， 令，即函数与有两个不同交点即可，， 令，解得，令，解得或，所以在单调递增， 在和单调递减，所以函数的极大值也是最大值为：， 画出图像如下图所示：由图可知，当时，函数与有两个不同交点， 综上可知，对任，函数有三个零点，故D正确. 故选：ABD. 2．函数，下列说法正确的有（       ） A．最小值为 B． C．当时，方程无实根 D．当时，若的两根为，，则 【答案】BD 【详解】解：，定义域，， 或时，；当时． 和时，函数单调递减；，函数单调递增． 画出函数图象如下所示： 对于A．可得时，，因此函数无最小值； 对于B．，函数单调递增，， ），，因此B正确；对于C．当时，方程有一个实根，因此C不正确； 对于D．当时，若的两根为，，则，下面给出证明：不妨设， 要证明，即证明，即证明， 构造函数，，． ，，，，， ，即成立，因此当时，若的两根为，， 则，故D正确． 故选：BD． 3．已知函数，是自然对数的底数，则（       ） A．的最大值为 B． C．若，则 D．对任意两个正实数，且，若，则 【答案】ABD 【详解】由题意得，则 ， 当 时，，递增 ，当 时，，递减， 故，故A正确； 由于，由于当 时，递减，故 ， 即 ，即，因为 ， 故，即，故，故B正确； 因为，即， 设 ，由于当 时，递增 ，当 时， 递减， 故单调减函数，故， 即，由于，不妨设， 则 ， 即，故C错误； 对任意两个正实数，且，若，不妨设 ， 即，设，则， 则，， 而 ， 设 令 ，则， 即为单调增函数，故， 即成立，故，故D正确， 故选：ABD 4．已知，为的导函数，下列说法正确的是（       ） A．在上存在增区间 B．在区间上有2个零点 C． D．有且仅有2个零点 【答案】BCD 【详解】解：由题得， A. 因为，所以，所以，所以在上不存在增区间， 所以该选项不正确； B. 作出函数和在区间的图象，得该选项正确； C. ，所以该选项正确； D. 由题知：， ①当时，可知在上单调递增   在上单调递减， 又为在上的唯一零点. ②当时，在上单调递增，在上单调递减, 又       , 在上单调递增，此时，不存在零点, 又,，使得, 在上单调递增，在上单调递减, 又，, 在上恒成立，此时不存在零点, ③当时，单调递减，单调递减,在上单调递减, 又，, 即，又在上单调递减,在上存在唯一零点, ④当时，，,, 即在上不存在零点,综上所述：有且仅有个零点. 所以该选项正确. 故选：BCD 5．对于偶函数，下列结论中正确的是（       ） A．函数在处的切线斜率为 B．函数恒成立 C．若 则 D．若对于恒成立，则的最大值为 【答案】BD 【详解】因为为偶函数，所以，所以； 对于选项， 因为 所以 所以 所以函数在处的切线斜率为 故选项正确； 对于选项， 令 则 当时， 所以单调递减，所以 即   所以 因为为偶函数，所以函数恒成立. 故选项正确； 对于选项， 令 则 当时， 所以在上单调递减，所以 即在上恒成立， 因此函数在上单调递减. 又所以 故选项错误； 对于选项，因为函数在上单调递减，所以函数在上也单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 即的最大值为 故选项正确； 故选：. 6．已知正实数a，b，c满足，则一定有（       ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由正实数a，b，c，以及，可得， 又，所以．所以，又，所以， 即，等价于， 构造函数，，当时， 故在上递增，从而．又取时，原式为同样成立， 故CD不正确， 故选：AB 7．已知、，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，因为， 所以，，当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，，B对； 对于C选项，取，，则 ，此时，C错； 对于D选项，令，其中， 则，所以，函数在上为增函数， 因为，则，D对. 故选：ABD. 8．若，则下列式子可能成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】令，则恒成立，所以单调递增， 其中，，则存在，使得 ①当时，即， 若，则，且，则， 不满足，故，且，所以 又因为，所以，D正确； ②当时，，即 （1）当时，，，则成立，故，B正确； （2）当时，，若，则， 因为，且在上单调递增， 所以当时，，则， 所以，所以，又因为，所以，选项C正确. 故选：BCD 9．若直线是曲线与曲线的公切线，则（       ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】解：设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 对于函数，，则，解得， 所以，即.对于函数，，则， 又，所以，又，所以，. 故选：AD 10．若函数存在两个极值点 ，则（       ） A．函数至少有一个零点 B．或 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A， ， 是 的一个零点，故A正确 对于B， 存在两个极值点 ， 有两个不相等的实数根，即 有两个变号零点 ，即 ， 又， ，解得 综上， ，故B错误 对于C，由B选项可得， ， ， ， 故C正确 对于D， 将 代入上式 令 有 在 上单调递增， ，故D正确 故选：ACD 11．已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】CD 【详解】设，则在R上单调递增， 因为，则， 设，则，即，所以， 设，，当，当， 则在单调递减，在单调递增，，即， 所以，即，故的取值可以是3和4. 故选：CD. 12．已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（       ） A．在上单调递减 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】方法一：对于A，若，符合题意，故错误， 对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确， 对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，， 由题意，得，关于直线对称， 易得奇函数的一个周期为4，，故C正确， 由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注） 且的一个周期为4，所以，故D正确． 备注：，即，所以， 等式两边对x求导得，， 令，得，所以． 方法二：对于A，若，符合题意，故错误， 对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确， 对于C，将中的x代换为， 得，所以， 可得，两式相减得，， 则，，…，， 叠加得， 又由，得，所以，故正确， 对于D，将的两边对x求导，得， 令得，，将的两边对x求导，得，所以， 将的两边对x求导，得， 所以，故正确． 故选：BCD 13．已知函数，，则下列结论正确的是（       ） A．对任意的，存在，使得 B．若是的极值点，则在上单调递减 C．函数的最大值为 D．若有两个零点，则 【答案】BD 【详解】由题意知：，，当时，，单增，无最大值，故C错误； 当时，在上，单增；在上，单减； 故，当，即时，无零点，故A错误； 若是的极值点，则，，故在单减，B正确； 若有两个零点，则，且，解得， 又时，，时，，此时有两个零点，D正确. 故选：BD. 14．已知函数，.（       ） A．当时，没有零点 B．当时，是增函数 C．当时，直线与曲线相切 D．当时，只有一个极值点，且 【答案】ACD 【详解】当时，，则，在上为增函数，且，所以在上存在唯一的零点m，则，所以，则在上单调递减，在上单调递增，所以，从而没有零点，故A正确，B错误. 当时，，则，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，所以C正确. 因为在上为增函数，且所以只有一个极值点，且，所以D正确. 故选：ACD 15．已知函数，则（       ） A．的图象关于直线对称 B．在上为减函数 C．有4个零点 D．，使 【答案】AB 【详解】解：定义域为， 因为，其中与关于轴对称，即的图象关于轴对称， 将 向右平移个单位得到，即关于对称， 又 关于直线对称，故函数的图象关于直线对称，故A正确； 当时，则， 所以当时，当时， 即在上单调递增，在上单调递减，故B正确； 所以当时在处取得极大值即最大值， 又因为，根据对称性可得，所以只有2个零点，故C错误； 由，所以不存在，使，故D错误； 故选：AB 16．已知，则（       ） A．    B．    C．    D．    【答案】ABC 【详解】由题意，，得 ， ，，∴，∴，A对； ，令，即有， 令，在上递减，在上递增， 因为 ，∴， 作出函数以及 大致图象如图： 则，∴，结合图象则， ∴，∴，B对； 结合以上分析以及图象可得，∴，且 ， ∴，C对；由C的分析可知，， 在区间 上，函数 不是单调函数，即不成立， 即不成立，故D错误； 故选：ABC． 17．设为函数的导函数，已知为偶函数，则（       ） A．的最小值为2 B．为奇函数 C．在内为增函数 D．在内为增函数 【答案】BCD 【详解】，由可得，从而，于是. ，取等号时，因为，所以.所以A错误， 由，得， 因为，所以为奇函数，所以B正确， 因为，所以在为增函数，所以C正确， ，当时，，当时，，则，综上，当时，，所以在内为增函数，所以D正确， 故选：BCD 18．已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】构造函数 ， ， 当 时， ， 时， ， 时， ， 在处取最大值， ， ，函数图像如下： ， ，A正确；B错误； ， ， ，C正确，D错误； 故选：AC. 19．已知函数，，则（       ） A．函数在上无极值点 B．函数在上存在唯一极值点 C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为 D．若，则的最大值为 【答案】AD 【详解】对于A：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，故函数在上无极值点，故A正确； 对于B：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则函数在上无极值点，故B错误； 对于C：由A得在上单调递增，不等式恒成立，则恒成立，故恒成立.设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故C错误； 对于D：若，则.由A，B可知函数在上单调递增，在上单调递增，∵，∴，，且，当时，，设，设，则，令，解得，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，此时，故的最大值为，故D正确. 故选：AD. 20．已知，下列不等式恒成立的是（       ） A． B