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专题4 三角函数与解三角形多选题
新高考地区专用
1.已知函数,则下列说法正确的是( )
A.函数的周期为 B.函数的最大值为2
C.在区间上单调递增 D.是函数的一个零点
【答案】ACD
【详解】函数的周期为,A正确;
函数的最大值为,B不正确;
∵,则,则在上单调递增,C正确;
,D正确;
故选:ACD.
2.设函数,则下列结论中正确的是( )
A.的最小正周期为 B.在单调递减
C.的图象关于直线对称 D.的值城为
【答案】AD
【详解】依题意,,
则的最小正周期为,A正确;
当时,令,,
而函数在上单调递减,在上单调递减,
因此,在上单调递增,B不正确;
因,,即图象上的点关于直线对称点不在的图象上,C不正确;
当时,,则,
当时,,因此,的值城为,D正确.
故选:AD
3.如果函数的最大值为,那么该三角函数的周期可能为( )
A. B. C. D.
【答案】BD
【详解】.
则其最大值为,
所以,则a=2+4k,,函数的周期即为.
对照四个选项中只有BD符合.
故选:BD
4.已知函数,,若存在,使得对任意,恒成立,则下列结论正确的是( )
A.对任意,
B.存在,使得
C.存在,使得在上有且仅有1个零点
D.存在,使得在上单调递减
【答案】AD
【详解】,其中,,为锐角,
恒成立,则是的最大值,是其函数图象的一条对称轴,因此,A正确;的周期是,因此是最小值点,B错;
,则时,,时,,
所以时,,,在上恒为0,有无数个零点,C错;
由的定义知其在上递减,在上递增,
所以当时,,D正确.
故选:AD.
5.已知函数,则下列结论中正确的是( )
A.若ω=2,则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B.若 ,且 的最小值为,则ω=2
C.若在[0, ]上单调递增,则ω的取值范围为(0,3]
D.若在[0,π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是
【答案】ABD
【详解】函数
选项A:若,,将的图像向左平移个单位长度得函数的图像,所以A正确;
选项B:若,则是函数的最大值点或最小值点,若的最小值为,则最小正周期是,所以,B正确;
选项C:若在上单调递增,则,所以,C错误;
选项D:设,当时,
若在仅有3个零点,即在仅有3个零点
则,所以,D正确,
故选:ABD.
6.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.是周期函数 B.是奇函数
C.的图象关于直线对称 D.在处取得最大值
【答案】BD
【详解】
,
A.的最小周期是,的最小正周期是,但,,所以函数不是周期函数,故A错误;
B.设,,,
当时,同理可得,且,所以函数时奇函数,故B正确;
C.,,,所以函数的图象不关于直线对称,故C错误;
D. 时,,所以函数取得最大值,故D正确.
故选:BD
7.已知函数,则下列说法正确的是( )
A.函数的最小正周期为π
B.函数的对称轴方程为()
C.函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D.方程在[0,10]内有7个根
【答案】ACD
【详解】
,
对于A,函数的最小正周期为,所以A正确,
对于B,由,得,
所以函数的对称轴方程为,所以B错误,
对于C,的图象向右平移,得,
所以函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到,所以C正确,
对于D,由,得或,
得或,由,得,
由,得,所以方程在[0,10]内有7个根,所以D正确,
故选:ACD
8.已知,函数在上单调递增,且对任意,都有,则的取值可以为( )
A.1 B. C. D.2
【答案】BCD
【详解】由,得,
则,,解得,.
由,,得,,
因为,所以当时,不符合条件,故,即.
由,得,
则,,解得,,
由,,得,,
因为,所以当时,不符合条件,故,即.
综上所述,的取值范围为.所以的取值可以为选项中的,,2.
故选:BCD.
9.函数在一个周期内的图象可以是( )
A. B. C. D.
【答案】AC
【详解】函数,其中,
因为,所以,
又函数是由向左或向右平移个单位得到的,AC符合题意,
故选:AC
10.函数的部分图象如图,则( )
A.函数的对称轴方程为
B.函数的递减区间为
C.函数在区间上递增
D.的解集为
【答案】AD
【详解】根据图象可知,,,所以,即,又,
而,所以,,即.
对A,令,解得,A正确;
对B,由图结合函数周期可知,函数的递增区间为,B错误;
对C,由图可知,函数在区间上递减,在上递增,C错误;
对D,在函数的一个周期内,由可解得,或,
所以的解集为,D正确.
故选:AD.
11.已知函数的部分图像如图所示,则( )
A. B.
C.点是图象的一个对称中心 D.函数在上的最小值为
【答案】AC
【详解】解:由图像可知,函数的周期为,即,所以,故A选项正确;
因为,即,,所以,
因为当时,,此时,故舍去,
所以,此时,满足题意,故B选项错误;
当时,,由于是余弦函数的一个对称中心,故点是图像的一个对称中心,C选项正确;
当时,,由余弦函数在上单调递增,故函数在上单调递增,,故D选项错误.
故选:AC
12.函数(其中的部分图象如图所示、将函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数为奇函数
B.函数在上单调递减
C.函数为偶函数
D.函数的图象的对称轴为直线
【答案】ABC
【详解】解:由函数的图像可知函数的周期为、
且过点、函数的最大值为3,所以,由解得,
又,所以,
所以取时,函数的解析式为,
将函数的图像向左平移个单位长度得,
所以为奇函数,故A正确;
对于B:当时,,因为在上单调递减,
所以在上单调递减,故B正确;
对于C:,则,
即为偶函数,故C正确;
对于D:令,解得,
故的对称轴为,故D错误;
故选:ABC
13.已知函数的部分图像如图所示,下列说法正确的是( )
A.函数的图像关于点中心对称
B.函数的图像关于直线对称
C.函数在上单调递减
D.函数的图像向右平移个单位可得函数的图像
【答案】AB
【详解】由图象得函数最小值为,故,,故,,
故函数,又函数过点,故,解得,
又,即,故,
对称中心:,解得,对称中心为,
当时,对称中心为,故A选项正确;
对称轴:,解得,
当时,,故B选项正确;
的单调递减区间:,解得,
又,故C选项不正确;
函数图像上所有的点向右平移个单位,
得到函数,故D选项不正确;
故选:AB.
14.函数的图象如图所示,将其向左平移个单位长度,得到的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象上存在点,使得在点处的切线与直线垂直
C.函数的图象关于直线对称
D.函数在上单调递减
【答案】ABD
【详解】解:,
结合图象可得,即,
所以,解得,
又,所以,因此,
由题意,根据周期公式可得,所以选项A正确;
假设存在,设切点为,则,所以在的切线的斜率,
又与直线垂直,所以,得,假设成立,所以选项B正确;
,其对称轴为,即对称轴为,
所以选项C不正确;
,根据余弦函数的单调递减区间,可得,
即,所以选项D正确.
故选:ABD
15.若函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象,则下列关于函数的说法中,错误的是( )
A.数的图象关于直线对称
B.函数的图象关于点对称
C.函数的单调递增区间为
D.函数是偶函数
【答案】ABC
【详解】由题意得:,
将代入得:故A错误;
将代入得:,B错误;
令,解得:,
故)的单调递增区间不是,C错误;
,为偶函数,D选项正确.
故选:ABC
16.将函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把所得图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为 B.
C. D.的图象关于点对称
【答案】CD
【详解】将图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,
得到函数的图象,再把所得图象向右平移个单位长度,得到的图象,
函数最小正周期,AB选项错误;,C项正确;
,故的图象关于点对称,D项正确.
故选:CD.
17..已知函数的图象关于直线对称,则( )
A.函数为奇函数
B.函数在上单调递增
C.若,则的最小值为
D.函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
【答案】ACD
【详解】∵函数的图象关于直线对称,
∴,,∵,∴,∴,
对于A,函数,根据正弦函数的奇偶性,
因此函数是奇函数,故A正确;
对于B,由于,,函数在上不单调,故B错误;
对于C,因为,,又因为,的周期为,
所以的最小值为,C正确;
对于D,函数的图象向右平移个单位长度得到函数,故D正确,
故选:ACD
18.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数的图象,其中.若相邻两个零点之间的距离为,且的图象关于直线对称,则( )
A.直线是图象的一条对称轴 B.直线是图象的一条对称轴
C.点是图象的一个对称中心 D.点是图象的一个对称中心
【答案】ABD
【详解】因为相邻两个零点之间的距离为,所以,解得,即,解得.
因为的图象关于直线对称,
所以,解得,
,当时,.所以.
又因为函数图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数的图象,
所以.
对于A,因为,所以直线是图象的一条对称轴,故A正确;
对于B,因为,所以直线是图象的一条对称轴,故B正确;
对于C,因为,所以点不是图象的一个对称中心,故C不正确;
对于D,因为,所以点是图象的一个对称中心,故D正确.
故选:ABD.
19.关于函数,下列说法正确的是( )
A.若,则
B.的图像关于点对称
C.在上单调递增
D.的图像向右平移个单位长度后所得图像关于y轴对称
【答案】BD
【详解】对于A,由知,是图象的两个对称中心,
则是函数的最小正周期的整数倍,即,故A不正确;
对于B,因为,所以是的对称中心,故B正确;
对于C,由解得,
当时,在上单调递增,则在上单调递增,
在上单调递减,故C不正确;
对于D,的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数,
是偶函数,所以图象关于y轴对称,故D正确.
故选:BD.
20.若函数的图象与的图象关于y轴对称,则( )
A.
B.θ的值可以是
C.函数f(x)在单调递减
D.将的图象向右平移个单位长度可以得到g(x)的图象
【答案】AC
【详解】因为,
由题意,所以,即,
所以,θ的值不可以是,,
当时,,由正弦函数的单调性知函数f(x)在单调递减;
将的图象向右平移个单位长度可得,得不到g(x)的图象.
故选:AC
21.将函数的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标保持不变,得到函数的图象,下列关于函数的说法正确的是( )
A.
B.的图象关于点对称
C.若,则的值域是
D.对任意,都成立
【答案】BD
【详解】对选项A,将的图象向右平移个单位长度,得到,
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标保持不变,
得到的图象,故A错误;对选项B,当时,,故B正确.
对选项C,当时,,所以,故C错误,
对选项D,,所以直线是函数图象的对称轴,
即对任意,都有,故D正确.
故选:BD
22.根据下列中的一些边和角
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