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专题5 导数多选题
新高考地区专用
1.对于函数,下列说法正确的是( )
A.在处取得最小值 B.
C.有两个不同的零点 D.对任,函数有三个零点
【答案】ABD
【详解】根据题意,,令,解得;
令,解得和;所以函数在单调递增,
在和单调递减;所以函数的极小值为,极大值为;
对于A:当时,,当时,恒成立,
所以函数的极小值即为函数的最小值,所以在处取得最小值,故A正确;
对于B:因为函数在单调递减,所以,即,即
所以,故B正确;
对于C:因为恒成立,所以令,即,解得,
故函数只有一个零点,故C不正确;
对于D:令,即在有三个零点,
易知不论为何值,必为其中一个零点,所以在时,只需有两个零点即可,
令,即函数与有两个不同交点即可,,
令,解得,令,解得或,所以在单调递增,
在和单调递减,所以函数的极大值也是最大值为:,
画出图像如下图所示:由图可知,当时,函数与有两个不同交点,
综上可知,对任,函数有三个零点,故D正确.
故选:ABD.
2.函数,下列说法正确的有( )
A.最小值为
B.
C.当时,方程无实根
D.当时,若的两根为,,则
【答案】BD
【详解】解:,定义域,,
或时,;当时.
和时,函数单调递减;,函数单调递增.
画出函数图象如下所示:
对于A.可得时,,因此函数无最小值;
对于B.,函数单调递增,, ),,因此B正确;对于C.当时,方程有一个实根,因此C不正确;
对于D.当时,若的两根为,,则,下面给出证明:不妨设,
要证明,即证明,即证明,
构造函数,,.
,,,,,
,即成立,因此当时,若的两根为,,
则,故D正确.
故选:BD.
3.已知函数,是自然对数的底数,则( )
A.的最大值为
B.
C.若,则
D.对任意两个正实数,且,若,则
【答案】ABD
【详解】由题意得,则 ,
当 时,,递增 ,当 时,,递减,
故,故A正确;
由于,由于当 时,递减,故 ,
即 ,即,因为 ,
故,即,故,故B正确;
因为,即,
设 ,由于当 时,递增 ,当 时, 递减,
故单调减函数,故,
即,由于,不妨设, 则 ,
即,故C错误;
对任意两个正实数,且,若,不妨设 ,
即,设,则,
则,,
而
,
设 令 ,则,
即为单调增函数,故,
即成立,故,故D正确,
故选:ABD
4.已知,为的导函数,下列说法正确的是( )
A.在上存在增区间 B.在区间上有2个零点
C. D.有且仅有2个零点
【答案】BCD
【详解】解:由题得,
A. 因为,所以,所以,所以在上不存在增区间,
所以该选项不正确;
B. 作出函数和在区间的图象,得该选项正确;
C. ,所以该选项正确;
D. 由题知:,
①当时,可知在上单调递增
在上单调递减,
又为在上的唯一零点.
②当时,在上单调递增,在上单调递减,
又 ,
在上单调递增,此时,不存在零点,
又,,使得,
在上单调递增,在上单调递减,
又,,
在上恒成立,此时不存在零点,
③当时,单调递减,单调递减,在上单调递减,
又,,
即,又在上单调递减,在上存在唯一零点,
④当时,,,,
即在上不存在零点,综上所述:有且仅有个零点. 所以该选项正确.
故选:BCD
5.对于偶函数,下列结论中正确的是( )
A.函数在处的切线斜率为
B.函数恒成立
C.若 则
D.若对于恒成立,则的最大值为
【答案】BD
【详解】因为为偶函数,所以,所以;
对于选项, 因为 所以 所以
所以函数在处的切线斜率为 故选项正确;
对于选项, 令 则
当时, 所以单调递减,所以
即 所以
因为为偶函数,所以函数恒成立. 故选项正确;
对于选项, 令
则 当时,
所以在上单调递减,所以
即在上恒成立,
因此函数在上单调递减. 又所以 故选项错误;
对于选项,因为函数在上单调递减,所以函数在上也单调递减,
所以在上恒成立,即在上恒成立,
即的最大值为 故选项正确;
故选:.
6.已知正实数a,b,c满足,则一定有( )
A. B. C. D.
【答案】AB
【详解】由正实数a,b,c,以及,可得,
又,所以.所以,又,所以,
即,等价于,
构造函数,,当时,
故在上递增,从而.又取时,原式为同样成立,
故CD不正确,
故选:AB
7.已知、,且,则( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【详解】对于A选项,因为,
所以,,当且仅当时,等号成立,A对;
对于B选项,由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,
所以,,B对;
对于C选项,取,,则
,此时,C错;
对于D选项,令,其中,
则,所以,函数在上为增函数,
因为,则,D对.
故选:ABD.
8.若,则下列式子可能成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【详解】令,则恒成立,所以单调递增,
其中,,则存在,使得
①当时,即,
若,则,且,则,
不满足,故,且,所以
又因为,所以,D正确;
②当时,,即
(1)当时,,,则成立,故,B正确;
(2)当时,,若,则,
因为,且在上单调递增,
所以当时,,则,
所以,所以,又因为,所以,选项C正确.
故选:BCD
9.若直线是曲线与曲线的公切线,则( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【详解】解:设直线与曲线相切于点,
与曲线相切于点,
对于函数,,则,解得,
所以,即.对于函数,,则,
又,所以,又,所以,.
故选:AD
10.若函数存在两个极值点 ,则( )
A.函数至少有一个零点 B.或
C. D.
【答案】ACD
【详解】对于A,
, 是 的一个零点,故A正确
对于B, 存在两个极值点 ,
有两个不相等的实数根,即 有两个变号零点
,即 ,
又, ,解得 综上, ,故B错误
对于C,由B选项可得, , , , 故C正确
对于D,
将 代入上式
令
有 在 上单调递增, ,故D正确
故选:ACD
11.已知,e是自然对数的底,若,则的取值可以是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】CD
【详解】设,则在R上单调递增,
因为,则,
设,则,即,所以,
设,,当,当,
则在单调递减,在单调递增,,即,
所以,即,故的取值可以是3和4.
故选:CD.
12.已知奇函数在R上可导,其导函数为,且恒成立,若在单调递增,则( )
A.在上单调递减 B.
C. D.
【答案】BCD
【详解】方法一:对于A,若,符合题意,故错误,
对于B,因已知奇函数在R上可导,所以,故正确,
对于C和D,设,则为R上可导的奇函数,,
由题意,得,关于直线对称,
易得奇函数的一个周期为4,,故C正确,
由对称性可知,关于直线对称,进而可得,(其证明过程见备注)
且的一个周期为4,所以,故D正确.
备注:,即,所以,
等式两边对x求导得,,
令,得,所以.
方法二:对于A,若,符合题意,故错误,
对于B,因已知奇函数在R上可导,所以,故正确,
对于C,将中的x代换为,
得,所以,
可得,两式相减得,,
则,,…,,
叠加得,
又由,得,所以,故正确,
对于D,将的两边对x求导,得,
令得,,将的两边对x求导,得,所以,
将的两边对x求导,得,
所以,故正确.
故选:BCD
13.已知函数,,则下列结论正确的是( )
A.对任意的,存在,使得
B.若是的极值点,则在上单调递减
C.函数的最大值为
D.若有两个零点,则
【答案】BD
【详解】由题意知:,,当时,,单增,无最大值,故C错误;
当时,在上,单增;在上,单减;
故,当,即时,无零点,故A错误;
若是的极值点,则,,故在单减,B正确;
若有两个零点,则,且,解得,
又时,,时,,此时有两个零点,D正确.
故选:BD.
14.已知函数,.( )
A.当时,没有零点
B.当时,是增函数
C.当时,直线与曲线相切
D.当时,只有一个极值点,且
【答案】ACD
【详解】当时,,则,在上为增函数,且,所以在上存在唯一的零点m,则,所以,则在上单调递减,在上单调递增,所以,从而没有零点,故A正确,B错误.
当时,,则,因为,,所以曲线在点处的切线方程为,所以C正确.
因为在上为增函数,且所以只有一个极值点,且,所以D正确.
故选:ACD
15.已知函数,则( )
A.的图象关于直线对称
B.在上为减函数
C.有4个零点
D.,使
【答案】AB
【详解】解:定义域为,
因为,其中与关于轴对称,即的图象关于轴对称,
将 向右平移个单位得到,即关于对称,
又
关于直线对称,故函数的图象关于直线对称,故A正确;
当时,则,
所以当时,当时,
即在上单调递增,在上单调递减,故B正确;
所以当时在处取得极大值即最大值,
又因为,根据对称性可得,所以只有2个零点,故C错误;
由,所以不存在,使,故D错误;
故选:AB
16.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】ABC
【详解】由题意,,得 ,
,,∴,∴,A对;
,令,即有,
令,在上递减,在上递增,
因为 ,∴,
作出函数以及 大致图象如图:
则,∴,结合图象则,
∴,∴,B对;
结合以上分析以及图象可得,∴,且 ,
∴,C对;由C的分析可知,,
在区间 上,函数 不是单调函数,即不成立,
即不成立,故D错误;
故选:ABC.
17.设为函数的导函数,已知为偶函数,则( )
A.的最小值为2 B.为奇函数
C.在内为增函数 D.在内为增函数
【答案】BCD
【详解】,由可得,从而,于是.
,取等号时,因为,所以.所以A错误,
由,得,
因为,所以为奇函数,所以B正确,
因为,所以在为增函数,所以C正确,
,当时,,当时,,则,综上,当时,,所以在内为增函数,所以D正确,
故选:BCD
18.已知,且 ,其中e为自然对数的底数,则下列选项中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【详解】构造函数 , ,
当 时, , 时, , 时, ,
在处取最大值, , ,函数图像如下:
, ,A正确;B错误;
, ,
,C正确,D错误;
故选:AC.
19.已知函数,,则( )
A.函数在上无极值点
B.函数在上存在唯一极值点
C.若对任意,不等式恒成立,则实数a的最大值为
D.若,则的最大值为
【答案】AD
【详解】对于A:,令,则,令,解得:,令,解得:,故在上单调递减,在上单调递增,故,故在上单调递增,故函数在上无极值点,故A正确;
对于B:,令,则,令,解得:,令,解得:,故在上单调递减,在上单调递增,故,故在上单调递增,则函数在上无极值点,故B错误;
对于C:由A得在上单调递增,不等式恒成立,则恒成立,故恒成立.设,则,令,解得:,令,解得:,故在上单调递增,在上单调递减,故,故,故C错误;
对于D:若,则.由A,B可知函数在上单调递增,在上单调递增,∵,∴,,且,当时,,设,设,则,令,解得,令,解得:,故在上单调递增,在上单调递减,故,此时,故的最大值为,故D正确.
故选:AD.
20.已知,下列不等式恒成立的是( )
A. B
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